1、20102014年高考真题备选题库第6章 不等式、推理与证明第3节 二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题1（2014新课标全国卷，5分）不等式组的解集记为D.有下面四个命题：p1：(x，y)D，x2y2；p2：(x，y)D，x2y2；p3：(x，y)D，x2y3；p4：(x，y)D，x2y1.其中真命题是()Ap2，p3 Bp1，p4Cp1，p2 Dp1，p3解析：画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数zx2y经过可行域内的点A(2，1)时，取得最小值0，故x2y0，因此p1，p2是真命题，选C.答案：C2（2014新课标全国卷，5分）设x，y满足约束条件，则z2xy的最大值为
2、()A10B8 C3 D2解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由z2xy得y2xz，作出直线y2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大故zmax2528.答案：B3（2014山东，5分）已知x，y满足约束条件当目标函数zaxby(a0，b0)在该约束条件下取到最小值2时，a2b2的最小值为()A5 B4C. D2解析：法一：不等式组表示的平面区域如图所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2,1)处取得最小值，故2ab2，两端平方得4a2b24ab20，又4ab2a2ba24b2，所以204a2b2a24b25(a2b2)，所以a2b24，即a2
3、b2的最小值为4，当且仅当a2b，即b，a时等号成立法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线xy10与2xy30的交点(2,1)时取得最小值，所以有2ab2.把2ab2看作平面直角坐标系aOb中的直线，则a2b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a2b2的最小值是坐标原点到直线2ab2距离的平方，即24.答案：B4（2014广东，5分）若变量x，y满足约束条件，且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn()A8 B7C6 D5解析：作出可行域(如图中阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线y2xz经过点A时，z的值最大，由则mzmax2213.当直线y2xz经过点
4、B时，z的值最小，由则nzmin2(1)13，故mn6. 答案：C5（2014安徽，5分）x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.或1 B2或C2或1 D2或1解析：法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(2，2)，则zA2，zB2a，zC2a2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zAzBzC或zAzCzB或zBzCzA，解得a1或a2.法二：目标函数zyax可化为yaxz，令l0：yax，平移l0，则当l0AB或l0AC时符合题意，故a1或a2.答案：D6（2014天津，5分）设变量x，y满足约束条件则目标
5、函数zx2y的最小值为()A2 B3C4 D5解析：根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示由zx2y，得yx.先画出直线yx，然后将直线yx进行平移当直线过点A时，z取得最小值由得A(1,1)，故z最小值1213.答案：B7（2014北京，5分）若x，y满足且zyx的最小值为4，则k的值为()A2 B2C. D解析：作出线性约束条件的可行域当k0时，如图(1)所示，此时可行域为y轴上方、直线xy20的右上方、直线kxy20的右下方的区域，显然此时zyx无最小值当k1时，zyx取得最小值2；当k1时，zyx取得最小值2，均不符合题意当1k0时，如图(2)所示，此时可行域为点A(2,0)，B，
6、C(0,2)所围成的三角形区域，当直线zyx经过点B时，有最小值，即4k.故选D.答案：D8（2014福建，5分）若变量x，y满足约束条件则z3xy的最小值为_解析：可行域为如图所示的阴影部分，当目标函数z3xy经过点A(0,1)时，z3xy取得最小值zmin3011.答案：19（2014浙江，5分）当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_解析：由线性规划的可行域(如图)，求出三个交点坐标分别为A(1,0)，B(2，1)，C，都代入1axy4，可得1a.答案：10（2014湖南，5分）若变量x，y满足约束条件且z2xy的最小值为6，则k_.解析：作出不等式组表示的平面区域，
7、如图中阴影部分所示，z2xy，则y2xz，易知当直线y2xz过点A(k，k)时，z2xy取得最小值，即3k6，k2.答案：211（2013山东，5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A2B1C D解析：本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查两点间斜率的几何意义等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x2y10和3xy80，解得A(3，1)，故OM斜率的最小值为.答案：C12（2013安徽，5分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两
