1、课时跟踪检测(五十八)直线与圆锥曲线的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1过抛物线 y22x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A，B 两点，它们的横坐标之和等于 2，则这样的直线()A有且只有一条 B有且只有两条C有且只有三条D有且只有四条解析：选 B 通径 2p2，又|AB|x1x2p，|AB|32p，故这样的直线有且只有两条2椭圆 ax2by21 与直线 y1x 交于 A，B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 32，则ab()A 32B2 33C9 32D2 327解析：选 A 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 M(x0，y0)，结合题意，由点差法得，y2
2、y1x2x1abx1x2y1y2abx0y0ab 231，ab 32.3经过椭圆x22 y21 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l，交椭圆于 A，B 两点设O 为坐标原点，则OA OB 等于()A3 B13C13或3 D13解析：选 B 依题意，当直线 l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为 y0tan 45(x1)，即 yx1，代入椭圆方程x22 y21 并整理得 3x24x0，解得 x0 或 x43，所以两个交点坐标分别为(0，1)，43，13，OA OB 13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA OB 13.4已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，F(2，0)为其
3、右焦点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆 C 的方程为_解析：由题意得c 2，b2a 1，a2b2c2，解得a2，b 2，椭圆 C 的方程为x24 y221.答案：x24 y2215已知抛物线 yax2 的焦点到准线的距离为 2，则直线 yx1 截抛物线所得的弦长等于_解析：由题设知 p 12a2，a14.抛物线方程为 y14x2，焦点为 F(0,1)，准线为 y1.联立y14x2，yx1消去 x，整理得 y26y10，y1y26，直线过焦点 F，所得弦|AB|AF|BF|y11y218.答案：8二保高考，全练题型做到高考达标1(2015太原模拟)中心为原点，一
4、个焦点为 F(0,5 2)的椭圆，截直线 y3x2 所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为()A2x275 2y2251 Bx275y2251Cx225y2751 D2x225 2y2751解析：选 C 由已知得 c5 2，设椭圆的方程为x2a250y2a21，联立得x2a250y2a21，y3x2消去 y 得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，设直线 y3x2 与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数关系得 x1x212a25010a2450，由题意知 x1x21，即12a25010a24501，解得 a275，所以该椭圆方程为
5、y275x2251.2(2016天津六校联考)已知抛物线 y22px 的焦点 F 与椭圆 16x225y2400 的左焦点重合，抛物线的准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在抛物线上且|AK|2|AF|，则点 A 的横坐标为()A2 B2C3 D3解析：选 D 16x225y2400 可化为x225y2161，则椭圆的左焦点为 F(3,0)，又抛物线 y22px 的焦点为p2，0，准线为 xp2，所以p23，即 p6，即 y212x，K(3,0)设 A(x，y)，则由|AK|2|AF|得(x3)2y22(x3)2y2，即 x218x9y20，又 y212x，所以 x26x90，解得 x3.3已
6、知椭圆x24 y2b21(0b2)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若|BF2|AF2|的最大值为 5，则 b 的值是()A1 B 2C32D 3解析：选 D 由椭圆的方程，可知长半轴长为 a2，由椭圆的定义，可知|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b2a 3，可求得 b23，即 b 3.4已知抛物线 y22px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1Cx2 Dx2解
7、析：选 B 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且两点在抛物线上，y212px1，y222px2，得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，又线段 AB 的中点的纵坐标为 2，y1y24，又直线的斜率为 1，y1y2x1x21，2p4，p2，抛物线的准线方程为 xp21.5(2015雅安月考)抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A，AKl，垂足为 K，则AKF 的面积是()A4 B3 3C4 3D8解析：选 C y24x，F(1,0)，准线 l：x1，过焦点 F 且斜率为 3的直线 l1：y 3(x1)，与 y24
