1、第五章平面向量第一节 平面向量的概念及线性运算本节主要包括2个知识点：1.平面向量的有关概念；2.平面向量的线性运算.突破点(一)平面向量的有关概念 名称定义备注向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量，平面向量可自由平移零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为01判断题(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线
2、段来表示向量()(2) 若ab，bc，则ac.()(3)若向量a与b不相等，则a与b一定不可能都是零向量()答案：(1)(2)(3)2填空题(1)给出下列命题：若ab，bc，则ac；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；ab的充要条件是|a|b|且ab；其中正确命题的序号是_解析：正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.正确，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能
3、得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.答案：(2)若a、b都为非零向量，则使0成立的条件是_答案：a与b反向共线平面向量的有关概念典例(1)(2018海淀期末)下列说法正确的是()A长度相等的向量叫做相等向量B共线向量是在同一条直线上的向量C零向量的长度等于0D就是所在的直线平行于所在的直线(2)(2018枣庄期末)下列命题正确的是()A若|a|b|，则abB若|a|b|，则abC若ab，则abD若|a|0，则a0解析(1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线
4、上，故B不正确；显然C正确；当时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确(2)对于A，当|a|b|，即向量a，b的模相等时，方向不一定相同，故ab不一定成立；对于B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故B不正确；C显然正确；对于D，若|a|0，则a0，故D不正确，故选C.答案(1)C(2)C易错提醒(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；a0(为实数)，则必为零；，
5、为实数，若ab，则a与b共线其中错误的命题的个数为()A0B1 C2D3解析：选D错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点错误，当a0时，不论为何值，a0.错误，当0时，ab0，此时，a与b可以是任意向量错误的命题有3个，故选D.2关于平面向量，下列说法正确的是()A零向量是唯一没有方向的向量B平面内的单位向量是唯一的C方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D共线向量就是相等向量解析：选C对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C
6、正确；对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D不正确，故选C.3.如图，ABC和ABC是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则(1)与向量相等的向量有_；(2)与向量共线，且模相等的向量有_；(3)与向量EA共线，且模相等的向量有_解析：向量相等向量方向相同且模相等向量共线表示有向线段所在的直线平行或重合答案：(1) ， (2) ， ， ，(3) ， ， ， 突破点(二)平面向量的线性运算 1向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算 交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的
7、运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|，当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0( a)( )a；()aaa；(ab)ab2.平面向量共线定理向量b与a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba.1判断题(1)ab是ab(R)的充要条件()(2)ABC中，D是BC的中点，则()()答案：(1)(2)2填空题(1)化简：_._.答案：0(2)若菱形ABCD的边长为2，则|_.解析：|2.答案：2(3)在ABCD中，a，b， 3，则_(用a，b表示)答案：ab平面向量的线性运算应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可注意加法的三角形法则要求“首尾
8、相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算例1(1)(2018河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E为BC边上一点，3，F为AE的中点，则()A.B.C D(2)(2018深圳模拟)如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则()A. B.C.D2解析(1)()().(2)因为()()()()，且，所以得所以，故选B.答案(1)C(2)B方法技巧1平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)含图形的情况：将它们转化到三
9、角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式(3)比较、观察可知所求平面向量共线定理的应用求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线(3)直线的向量式参数方程：
10、A，P，B三点共线(1t)t (O为平面内任一点，tR)例2(1)(2017芜湖二模)已知向量a，b是两个不共线的向量，若向量m4ab与nab共线，则实数的值为()A4B C.D4(2)(2018怀化一模)已知向量a，b不共线，向量a3b，5a3b，3a3b，则()AA，B，C三点共线BA，B，D三点共线CA，C，D三点共线DB，C，D三点共线解析(1)因为向量a，b是两个不共线的向量，所以若向量m4ab与nab共线，则4()11，解得，故选B.(2)因为2a6b2(a3b)2，所以，共线，又有公共点B，所以A，B，D三点共线故选B.答案(1)B(2)B方法技巧平面向量共线定理的三个应用证明向
