1、32函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点课程目标 1.理解函数零点的概念；2.会求一次函数、二次函数的零点；3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图像与x轴交点的横坐标之间的关系知识点函数的零点 填一填一般地，如果函数yf(x)在实数处的函数值等于零，即f()0，则称为函数yf(x)的零点在坐标系中表示图像与x轴的公共点的横坐标答一答1函数的零点是一个点吗？提示：不是零点是函数的图像与x轴的公共点的横坐标，它是一个实数2任何函数都有零点吗？提示：不是如果函数的图像与x轴没有交点，则函数就没有零点，如函数f(x)就没有零点类型一求函数的零点 例1(1)求函数f(x)3x27x6的零点；
2、(2)求函数f(x)x42x23的零点解(1)由方程3x27x60得x13，x2，所以函数f(x)3x27x6的零点为3，.(2)f(x)(x21)(x23)(x21)(x)(x)0.解得x1，x2，所以f(x)的零点是，.函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式求解的方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图像联系起来，图像与x轴交点的横坐标即为函数的零点.变式训练1求下列函数的零点：(1)f(x)x22x3；(2)f(x)x41.解：(1)f(x)x22x3(x3)(x1)，方程x22x30的两根分别是3和1.故函数的零点是3,1.(2)f(
3、x)x41(x21)(x1)(x1)，方程x410的实数根是1或1.故函数的零点是1,1.类型二函数零点的判断 例2观察下图中四个函数图像，指出在(，0)上哪个函数有零点，并说明理由解f1(x)和f2(x)理由：观察函数fi(x)(i1,2,3,4)的图像，知在(，0)上f1(x)，f2(x)与x轴都有交点，即函数有零点；而在(，0)上f3(x)，f4(x)与x轴都没有交点，即函数没有零点(1)方程与不等式的解的问题通常可以转化为函数的图像与横轴的交点及其对应的区间来解决，而求函数的零点问题，常常转化为相应方程的解的问题.(2)函数与方程之间的相互转化关系，本质上是图形的直观作用与数值的精确性
4、之间的相互补充.变式训练2下列图像表示的函数中没有零点的是(A)解析：B，C，D的图像均与x轴有交点，故图像表示的函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故A的图像表示的函数没有零点类型三函数零点的应用 例3已知关于x的二次方程ax22(a1)xa10有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围解令f(x)ax22(a1)xa1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.f(x)的大致图像如图所示：则a应满足或即或解得0a5，a的取值范围为(0,5)解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式(组)，使
5、问题得解.当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论.变式训练3讨论关于x的方程|x24x3|a(aR)的实数解的个数解：作两个函数y|x24x3|(x2)21|及ya的图像，如图所示，方程|x24x3|a的实数解就是两个函数图像的交点(纵坐标相等)的横坐标x的值因此原方程解的个数就是两个函数图像的交点个数，由图可知：当a(，0)时，原方程没有实数解；当a0或a(1，)时，原方程有两个实数解；当a1时，原方程有三个实数解；当0a0时，f(x)0；当x0时，f(x)0，所以函数没有零点，故选A.3已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x.则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为(D)A1,3 B3，1,1,3C2，1,3 D2，1,3解析：当x0时，函数g(x)的零点即方程f(x)x3的根，由x23xx3，解得x1或3；当x0时，由f(x)是奇函数得f(x)f(x)x23(x)，即f(x)x23x.由f(x)x3得x2(正根舍去)故选D.4若f(x)xb的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为(1,0)解析：f(x)xb是增函数，又f(x)xb的零点在区间(0,1)内，即1b0.