8、x 联立，解得 A(3,2 3)，AK4，SAKF1242 34 3.6(2015大连名校联考)已知斜率为 2 的直线经过椭圆x25 y241 的右焦点 F1，与椭圆相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为_解析：由题意知，椭圆的右焦点 F1 的坐标为(1,0)，直线 AB 的方程为 y2(x1)由方程组y2x1，x25 y241消去 y，整理得 3x25x0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得 x1x253，x1x20.则|AB|x1x22y1y221k2x1x224x1x2122 53240 5 53.答案：5 537(2016贵州湄潭中学月考)斜率为 1 的直线
9、 l 与椭圆x24 y21 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为_解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 yxt，代入x24 y21，消去 y 得54x22txt210，由题意得(2t)25(t21)0，即 t25.由根与系数的关系得 x1x285t，x1x24t215，则弦长|AB|1k2x1x224x1x24 2 5t254 105.答案：4 1058(2016西安中学模拟)如图，过抛物线 y14x2 的焦点 F 的直线 l 与抛物线和圆 x2(y1)21 交于 A，B，C，D 四点，则 AB DC _.解析：不妨设直线 AB 的方程为 y1，联立y1，y1
10、4x2，解得 x2，则 A(2,1)，D(2,1)，因为 B(1,1)，C(1,1)，所以 AB(1,0)，DC(1,0)，所以 AB DC 1.答案：19(2016山西山大附中模拟)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，短轴两个端点为 A，B，且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形(1)求椭圆方程；(2)若 C，D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 M 满足 MDCD，连接 CM，交椭圆于点 P，证明：OM OP 为定值解：(1)由题意知 a2，bc，a2b2c2，b22.椭圆方程为x24 y221.(2)证明：由题意知 C(2,0)，D(2,0)，设
11、M(2，y0)，P(x1，y1)，则OP(x1，y1)，OM(2，y0)直线 CM：x24 yy0y0，即 yy04x12y0.代入椭圆 x22y24，得1y208 x212y20 x12y2040.x1(2)4y208y208，x12y208y208，y1 8y0y208.OP 2y208y208，8y0y208.OP OM 4y208y208 8y20y2084y2032y208 4(定值)10(2015揭阳一中期中)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，右焦点为F(1,0)(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)设点 O 为坐标原点，过点 F 作直线 l 与椭圆 E 交
12、于 M，N 两点，若 OMON，求直线 l 的方程解：(1)依题意可得1a 22，a2b21，解得 a 2，b1，所以椭圆 E 的标准方程为x22 y21.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，当 MN 垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为 x1，不符合题意；当 MN 不垂直于 x 轴时，设直线 l 的方程为 yk(x1)联立得方程组x22 y21，ykx1，消去 y 整理得(12k2)x24k2x2(k21)0，所以 x1x2 4k212k2，x1x22k2112k2.所以 y1y2k2x1x2(x1x2)1 k212k2.因为 OMON，所以OM ON 0，所以 x1x2y1y2
13、k2212k20，所以 k 2，即直线 l 的方程为 y 2(x1)三上台阶，自主选做志在冲刺名校1若椭圆x2a2y2b21 的焦点在 x 轴上，过点1，12 作圆 x2y21 的切线，切点分别为A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是()Ax24 y231 Bx23 y221Cx25 y241 Dx28 y251解析：选 C 由题可设斜率存在的切线的方程为 y12k(x1)(k 为切线的斜率)，即 2kx2y2k10，由|2k1|4k241，解得 k34，所以圆 x2y21 的一条切线的方程为 3x4y50，可求得切点的坐标为35，45，易知另一切点的坐标为(1,0)
14、，则直线 AB 的方程为 y2x2，令 y0 得右焦点为(1,0)，令 x0 得上顶点为(0,2)，故 a2b2c25，所以所求椭圆的方程为x25 y241.2如图，已知椭圆x24 y231 的左焦点为 F，过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点，线段AB 的中点为 G，AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D，E 两点(1)若点 G 的横坐标为14，求直线 AB 的斜率；(2)记GFD 的面积为 S1，OED(O 为原点)的面积为 S2.试问：是否存在直线 AB，使得 S1S2？说明理由解：(1)依题意可知，直线 AB 的斜率存在，设其方程为 yk(x1)，将其代入x24 y231，整
15、理得(4k23)x28k2x4k2120.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 x1x2 8k24k23.故点 G 的横坐标为x1x22 4k24k2314.解得 k12.(2)假设存在直线 AB，使得 S1S2，显然直线 AB 不能与 x，y 轴垂直由(1)可得 G4k24k23，3k4k23.设 D 点坐标为(xD,0)因为 DGAB，所以3k4k234k24k23xDk1，解得 xD k24k23，即 Dk24k23，0.因为GFDOED，所以 S1S2|GD|OD|.所以k24k23 4k24k2323k4k232k24k23，整理得 8k290.因为此方程无解，所以不存在直线 AB，使得 S1S2.