11、量共线对于非零向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线证明三点共线若存在实数，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线求参数的值利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值提醒证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点1. (2018长春一模)在梯形ABCD中，3，则()A BC D解析：选A因为在梯形ABCD中，3，所以，故选A.2.已知a，b是不共线的向量，ab，ab，R，则A，B，C三点共线的充要条件为()A2B1C1D1解析：选DA，B，C三点共线，设m(m0)，则abm(ab)， 1，故选D.3.(2018南宁模拟)已知e1，e2是不共线向量，ame12e2，bne1e2
12、，且mn0，若ab，则()A B. C2D2解析：选Cab，ab，即me12e2(ne1e2)，则故2.4.已知点M是ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且2，则()A.B.C.D.解析：选C如图，2，().5.如图，在OAB中，P为线段AB上的一点， xy，且2，则()Ax，yBx，yCx，yDx，y解析：选A由题意知，又2，所以()，所以x，y.全国卷5年真题集中演练明规律 1(2015全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()ABCD 解析：选A()，故选A.2(2014全国卷)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()AB. CD.解析：选A()()()，故选A
13、.3(2015全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.解析：ab与a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得答案： 课时达标检测 小题对点练点点落实对点练(一)平面向量的有关概念1若向量a与b不相等，则a与b一定()A有不相等的模B不共线C不可能都是零向量D不可能都是单位向量解析：选C若a与b都是零向量，则ab，故选项C正确2设a0为单位向量，下列命题中：若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.假命题的个数是()A0B1 C2D3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向
14、不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.3已知a，b是非零向量，命题p：ab，命题q：|ab|a|b|，则p是q的_条件解析：若ab，则|ab|2a|2|a|，|a|b|a|a|2|a|，即pq.若|ab|a|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即ab，且0，故q/ pp是q的充分不必要条件答案：充分不必要对点练(二)平面向量的线性运算1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且a，b, 则()A.ba B.abCabD.ba解析：选Cababa，故选C.2已知向量a，b不共线
15、，且cab，da(21)b，若c与d反向共线，则实数的值为()A1BC1或D1或解析：选B由于c与d反向共线，则存在实数k使ckd(k0)，于是abk.整理得abka(2kk)b.由于a，b不共线，所以有整理得2210，解得1或.又因为k0，所以0，故.3(2018江西八校联考)在ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且APAB，BQBC.若a，b，则()A.abBabC.abDab解析：选A()ab，故选A.4(2017郑州二模)如图，在ABC中，点D在线段BC上，且满足BDDC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则()Amn是定值，定值为2B2mn是定值，定
16、值为3C.是定值，定值为2D.是定值，定值为3解析：选D法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由n可得，所以，由BDDC可得，所以，因为m，所以m，整理可得3.法二：因为M，D，N三点共线，所以(1).又m，n，所以m(1)n.又，所以，所以.比较系数知m，(1)n，所以3，故选D.5(2018银川一模)设点P是ABC所在平面内一点，且2，则_.解析：因为2，由平行四边形法则知，点P为AC的中点，故0.答案：06(2018衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xayb(x，y为非零实数)共线，则的值为_解析：设e1，e2分别为水平
17、方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量ce12e2，a2e1e2，b2e12e2，由c与xayb共线，得c(xayb)，所以e12e22(xy)e1(x2y)e2，所以所以则的值为.答案：7(2018盐城一模)在ABC中，A60，A的平分线交BC于点D，若AB4，且 (R)，则AD的长为_解析：因为B，D，C三点共线，所以1，解得，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则，经计算得ANAM3，AD3.答案：38在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，点E在线段CD上，若，则的取值范围是_解析：由题意可求得AD1，CD，所以2.点E 在线段CD上，
18、(01)，又2，1，即.01，0，即的取值范围是.答案：大题综合练迁移贯通1.在ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示， .解：()ab.()()ab.2已知a，b不共线，a，b， c， d， e，设tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由解：由题设知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因为a，b不共线，所以有解得t.故存在实数
19、t使C，D，E三点在一条直线上3.如图所示，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线解：(1)延长AD到G，使，连接BG，CG，得到ABGC，如图，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)证明：由(1)可知，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线. 第二节 平面向量基本定理及坐标表示本节主要包括2个知识点：1.平面向量基本定理；2.平面向量的坐标表示.突破点(一)平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e1