8、定点A，B满足|2，则点集P|，|1，R所表示的区域的面积是()A2 B2C4 D4解析：本题考查平面向量运算、线性规划等知识，培养考生对知识的综合应用能力以及数形结合思想由|2，可得AOB，又A，B是两定点，可设A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，由，可得因为|1，所以1，当，时，由可行域可得S02，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S4S04，故选D.答案：D13（2013北京，5分）设关于x，y的不等式组 表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02.求得m的取值范围是()A. B. C. D. 解析：本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查数形结合思想、等价转化
9、思想以及考生分析问题、解决问题的能力问题等价于直线x2y2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(m，m)不可能在第一和第三象限，而直线x2y2经过第一、三、四象限，则点(m，m)只能在第四象限，可得m0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x2y2与阴影部分有公共点，则点(m，m)在直线x2y20的下方，由于坐标原点使得x2y20，故m2m20，即m. 答案：C14（2013山东，4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是_解析：本题主要考查线性规划下的最值求法，考查数形结合思想、图形处理能力和运算能力作出不等式组表示的可行域
10、如图中阴影部分所示，因此|OM|的最小值为点O到直线xy20的距离，所以|OM|min.答案：15（2013北京，5分）设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为_解析：本题主要考查线性规划的简单应用，意在考查考生的运算能力、作图能力以及数形结合思想和转化思想作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线2xy0的距离最小，d，故最小距离为.答案：16（2013新课标全国，5分）已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()A.B.C1 D2解析：本题考查线性规划问题，属于基础题由已知约束条件，作出可行域如图中ABC内部及
11、边界部分，由目标函数z2xy的几何意义为直线l：y2xz在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，2a)时，目标函数z2xy的最小值为1，则22a1，a，故选B. 答案：B17(2013天津，5分)设变量x, y满足约束条件则目标函数zy2x的最小值为()A7 B4C1 D2解析：本题考查线性规划，意在考查考生数形结合思想的应用约束条件对应的平面区域是一个三角形区域，当目标函数y2xz经过可行域中的点(5,3)时，z取得最小值7. 答案：A18(2013湖南，5分)若变量x，y满足约束条件则x2y的最大值是()A B0C. D.解析：本小题主要考查线性规划知识及数形结合思想，属中档偏易题
12、求解本小题时一定要先比较直线x2y0与边界直线xy1的斜率的大小，然后应用线性规划的知识准确求得最值作出题设约束条件的平面区域(图略)，由可得(x2y)max2.答案：C19（2013广东，5分）给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线解析：本题考查线性规划、集合、直线方程等知识，考查考生的创新意识及运算能力、数形结合思想的应用解决本题的关键是要读懂数学语言，x0，y0Z，说明x0，y0是整数，作出图形可知，ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z
13、在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线答案：620（2013浙江，4分）设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_.解析：本题主要考查二元一次不等式组的平面区域、线性规划的最优解的问题，意在考查考生的数形结合能力已知不等式组可表示成如图的可行域，当0k时，直线ykxz经过点A(4,4)时z最大，所以4k412，解得k2(舍去)；当k时，直线ykxz经过点B(2,3)时，z最大，所以2k312，解得k(舍去)；当k0时，直线ykxz经过点A(4,4)时，z最大，所以4k412，解得k2，符合，综上可知k2.答案：221（2013
14、陕西，5分）若点(x，y)位于曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为_解析：本题考查分段函数的图象和线性规划的应用，考查考生的数形结合能力由题意知y作出曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域，如图中阴影部分所示，即得过点A(1,2)时，2xy取最小值4.答案：422（2012广东，5分）已知变量x，y满足约束条件则z3xy的最大值为()A12B11C3 D1解析：如右图中的阴影部分即为约束条件对应的可行域，当直线y3xz经过点A时， z取得最大值由解得，此时，zy3x11.答案：B23（2012辽宁，5分）设变量x，y满足则2x3y的最大值为()A20 B35C45 D55解析
15、：作出不等式组对应的平面区域(如图所示)，平移直线yx，易知直线经过可行域上的点A(5,15)时，2x3y取得最大值55.答案：D24（2011广东，5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z的最大值为()A3B4C3 D4解析：画出区域D，如图中阴影部分所示，而zxy，yxz.令l0：yx，将l0平移到过点(，2)时，截距z有最大值，故zmax24.答案：B25（2010山东，5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z3x4y的最大值和最小值分别为()A3，11 B3，11C11，3 D11,3解析：本题可以采取较为简单的方法，由于三条直线围成的平面区域是三角形，根据题意可知目标函数z3x4y的最值一定在直线的交点处取得三条直线的交点分别为A(0,2)，B(3,5)，C(5,3)，代入目标函数可得z3x4y的最大值为3，在C点处取得；最小值为11，在B点处取得答案：A