1、代数初步知识 1.代数式:用运算符号 连接数及字母的式子称为代数式(单独一个数或一个字母也是代数式)2.几个重要的代数式:(m、n 表示整数)(1)a 与 b 的平方差是:a2-b2 ;a 与 b 差的平方是:(a-b)2 ;(2)若 a、b、c 是正整数,则两位整数是:10a+b ,则三位整数是:100a+10b+c;(3)若 m、n 是整数,则被 5 除商 m 余 n 的数是:5m+n ;偶数是:2n,奇数是:2n+1;三个连续整数是:n-1、n、n+1 ;有理数 1.有理数:(1)凡能写成)0pq,p(pq为整数且形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;
2、整数和分数统称有理数.注意:0 即不是正数,也不是负数;-a 不一定是负数,+a 也不一定是正数;不是有理数;(2)有理数的分类:负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3)注意:有理数中,1、0、-1 是三个特殊的数,它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域,这四个区域的数也有自己的特性;(4)自然数 0 和正整数;a0 a 是正数;a0 a 是负数;a0 a 是正数或 0 a 是非负数;a 0 a 是负数或 0 a 是非正数.2数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3相反数:(1)只有符号不同的两个数,我们说其中一
3、个是另一个的相反数;0 的相反数还是 0;(2)注意:a-b+c 的相反数是-a+b-c;a-b 的相反数是 b-a;a+b 的相反数是-a-b;(3)相反数的和为 0 a+b=0 a、b 互为相反数.4.绝对值:(1)正数的绝对值是其本身,0 的绝对值是 0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;(2)绝对值可表示为:)0a(a)0a(0)0a(aa或)0a(a)0a(aa;绝对值的问题经常分类讨论;(3)0a1aa;0a1aa;(4)|a|是重要的非负数,即|a|0;注意:|a|b|=|ab|,baba.5.有理数比大小:(1)正数的绝对值越大,这
4、个数越大;(2)正数永远比 0 大,负数永远比 0 小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数 0,小数-大数 0.6.互为倒数:乘积为 1 的两个数互为倒数;注意:0 没有倒数;若 a0,那么 a 的倒数是a1;倒数是本身的数是1;若 ab=1 a、b 互为倒数;若 ab=-1 a、b 互为负倒数.7.有理数加法法则:(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)一个数与 0 相加,仍得这个数.8有理数加法的运算律:(1)
5、加法的交换律:a+b=b+a;(2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).9有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即 a-b=a+(-b).10 有理数乘法法则:(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;(2)任何数同零相乘都得零;(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律:(1)乘法的交换律:ab=ba;(2)乘法的结合律:(ab)c=a(bc);(3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac.12有理数除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数,无意义即0a.13有理数乘方
6、的法则:(1)正数的任何次幂都是正数;(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意:当 n 为正奇数时:(-a)n=-an 或(a-b)n=-(b-a)n,当 n 为正偶数时:(-a)n=an 或(a-b)n=(b-a)n.14乘方的定义:(1)求相同因式积的运算,叫做乘方;(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂;(3)a2 是重要的非负数,即 a20;若 a2+|b|=0 a=0,b=0;15科学记数法:把一个大于 10 的数记成 a10n 的形式,其中 a 是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位:一个近似数,四舍五入到
7、那一位,就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字:从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则:先乘方,后乘除,最后加减;注意:怎样算简单,怎样算准确,是数学计算的最重要的原则.19.特殊值法:是用符合题目要求的数代入,并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.整式的加减 1单项式:在代数式中,若只含有乘法(包括乘方)运算。或虽含有除法运算,但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2单项式的系数与次数:单项式中不为零的数字因数,叫单项式的数字系数,简称单项式的系数;系数不为零时,单项式中所有字母指数的和,叫单项式的次数.3多项式
8、:几个单项式的和叫多项式.4多项式的项数与次数:多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个单项式叫多项式的项;多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数;注意:(若 a、b、c、p、q是常数)ax2+bx+c 和 x2+px+q 是常见的两个二次三项式.5整式:凡不含有除法运算,或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.整式分类为:多项式单项式整式.6同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.7合并同类项法则:系数相加,字母与字母的指数不变.8去(添)括号法则:去(添)括号时,若括号前边是“+”号,括号里的各项都不变号;若括号前边是“-”号,括号里的各项都要变号.
