1、2.1.2平面直角坐标系中的基本公式1.点M(4,m)关于点N(n,-3)的对称点为P(6,-9),则m,n的值分别为(D)(A)-3,10 (B)3,10 (C)-3,5 (D)3,5解析:由中点坐标公式得=n,=-3,所以m=3,n=5,故选D.2.设点A在x轴上,点B在y轴上,AB的中点是P(2,-1),则|AB|等于(C)(A)5 (B)4 (C)2 (D)2解析:设A(x0,0),B(0,y0),因为AB的中点是P(2,-1),所以=2,=-1,所以x0=4,y0=-2,即A(4,0),B(0,-2),所以|AB|=2.3.在y轴上存在一点P到A(1,2)和B(3,7)的距离相等,则
2、该点的纵坐标为(C)(A)4.5 (B)2 (C)5.3 (D)2.5解析:设P(0,y),则由12+(2-y)2=32+(7-y)2,得y=5.3,故选C.4.ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,-4),B(2,2),C(4,-2),则三角形AB边上的中线长为(A)(A) (B) (C) (D)解析:AB的中点D的坐标为(-1,-1),所以|CD|=.5.已知点A(-1,3),B(3,1),点C在坐标轴上,ACB=90,则满足条件的点C的个数是(C)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:若点C在x轴上,设C(x,0),由ACB=90,得|AB|2=|AC|2+|BC|2,所以3-(-
3、1)2+(1-3)2=(x+1)2+32+(x-3)2+12,解得x=0或x=2.若点C在y轴上,设C(0,y),同理可求得y=0或y=4.综上,满足条件的点C有3个.故选C.6.已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出最小值.解:以正三角形的一边所在的直线为x轴,此边的中线所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.则A(-,0),B(,0),C(0,).设P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x+)2+y2+(x-)2+y2+x2+(y-a)2=3x2+3y2-ay+a2=3x2+3(y-a)2+a2.所以当P(0,
4、a)时,|PA|2+|PB|2+|PC|2有最小值a2.7.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B的距离为(C)(A)5 (B)2 (C)5 (D)10解析:点B(2,10)关于x轴的对称点为B(2,-10),由对称性可得光线从A到B的距离为|AB|=5.选C.8.若a,b,c,dR,M=|-|,N=,则(C)(A)MN(B)M=N(C)MN(D)不能确定,与a,b,c,d有关解析:因为M=|-|表示点(a,b),(c,d)到原点距离差的绝对值,N=表示两点(a,b),(c,d)之间的距离,根据三角形两边之差小于第三边(三点共线时相等),可得MN,故
5、选C.9.已知A(1,2),B(-1,1),C(0,-1),D(2,0),则四边形ABCD的形状为.解析:因为A(1,2),B(-1,1),C(0,-1),D(2,0),所以|AB|=,|BC|=,|CD|=,|DA|=,|AC|=,|BD|=.所以|AB|=|BC|=|CD|=|DA|,且|AC|=|BD|.所以四边形ABCD是正 方形.答案:正方形10.已知AO是ABC中BC边的中线,证明:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+ |OC|2).证明:以BC边所在直线为x轴,边BC的中点为原点,建立平面直角坐标系,如图所示.设B(-a,0),C(a,0),A(m,n)(其中a0).则|AB
6、|2+|AC|2=(m+a)2+n2+(m-a)2+n2=2(m2+a2+n2),|AO|2+|OC|2=m2+n2+a2,所以|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).11.已知0x1,0y1,求证:+ 2,并求使等号成立的条件.解:表示点(x,y)到原点O(0,0)的距离;=表示点C(0,1)到点(x,y)的距离;=表示点A(1,0)到点(x,y)的距离;表示点B(1,1)到点(x,y)的距离.如图,显然四边形OABC是正方形,其中O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1).由0x1,0y1,设P(x,y)是正方形内部的任意一点,则d(P,O)=,d(P,A)=,d(P,B)=,d(P,C)=,d(O,B)=,d(A,C)=.由平面几何知识可知:|PO|+|PB|OB|,|PA|+|PC|AC|.由以上两个不等式相加得|PO|+|PB|+|PA|+|PC|OB|+|AC|=2.即+2.当且仅当|PO|+|PB|=|OB|,|PA|+|PC|=|AC|时,等号成立,此时点P既在OB上,又在AC上,因此,点P是OB与AC的交点,即点P是正方形OABC的中心,则有x=y=时,所证的不等式取得等号.