20、2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底1判断题(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC中，设a，b，则向量a与b的夹角为ABC.()(3)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()答案：(1)(2)(3)2填空题(1)设e1，e2是平面内一组基底，若1e12e20，则12_.答案：0(2)设e1，e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则2ab_.答案：3e13e2(3)(2018嘉兴测试)在ABC中，已知M是BC中点，设a，b，则_.答案：ba平面向量基本定理典例(1)(2018长春模拟)如图所示，下列结论正确的
21、是()ab；ab；ab；ab.AB CD(2)(2018岳阳质检)在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点若，则的值为()A. B. C.D.解析(1)根据向量的加法法则，得ab，故正确；根据向量的减法法则，得ab，故错误；ab2bab，故正确；abbab，故错误，故选C.(2)法一：连接AC(图略)，由，得()()，则0，得0，得0.又，不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以.法二：根据题意作出图形如图所示，连接MN并延长，交AB的延长线于点T，由已知易得ABAT，所以，因为T，M，N三点共线，所以.答案(1)C(2)C方法技巧平面向量基本定理的实质及解题思
22、路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决1(2018泉州调研)若向量a，b不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是()Aa2b与a2bB3a5b与6a10bCa2b与5a7bD2a3b与ab解析：选C不共线的两个向量可以作为一组基底因为a2b与5a7b不共线，故a2b与5a7b可以作为一组基底2.向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则ab()A4e12e2B.2e14e2Ce13e2D3e1e2
23、解析：选C结合图形易得，ae14e2，b2e1e2，故abe13e2.3.如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则的值为()A.BC1D1解析：选A由题意得，1，故选A.4.(2018湖南邵阳一模)如图， 在ABC中，设a，b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若manb，则mn_.解析：根据已知条件得，(manb)aab， baab，ab， ab，ab.，abab，解得故mn.答案：突破点(二)平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2
24、)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标一般地，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)2平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则abx1y2x2y10.(1)已知a(2,1)，b(3,4)，则3a4b_.答案：(6,19)(2)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.答案：3(3)若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，(2,4)，(1,3)，则_.答案：(1，1)(4)若三点A(1
25、，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_解析：(a1,3)，(3,4)，据题意知，4(a1)3(3)，即4a5，a.答案：平面向量的坐标运算例1(1)(2018绍兴模拟)已知点M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，则点N的坐标为()A(2,0)B(3,6)C(6,2)D(2,0)(2)在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若 (4,3)，(1,5)，则_.解析(1)3a3(1，2)(3,6)，设N(x，y)，则(x5，y6)(3,6)，所以即(2)(3,2)，2(6,4)(2,7)，3(6,21)答案(1)A(2)(6,21)方法技巧平面向量坐标运算的技巧(1)向
26、量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则平面向量共线的坐标表示例2已知a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线；(2)若2a3b，amb，且A，B，C三点共线，求m的值解(1)a(1,0)，b(2,1)，kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)，kab与a2b共线，2(k2)(1)50，k.(2)2(1,0)3(2,1)(8,3)，(1,0)m(2,1)(2m1，m)A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，m.方法技巧向量共
27、线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征(2)当x2y20时，ab，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误(3)公式x1y2x2y10无条件x2y20的限制，便于记忆；公式有条件x2y20的限制，但不易出错所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式1.若向量a(2,1)，b(1,2)，c，则c可用向量a，b表示为()A.abBabC.abD.ab解析：选A设cxayb，则(2x
28、y，x2y)，所以解得则cab.2.已知平行四边形ABCD中，(3,7)，(2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为()A. B.C.D.解析：选D(2,3)(3,7)(1,10).3.(2018丰台期末)已知向量a(3，4)，b(x，y)，若ab，则()A3x4y0B3x4y0C4x3y0D4x3y0解析：选C由平面向量共线基本定理可得3y4x0，故选C.4.(2018江西四校联考)已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若a2b与c共线，则k_.解析：由题意得，a2b(，3)，由a2b与c共线，得3k0，解得k1.答案：1全国卷5年真题集中演练明规律 1(2015全国卷)已知点A
29、(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4)B(7,4) C(1,4)D(1,4)解析：选A设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以解得从而(4，2)(3,2)(7，4)故选A.2(2016全国卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_.解析：a(m,4)，b(3，2)，ab，2m430.m6.答案：6课时达标检测 小题对点练点点落实对点练(一)平面向量基本定理1(2018珠海一模)如图，设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：与；与；与；与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是()AB CD解析：选B中，不共线；中，不共线中的两向量共线
