1、2.3.2双曲线的几何性质课时目标1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系1双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质焦点焦距范围对称性顶点轴长实轴长_，虚轴长_离心率渐近线2.(1)双曲线的对称中心叫做双曲线的_；(2)双曲线1的两个顶点为A1(a,0)、A2(a,0)设B1(0，b)、B2(0，b)，线段A1A2叫做双曲线的_，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长，线段B1B2叫做双曲线的_，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长实轴和虚轴等长的双曲线叫做_双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为_(3)当双曲线的离
2、心率e由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得_，原因是，当e增大时，也增大，渐近线的斜率的绝对值_一、填空题1设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为_2以双曲线1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是_3双曲线与椭圆4x2y21有相同的焦点，它的一条渐近线方程为yx，则双曲线的方程为_4已知双曲线1 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，且PF1PF2，PF1PF24ab，则双曲线的离心率是_.5已知双曲线1 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且PF14PF2，则此双曲线的离心率e的最大值为_6两个
3、正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且ab，则双曲线1的离心率e_.7在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且a10，cb6，则顶点A运动的轨迹方程是_8与双曲线1有共同的渐近线，并且经过点(3，2)的双曲线方程为_二、解答题9根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)经过点，且一条渐近线为4x3y0；(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.10已知双曲线的渐近线方程为3x4y0，求此双曲线的离心率能力提升11设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_12过双曲线1 (a0，b0)的右焦点F作双
4、曲线斜率大于零的渐近线的垂线l，垂足为P，设l与双曲线的左、右两支相交于点A、B.(1)求证：点P在直线x上；(2)求双曲线的离心率e的范围；1双曲线1 (a0，b0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|a.2双曲线的离心率e的取值范围是(1，)，其中c2a2b2，且，离心率e越大，双曲线的开口越大3双曲线1 (a0，b0)的渐近线方程为yx，也可记为0；与双曲线1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为 (0)23.2双曲线的几何性质知识梳理1.标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质焦点F1(c
5、,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率e(e1)渐近线yxyx2.(1)中心(2)实轴虚轴等轴yx(3)开阔增大作业设计1yx解析由题意知，2b2,2c2，则b1，c，a；双曲线的渐近线方程为yx.2x2y210x90解析双曲线1的右焦点为(5,0)，渐近线为yx，即4x3y0.r4.所求圆方程为(x5)2y216，即x2y210x90.32y24x21解析由于椭圆4x2y21的焦点坐标为，则双曲线的焦点坐标为，又由
6、渐近线方程为yx，得，即a22b2，又由2a2b2，得a2，b2，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y24x21.4.解析由题意，|PF1PF2|2a，PFPF4c2.平方得PFPF2PF1PF24a2，即4c28ab4a2，因此b2a.由于c2a24a2，因此c25a2，即e.5.解析|PF1PF2|2a，即3PF22a，所以PF2ca，即2a3c3a，即5a3c，则.6.解析ab5，ab6，解得a，b的值为2或3.又ab，a3，b2.c，从而e.7.1(x3)解析以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(5,0)，C(5,0)，而ABAC63)8.1解析所求双曲线与
7、双曲线1有相同的渐近线，可设所求双曲线的方程为 (0)点(3,2)在双曲线上，.所求双曲线的方程为1.9解(1)因直线x与渐近线4x3y0的交点坐标为，而30时，焦点在x轴上，c216925，所以e.当0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为yx，而kBF，()1，整理得b2ac.c2a2ac0，两边同除以a2，得e2e10，解得e或e(舍去)12(1)证明设双曲线的右焦点为F(c,0)，斜率大于零的渐近线方程为yx.则l的方程为y(xc)，从而点P坐标为.因此点P在直线x上(2)解由消去y得(b4a4)x22a4cxa2(a2c2b4)0.A、B两点分别在双曲线左、右两支上，设A、B两点横坐标分别为xA、xB.由b4a40且xAxB0.即a2.即1，e.故e的取值范围为(，)