9、9整式的加减:整式的加减,实际上是在去括号的基础上,把多项式的同类项合并.10.多项式的升幂和降幂排列:把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来,叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列).注意:多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列.一元一次方程 1等式的性质:等式性质 1:等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;等式性质 2:等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,所得结果仍是等式.2方程:含未知数的等式,叫方程.3方程的解:使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;注意:“方程的解就能代入”!4一元一次方程:只含有一个未知数,且未
10、知数的次数是 1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.7一元一次方程的标准形式:ax+b=0(x 是未知数,a、b 是已知数,且 a0).8一元一次方程的最简形式:ax=b(x 是未知数,a、b 是已知数,且 a0).9一元一次方程一般步骤:整理方程。去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1 (检验方程的解).10列方程解应用题的常用公式:周长、面积、体积问题:C 圆=2R,S 圆=R2,C 长方形=2(a+b),S 长方形=ab,C 正方形=4a,S 正方形=a2,S 环形=(R2-r2),V 长方体=abc,V 正方体=a3,V 圆柱=R2h,V 圆锥=31 R2h.
11、相交线与平行线 一、知识网络结构 二、知识要点 1、在同一平面内,两条直线的位置关系有 两 种:相交 和 平行,垂直 是相交的一种特殊情况。2、在同一平面内,不相交的两条直线叫 平行线。如果两条直线只有 一个 公共点,称这两条直线相交;如果两条直线 没有 公共点,称这两条直线平行。3、两条直线相交所构成的四个角中,有 公共顶点 且有 一条公共边 的两个角是 邻补角。邻补角的性质:邻补角互补。如图 1 所示,与 互为邻补角,与 互为邻补角。+=180;+=180;+=180;+=180。4、两条直线相交所构成的四个角中,一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线,这样的两个角互为 对顶角。对
12、顶角的性质:对顶角相等。如图 1 所示,与 互为对顶角。=;=。5、两条直线相交所成的角中,如果有一个是 直角或 90时,称这两条直线互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线。如图 2 所示,当=90时,。垂线的性质:性质 1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质 2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。性质 3:如图 2 所示,当 a b 时,=90。点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。6、同位角、内错角、同旁内角基本特征:在两条直线(被截线)的 同一方,都在第三条直线(截线)的 同一侧,这样 的两个角叫 同位角。图 3 中,共有 对同位角:与
13、 是同位角;与 是同位角;与 是同位角;与 是同位角。在两条直线(被截线)之间,并且在第三条直线(截线)的 两侧,这样的两个角叫 内错角。图 3 中,共有 对内错角:与 是内错角;与 是内错角。在两条直线(被截线)的 之间,都在第三条直线(截线)的 同一旁,这样的两个角叫 同旁内角。图 3 中,共有 对同旁内角:与 是同旁内角;与 是同旁内角。7、平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。平行线的性质:性质 1:两直线平行,同位角相等。如图 4 所示,如果 ab,则=;=;=;=。性质 2:两直线平行,内错
14、角相等。如图 4 所示,如果 ab,则=;=。性质 3:两直线平行,同旁内角互补。如图 4 所示,如果 ab,则+=180;+=180。性质 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果 ab,ac,则 。8、平行线的判定:判定 1:同位角相等,两直线平行。如图 5 所示,如果=或=或=或=,则 ab。判定 2:内错角相等,两直线平行。如图 5 所示,如果=或=,则 ab。判定 3:同旁内角互补,两直线平行。如图 5 所示,如果+=180;+=180,则 ab。判定 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果 ab,ac,则 。9、判断一件事情的语句叫命题。命题由 题设 和 结论 两部分组成
15、,有 真命题 和 假命题 之分。如果题设成立,那么结论 一定 成立,这样的命题叫 真命题;如果题设成立,那么结论 不一定 成立,这样的命题叫假命题。真命题的正确性是经过推理证实的,这样的真命题叫定理,它可以作为继续推理的依据。10、平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移变换,简称平移。平移后,新图形与原图形的 形状 和 大小 完全相同。平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这样的两个点叫做对应点。平移性质:平移前后两个图形中对应点的连线平行且相等;对应线段相等;对应角相等。第六章 实数 【知识点一】实数的分类 1、按定义分类:2.按
