1、第2课时分段函数目标 1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象，培养数学运算核心素养；2.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题，培养数学建模核心素养重点 分段函数求值、分段函数的图象及应用难点 对分段函数的理解知识点分段函数填一填如果函数yf(x)，xA，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数答一答1分段函数的定义域部分可以相交吗？提示：分段函数的定义域部分是不可以相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的2分段函数各段上的对应关系不同，那么分段函数是由几个函数构成的呢？提示：(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函
2、数，它只不过是在定义域的不同子集内解析式不一样而已(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围3已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的值域为4,3解析：由题图可知，当x2,4时，f(x)2,3；当x5,8时，f(x)4,2.7故函数f(x)的值域为4,3类型一分段函数的定义域、值域例1(1)已知函数f(x)，则其定义域为()ARB(0，)C(，0)D(，0)(0，)(2)函数f(x)的定义域为_，值域为_分析分段函数的定义域、值域各段函数的定义域、值域解析(1)由于f(x)故定义域为(，0)(0，)(2)由已知定义域为x|0x10x
3、|1x0x|1x1，即(1,1)，又0x1时，0x211，1x0时，1x210，x0时，f(x)0，故值域为(1,0)0(0,1)(1,1)答案(1)D(2)(1,1)(1,1)变式训练1已知函数f(x)则函数的定义域为R，值域为0,1解析：由已知定义域为1,1(1，)(，1)R，又x1,1时，x20,1，故函数的值域为0,1类型二分段函数求值例2已知函数f(x)(1)求f的值(2)若f(x)2，求x的值分析分段考虑求值即可(1)先求f，再求f，最后求f；(2)分别令x22，x22，x2，分段验证求x.解(1)f2，ff2，ff.(2)当f(x)x22时，x0，不符合x0.当f(x)x22时，
4、x，其中x符合0x0，所以f(1)f(11)f(0)0，故选D.(2)当a0时，由f(a)a4，得a4；当a0时，由f(a)a24，得a2或a2(舍去)a4或a2.类型三分段函数的图象例3画出下列函数的图象，并写出它们的值域(1)y(2)y|x1|x3|.分析先化简函数式，再画图象，在画分段函数的图象时，要注意对应关系与自变量范围的对应解(1)函数y的图象如图所示，观察图象，得函数的值域为(1，)(2)用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y它的图象如图所示观察图象，得函数的值域为4，)作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数的取值情况决定着图象在分界点(关键点)处的断开或连接
5、，断开时要分清断开点处是虚还是实.变式训练3(1)下列图形是函数y的图象的是(C)解析：因为f(0)011，所以函数图象过点(0，1)；当x0时，yx2，则函数图象是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分因此只有选项C中的图象符合(2)已知函数f(x)|x2|(x1)作出函数f(x)的图象判断直线ya与y|x2|(x1)的交点的个数解：函数f(x)|x2|(x1)，去绝对值符号得f(x)可得f(x)的图象如图所示直线ya与y|x2|(x1)的图象的交点的个数作出图象如图：由图象可知当a0时，有一个交点；当a0时，有两个交点；当0a时，有一个交点综上，当a时，有一个交点；当a0或a时，有两个交点；当0
6、a时，有三个交点1已知f(x)则f(x)的定义域为(C)AR B(，1C(，2)D(1，)2已知f(x)则ff等于(B)A2B4C2D4解析：f2， fffff2，所以ff4.3已知函数f(x)若f(f(0)4a，则实数a2.解析：由题意知f(0)2.又f(2)222a，所以222a4a，即a2.4设函数f(x)则ff(2)，函数f(x)的值域是3，)5如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)(1)求ff(0)的值；(2)求函数f(x)的解析式解：(1)直接由题图中观察，可得ff(0)f(4)2.(2)设线段AB所对应的函数解析式为ykxb，将与代入，得y2x4(0x2)同理，线段BC所对应的函数解析式为yx2(2x6)f(x)本课须掌握的问题(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集写定义域时，区间的端点需不重不漏(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象
