1、5.2.2等差数列的前n项和最新课程标准 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程(难点) 2掌握等差数列前n项和公式及其应用(重点) 3能灵活应用等差数列前n项和的性质解题(难点、易错点)4会求等差数列前n项和的最值教材要点知识点一数列的前n项和的概念一般地，称_为数列an的前n项和，用Sn表示，即Sn_.知识点二等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn_Sn_已知n，an，d能求a1吗？提示能，a1an(1n)d，然后代入公式知识点三等差数列前n项和Sn的最值(1)若a10，则数列的前面若干项为_项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最_值(2)若a10，d0
2、，d0，则_是Sn的最_值；若a10，d0，则_是Sn的最大值an是等差数列，其前n项和为Sn，|an|的前n项和也是Sn吗？提示不一定基础自测1在等差数列an中，S10120，那么a1a10()A10 B12C20 D242已知an是等差数列，a110，前10项和S1070，则其公差d()A BC. D.3若数列an的前n项和Snn21，则a4()A7 B8C9 D174等差数列an中，a11，d1，则Sn_.题型一等差数列Sn中基本量的计算 例1在等差数列an中(1)已知S848，S12168，求a1和d；(2)已知a610，S55，求a8和S8；(3)已知a163，求S31.方法归纳a1
3、，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二， 注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用跟踪训练1在等差数列an中(1)a1，an，Sn5，求n和d；(2)a14，S8172，求a8和d；(3)已知d2，an11，Sn35，求a1和n.题型二等差数列中的最值问题1将首项为a12，公差d3的等差数列的前n项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n项和为Sn3n2n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？提示首项为2，公差为3的
4、等差数列的前n项和为Sn2nn2n，显然Sn是关于n的二次型函数如果一个数列的前n项和为Sn3n2n，那么当n1时，S1a14.当n2时，anSnSn16n2，a1也适合此式，则该数列的通项公式为an6n2，所以该数列为等差数列一般地，等差数列的前n项和公式Snna1dn2n，若令A，Ba1，则上式可写成SnAn2Bn(A，B可以为0)2已知一个数列an的前n项和为Snn25n，试画出Sn关于n的函数图像你能说明数列an的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？提示Snn25n2，它的图像是分布在函数yx25x的图像上的离散的点，由图像的开口方向可知该数列是递增数列，图像开始下降说明了an前n项为负
5、数由Sn的图像可知，Sn有最小值且当n2或3时，Sn最小，最小值为6，即数列an前2项或前3项和最小例2数列an的前n项和Sn33nn2.(1)求an的通项公式；(2)问an的前多少项和最大；(3)设bn|an|，求数列bn的前n项和Sn.(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解方法归纳1在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法(1)利用通项公式寻找正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项
6、和为最大(小)(2)借助二次函数的图像及性质求最值2寻找正、负项分界点的方法(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找(2)利用到yax2bx(a0)的对称轴距离最近的一侧的一个正整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点3求解数列|an|的前n项和，应先判断an的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题跟踪训练2(1)已知数列an的前n项和为Sn，且Snn23n，求证：数列an是等差数列；(2)数列an的前n项和Sn35n2n2，求使Sn最大的n的值(3)在等差数列an中，a1023，a2522.该数列第几项开始为负；求数列|an|
7、的前n项和题型三等差数列前n项和性质的应用例3(1)已知等差数列an中，若a1 0091，求S2 017；(2)已知an，bn均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且，求.由等差数列的前n项和公式及通项公式列方程组求解，或结合等差数列的性质求解方法归纳等差数列的前n项和常用性质1若an是等差数列，则Snnna中(a中为a1与an的等差中项)2若an，bn均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，则.3等差数列的依次k项之和，Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为k2d的等差数列4若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，当项数为偶数2n时，S偶S奇nd，；当项数为奇数2n1时
8、，S奇S偶an，.跟踪训练3(1)已知在等差数列an中，a1a2a324，a18a19a2078，则此数列前20项和等于()A160B180C200 D220(2)一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为_(3)在等差数列an中，已知a3a1540，求S17.教材反思1求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到2等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若stpq，则asatapaq(s，t，p，qN)，若2spq，则2a
9、sapaq.52.2等差数列的前n项和新知初探自主学习知识点一a1a2an1ana1a2an1an知识点二na1d知识点三(1)负数小(2)正数大S1小S1基础自测1解析：由S10120，得a1a1024.答案：D2解析：S1010a1d70，又a110，所以d.答案：A3解析：a4S4S3(421)(321)7.答案：A4解析：因为a11，d1，所以Snn1.答案：课堂探究素养提升例1解析：(1)Snna1n(n1)d，解方程组得(2)a610，S55，解方程组得a8a62d102316，S844.(3)S3131a163133193.跟踪训练1解析：(1)由题意，得Sn5，解得n15.又a
10、15(151)d，d.(2)由已知，得S8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.(3)由得解方程组得或例2解析：(1)法一：当n2时，anSnSn1342n，又当n1时，a1S133132满足an342n.故an的通项公式为an342n.法二：由Snn233n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以an是等差数列，由Sn的结构特征知解得a132，d2，所以an342n.(2)法一：令an0，得342n0，所以n17，故数列an的前17项大于或等于零又a170，故数列an的前16项或前17项的和最大法二：由yx233x的对称轴为x.距离最近的整数为16,17.由Snn233n的图
11、像可知：当n17时，an0，当n18时，an0，故数列an的前16项或前17项的和最大(3)由(2)知，当n17时，an0；当n18时，an0.所以当n17时，Snb1b2bn|a1|a2|an|a1a2anSn33nn2.当n18时，Sn|a1|a2|a17|a18|an|a1a2a17(a18a19an)S17(SnS17)2S17Snn233n544.故Sn跟踪训练2解析：(1)证明：a1S1132，当n2时，anSnSn1(n23n)(n1)23(n1)2n4，当n1时，2n42a1，an2n4.anan1(2n4)2(n1)42(n2)，所以an是等差数列(2)由Sn35n2n222
12、.当且仅当n9时，Sn最大，故n9.(3)设等差数列an中，公差为d，由题意得设第n项开始为负，an503(n1)533n，从第18项开始为负|an|533n|当n17时，Snn2n；当n17时，Sn|a1|a2|a3|an|a1a2a17(a18a19an)，Sn2S17n2n884，Sn例3解析：(1)法一：a1 009a11 008d1，S2 0172 017a1d2 017(a11 008d)2 017.法二：a1 009，S2 0172 0172 017a1 0092 017.(2)法一：.法二：，设Sn2n22n，Tnn23n，a5S5S420，b5T5T412，.跟踪训练3解析：(1)a1a2a324，a18a19a2078，a1a20a2a19a3a1818，S201018180.(2)由条件知a1a3a5a7a9a1130，又a1a11a3a9a5a7，a5a72a610，中间项a65.解析：法一：a1a17a3a15，S17340.法二：a3a152a116d40，a18d20，S1717a1d17(a18d)1720340.法三：a3a152a940，a920，S1717a9340.答案：(1)B(2)5(3)340