1、高考资源网（） 您身边的高考专家81.2向量数量积的运算律课程目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式2会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明填一填平面向量数量积的运算律(1)交换律：abba；(2)分配律：(ab)cacbc；(3)数乘向量结合律：对任意实数，有(ab)(a)ba(b)答一答应用两向量数量积运算应避免哪些思维误区？提示：(1)向量的数量积运算不满足消去律同学们在学习中容易错误地认为：由bcca(其中c0)，可以约去c而得到ba.事实上，a与b完全可以方向不同处理等式bcca的手段是移项提取，即c(ab)0，所以c(ab)(2)向量的数量积运算同样也不满足乘法结合律
2、由于实数满足(ab)ca(bc)，从而容易错误地认为向量的数量积也满足结合律(ab)ca(bc)可以这样理解：(ab)c是与c共线的向量，a(bc)是与a共线的向量，显然a与c不一定同向，所以二者一般不相等类型一向量数量积的运算律 例1给出下列结论：若a0，ab0，则b0；若abbc，则ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0，其中正确结论的序号是_解析因为两个非零向量a，b垂直时，ab0，故不正确；当a0，bc时，abbc0，但不能得出ac，故不正确；向量(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故不正确；ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0，故正确答案向量的数
3、量积ab与实数a，b的乘积ab有联系，同时有许多不同之处例如，由ab0不能得出a0或b0.特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下(ab)ca(bc)变式训练1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：acbc(ab)c；(bc)a(ca)b不与c垂直；|a|b|ab|；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正确的序号是.解析：根据向量的数量积的分配律知正确；因为(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，(bc)a(ca)b与c垂直，错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|ab|组成三角形三边，|a|b|ab|成立，正确；正确故正确命题
4、的序号是.类型二利用数量积求长度 例2已知|a|b|5，向量a与b夹角，求|ab|，|ab|，|3ab|.分析解本题首先求ab，再考虑|ab|，|3ab|与ab的联系求解解ab|a|b|cos，|ab|5，|ab|5，|3ab|5.此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2|a|2，勿忘记开方.变式训练2已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|；(2)|3a4b|；(3)|(ab)(a2b)|.解：已知ab|a|b|cos42cos1204，a2|a|216，b2|b|24.(1)因为|ab|2(ab)2a22abb2162(4)412，所
5、以|ab|2.(2)因为|3a4b|2(3a4b)29a224ab16b291624(4)1641619，所以|3a4b|4.(3)因为(ab)(a2b)a22abab2b216(4)2412，所以|(ab)(a2b)|12.类型三利用数量积解决垂直问题 例3已知|a|3，|b|2，a与b的夹角为60，c3a5b，dma3b.当m为何值时，c与d垂直？分析可利用cdcd0构造方程求m.解若cd，则cd0，即(3a5b)(ma3b)0，即3ma29ab5mab15b20.由a2|a|29，b2|b|24，ab|a|b|cos603，得27m2715m600，解得m.向量的垂直问题主要借助于结论a
6、bab0，把几何问题转化为代数问题.变式训练3如图，已知平行四边形ABCD中，a，b，且|a|b|，试用a，b表示，并计算，判断与的位置关系解：四边形ABCD为平行四边形，b，ba.而ab，(ba)(ba)b2a2|b|2|a|2.又|a|b|，0，即.类型四用向量解决平面几何问题 例4如图，在正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、CD交于点P.求证：BPCD.证明设，并设正三角形ABC的边长为a，则有(21)，又，设k，(21)kk，于是有解得.，22a2cos60a2a2a2cos600，BPCD.(1)解决此类问题通常先选取一组基底，基底中的向量最好是已知模及
7、两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系.(2)如果题目中有垂直关系，也可建立适当的坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题转化为代数运算.) 变式训练4四边形ABCD中，a，b，c，d，且abbccdda，试问四边形ABCD是什么图形？并说明理由解：四边形ABCD是矩形，理由如下：abcd0，ab(cd)，(ab)2(cd)2，即|a|22ab|b|2|c|22cd|d|2.由于abcd，|a|2|b|2|c|2|d|2，同理有|a|2|d|2|c|2|b|2，由可得|a|c|，且|b|d|，即四边形ABCD
8、两组对边分别相等四边形ABCD是平行四边形由abbc，有b(ac)0，而由平行四边形ABCD可得ac，代入上式得b(2a)0，即ab0，ab，即ABBC.综上所述，四边形ABCD是矩形类型五平面向量数量积的综合应用 例5设平面内两非零向量a与b互相垂直，且|a|2，|b|1，又k和t是两个不同时为零的实数(1)若xa(t3)b与ykatb垂直，求k关于t的函数关系式kf(t)；(2)求函数kf(t)的最小值分析本题主要以向量为载体考查函数的有关知识，由已知条件xy，即xy0，可以得到函数关系式kf(t)，然后利用函数性质求最值解(1)ab，ab0，又xy，xy0，即a(t3)b(katb)0.
9、ka2k(t3)abtabt(t3)b20，|a|2，|b|1，4kt23t0，即k(t23t)(2)由(1)知，k(t23t)(t)2，即函数的最小值为.以向量为载体考查函数的性质、平面几何、解析几何、立体几何等是近几年高考热点问题，一定要认真掌握. 变式训练5设a与b是两个互相垂直的单位向量，当k为整数时，向量mkab与向量nakb的夹角能否等于60？证明你的结论解：不能证明如下：向量a与b是两个互相垂直的单位向量，|a|b|1，ab0.又|m|2(kab)2k21，|n|2(akb)2k21，mn(kab)(akb)2k，2kcos60，即4kk21，解得k2，这与k为整数矛盾，m与n的
10、夹角不能等于60.1设a与b的模分别为4和3，夹角为60，则|ab|(C)A37 B13C. D.解析：|ab|.2若向量a，b，c满足ab且ac，则c(a2b)(D)A4 B3C2 D0解析：由ab，可设ba，又ac，则ac0，所以c(a2b)c(12)a(12)ac0.故选D.3设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60，则(2e1e2)(3e12e2)(C)A8 B.C D8解析：由题意，|e1|e2|1，e1e2cos60.(2e1e2)(3e12e2)6e2e7e1e28.4若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为.解析：|a|3|b|a2b|，|a|29|b|2|a2b|2|a|24|b|24ab，ab|b|2，cosab.- 10 - 版权所有高考资源网