16、性质符号分类:注:0 既不是正数也不是负数.【知识点二】实数的相关概念 1.相反数 (1)代数意义:只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数.0 的相反数是 0.(2)几何意义:在数轴上原点的两侧,与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数,或数轴上,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.(3)互为相反数的两个数之和等于 0.a、b 互为相反数 a+b=0.2.绝对值|a|0.3.倒数(1)0 没有倒数(2)乘积是 1 的两个数互为倒数.a、b 互为倒数.4.平方根 (1)如果一个数的平方等于 a,这个数就叫做 a 的平方根.一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0 有一个平
17、方根,它是 0 本身;负数没有平方根.a(a0)的平方根记作.(2)一个正数 a 的正的平方根,叫做 a 的算术平方根.a(a0)的算术平方根记作.5.立方根 如果 x3=a,那么 x 叫做 a 的立方根.一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零.【知识点三】实数与数轴 数轴定义:规定了原点,正方向和单位长度的直线叫做数轴,数轴的三要素缺一不可.【知识点四】实数大小的比较 1.对于数轴上的任意两个点,靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于 0,负数都小于 0,两个正数,绝对值较大的那个正数大;两个负数;绝对值大的反而小.3.无理数的比较大小:【知识点五】实数的运算
18、1.加法 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得 0;一个数同 0 相加,仍得这个数.2.减法:减去一个数等于加上这个数的相反数.3.乘法 几个非零实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正;当负因数有奇数个时,积为负.几个数相乘,有一个因数为 0,积就为 0.4.除法 除以一个数,等于乘上这个数的倒数.两个数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于 0 的数都得 0.5.乘方与开方 (1)an 所表示的意义是 n 个 a 相乘,正数
19、的任何次幂是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数.(2)正数和 0 可以开平方,负数不能开平方;正数、负数和 0 都可以开立方.(3)零指数与负指数 【知识点六】有效数字和科学记数法 1.有效数字:一个近似数,从左边第一个不是 0 的数字起,到精确到的数位为止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.2.科学记数法:把一个数用(1”、“、。2、在含有未知数的不等式中,使不等式成立的未知数的值叫不等式的解,一个含有未知数的不等式的所有的解组成的集合,叫这个不等式的解集。不等式的解集可以在数轴上表示出来。求不等式的解集的过程叫解不等式。含有一个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1,这样的
20、不等式叫一元一次不等式。3、不等式的性质:性质 1:不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向 不变。用字母表示为:如果,那么;如果,那么;如果,那么;如果,那么。性质 2:不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数,不等号的方向 不变。用字母表示为:如果,那么(或);如果,那么(或);如果,那么(或);如果,那么(或);性质 3:不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数,不等号的方向 改变。用字母表示为:如果,那么(或);如果,那么(或);如果,那么(或);如果,那么(或);4、解一元一次不等式的一般步骤:去分母;去括号;移项;合并同类项;系数化为1。这与解一元一次方程
21、类似,在解时要根据一元一次不等式的具体情况灵活选择步骤。5、不等式组中含有一个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1,这样的不等式组叫一元一次不等式组。使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解,一个不等式组的所有的解组成的集合,叫这个不等式组的解集解(简称不等式组的解)。不等式组的解集可以在数轴上表示出来。求不等式组的解集的过程叫解不等式组。6、解一元一次不等式组的一般步骤:求出这个不等式组中各个不等式的解集;利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,得到这个不等式组的解集。如果这些不等式的解集的没有公共部分,则这个不等式组无解(此时也称这个不等式组的解集为空集)。7、求出各个
22、不等式的解集后,确定不等式组的解的口诀:大大取大,小小取小,大小小大取中间,大大小小无处找。第十章 数据的收集、整理与描述 知识要点 1、对数据进行处理的一般过程:收集数据、整理数据、描述数据、分析得出结论。2、数据收集过程中,调查的方法通常有两种:全面调查和抽样调查。3、除了文字叙述、列表、划记法外,还可以用条形图、折线图、扇形图、直方图来描述数据。4、抽样调查简称抽查,它只抽取一部分对象进行调查,根据调查数据推断全体对象的情况。要考察的全体对象叫总体,组成总体的每一个考察对象叫个体,被抽取的那部分个体组成总体的一个样本,样本中个体的数目叫这个样本的容量。5、画频数直方图的步骤:计算数差(最大值与最小值的差);确定组距和组数;列频数分布表;画频数直方图。