1、第2课时两角和与差的正切课程目标 1.理解两角和与差的正切公式的推导2掌握公式的正、逆向及变形运用3能够灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明填一填1两角和与差的正切公式tan()，(T)tan().(T)2公式的推导tan()，把后面一个分式的分子、分母分别除以coscos(coscos0)得：tan().以代替上式中可得tan()tan().答一答1运用两角和与差的正切公式时应注意哪些问题，公式有哪些应用？提示：(1)公式T成立的条件是：k，k，k(kZ)(2)公式T成立的条件是：k，k，k(kZ)，且在从左向右写出等式时，角，的位置不要写反应用：由T，T可知：(1)已知，的正切值可以求
2、的正切值，实际上在公式中共有3个量：tan()，tan，tan.因此知二求一(2)利用公式可以进行求值、化简、证明三角恒等式(3)特别地，当45时，tan(45).2两角和与差的正切公式有哪些常见变形？提示：对于公式tan()而言，两边都是角的正切，因此，可以有以下一些变形：(1)tantantan()(1tantan)；(2)tantan1；(3)tantantantantan()tan()；(4)当时，tan()tan.对于公式tan()，也有类似的结论类型一两角和与差的正切公式的直接应用命题视角1：公式的正用例1已知sin，是第四象限角，求tan，tan的值分析已知sin的值，求tan用
3、两角差的正切公式，而求tan则只能用诱导公式来做解因为sin，是第四象限角，得cos，tan.于是有tan7.tan.在运用正切的和差角公式来解题时一定要注意公式成立的条件.变式训练1(1)求tan105的值；(2)已知cos，求tan的值解：(1)tan105tan(18075)tan75tan(4530)2.(2)cos，sin，tan.tan.命题视角2：公式的逆用及变形应用例2求下列各式的值：(1)；(2)(1tan1)(1tan2)(1tan44)；(3)tan25tan35tan25tan35.分析尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值解(1)原式tan(6015
4、)tan451.(2)因为(1tan1)(1tan44)1tan1tan44tan1tan442，同理(1tan2)(1tan43)2，所以原式222.(3)tan60tan(2535)，tan25tan35(1tan25tan35)，tan25tan35tan25tan35.1.“1”的代换：在T中如果分子中出现“1”常利用1tan45来代换，以达到化简求值的目的.,2.若k，kZ，则有(1tan)(1tan)2.,3.若化简的式子里出现了“tantan”及“tantan”两个整体，常考虑tan()的变形公式.变式训练2求值：(1)；(2)tantantantan.解：(1)原式tan(15
5、45)tan60.(2)原式tantantantantantantantantantan.类型二给值求值问题例3已知sin，(0,2)，tan()，求tan及tan(2)分析先求出tan，然后将所求式中的角分拆，并运用两角和与差的正切公式可求解解因为sin0，所以(0，)(1)当时，cos，所以tan，所以tantan().tan(2)tan()2；(2)当时，cos，所以tan，所以tantan()2，tan(2)tan().综上可得，当时，tan，tan(2)2；当时，tan2，tan(2).变式训练3已知tan()5，tan()3，求tan2，tan2，tan.解：tan2tan()()
6、，tan2tan()()，tan.类型三给值求角问题例4已知tan()，tan，(0，)，求2的值分析本题主要考查已知三角函数值求角，可先利用已知条件求出tan(2)的值，然后由2的范围作出判断，求出2的值解tan，tan()，tantan().tan(2)tan()1.tan0，tan0，.2()(，0)而tan(2)1，2. 变式训练4已知，且tan，tan是方程x26x70的两根，求的值解：由根与系数的关系，得tantan60，tan0，tan0.又，0，0，0.tan()1.类型四在解三角形中的应用例5已知在ABC中，满足tanAtanBtanAtanB，且sinAcosA，判断ABC
7、形状分析先利用tan(AB)变形转化tanAtanBtanAtanB得出结论，再与另一个条件sinAcosA结合，最后求解解若tanAtanB1，tanAtanBtanAtanB，则tanAtanB0，tanAtanB，tan2B1，不可能，故tanAtanB1.由tanAtanBtanAtanB得，即tan(AB).tanCtan(AB)，从而C60.由sinAcosA得sin2Acos2A化为16cos4A16cos2A30，cos2A或cos2A，cosA或cosA.又A(0，)，A30或150或60或120.当A150或120时不符合题意，舍去当A30时，C60，B90，与tanB有意
8、义矛盾，舍去A60，B60，C60，即 ABC为正三角形判断三角形形状类题型的思路是得出边与角的特殊关系，同时注意挖掘三角形隐含条件，如ABC，大边对大角，两边之和大于第三边等.变式训练5已知ABC中，tanBtanCtanBtanC，且tanAtanBtanAtanB1，试判断ABC的形状解：若tanBtanC1，tanBtanCtanBtanC，则tanBtanC0，tanBtanC，tan2C1，这不可能故tanBtanC1.由tanBtanCtanBtanC得，tan(BC).同理tanAtanB1，tanAtanBtanAtanB1，tan(AB).又A，B，C为ABC的内角，BC60，AB150.A120，BC30.ABC为顶角是钝角的等腰三角形1若tan3，tan，则等于(C)A3 BC3 D解析：3.2设tan，tan是方程x23x20的两根，则tan()的值为(A)A3B1 C1D3解析：由条件得tantan3，tantan2，所以tan()3，所以选A3若tan28tan32m，则tan28tan32(B)Am B(1m)C(m1) D(m1)解析：tan(2832)tan60，tan28tan32(1m)4若tan3，则tan的值等于.解析：tantan.