30、，因为平面内两个不共线的非零向量构成一组基底，所以选B.2(2018山西太原质检)在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，则的值为()A. B. C.D1解析：选A设t，则()()，故选A.3(2018湖南四大名校联考)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则()A.ab B.abC.abD.ab解析：选C如图，根据题意，得(ab)，(ab)令t，则t()tab.由，令s，又(ab)，ab，所以ab，所以解方程组得把s代入即可得到ab，故选C.4(2018山东潍坊一模)若M是ABC内一点，且满足4，则ABM与ACM的面
31、积之比为()A. B. C.D2解析：选A设AC的中点为D，则2，于是24，从而2，即M为BD的中点，于是.5(2018湖北黄石质检)已知点G是ABC的重心，过G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且x，y，则的值为()A. B. C2D3解析：选B由已知得M，G，N三点共线，(1)x(1)y.点G是ABC的重心，()()，即得1，即3，通分变形得，3，.对点练(二)平面向量的坐标表示1(2018福州一模)已知向量a(2,4)，b(1,1)，则2ab()A(5,7)B(5,9) C(3,7)D(3,9)解析：选D2ab2(2,4)(1,1)(3,9)，故选D.2(2018河北联考)已
32、知平面向量a(1,2)，b(2，m)，若ab，则2a3b()A(5，10)B(2，4)C(3，6)D(4，8)解析：选D由ab，得m40，即m4，所以2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)3(2018吉林白城模拟)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则()A.B2 CD2解析：选C由向量a(2,3)，b(1,2)，得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)由manb与a2b共线，得，所以，故选C.4(2018河南六市联考)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与同方向的单位向量是()A. B.C.D.解析：选A因为(3，4)，所以与同方向的单位向量为.5设向量a
33、(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d()A(2,6)B(2,6)C(2，6)D(2，6)解析：选D设d(x，y)，由题意知4a(4，12)，4b2c(6,20)，2(ac)(4，2)，又4a4b2c2(ac)d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)(0,0)，解得x2，y6，所以d(2，6)6(2017南昌二模)已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a(1，1)共线，若(1) ，则()A3B3C1D1解析：选D设(x，y)，则由a知xy0
34、，于是(x，x)若(1)，则有(x，x)(3,1)(1)(1,3)(41,32)，即所以41320，解得1，故选D.7(2018河南中原名校联考)已知a(1,3)，b(m,2m3)，平面上任意向量c都可以唯一地表示为cab(，R)，则实数m的取值范围是()A(，0)(0，)B(，3)C(，3)(3，)D3,3)解析：选C根据平面向量基本定理，得向量a，b不共线，a(1,3)，b(m,2m3)，2m33m0，m3.故选C.大题综合练迁移贯通1(2018皖南八校模拟)如图，AOB，动点A1，A2与B1，B2分别在射线OA，OB上，且线段A1A2的长为1，线段B1B2的长为2，点M，N分别是线段A1
35、B1，A2B2的中点(1)用向量与表示向量；(2)求向量的模解：(1)，两式相加，并注意到点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点，得()(2)由已知可得向量与的模分别为1与2，夹角为，所以1，由()得| .2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，设a，b，c，有3c， 2b，求：(1)3ab3c；(2)满足ambnc的实数m，n；(3)M，N的坐标及向量的坐标解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)，(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(
36、3，4)(0,20)，M的坐标为(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N的坐标为(9,2)故(90，220)(9，18)3已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a0，b0.(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；(2)若A，B，C三点共线，试求ab的最小值解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，所以，即(a，0)(2,2b)，解得(2)因为(a，b)，(2,2b)，由A，B，C三点共线，得，所以a(2b)2b0，即2(ab)ab，因为a0，b0，所以2(ab)ab2，即(ab)28(ab)0，解得ab8或ab0.因为a0，b0，
37、所以ab8，即当且仅当ab4时，ab取最小值为8. 第三节 平面向量的数量积及其应用本节主要包括3个知识点：1.平面向量的数量积；2.平面向量数量积的应用；3.平面向量与其他知识的综合问题.突破点(一)平面向量的数量积1向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角(2)范围：设是向量a与b的夹角，则0180.(3)共线与垂直：若0，则a与b同向；若180，则a与b反向；若90，则a与b垂直2平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定零向量
38、与任一向量的数量积为0，即0a0.(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积(3)坐标表示：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.3平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)1判断题(1)在ABC中，向量与的夹角为B.()(2)00.()(3)若a与b共线，则ab|a|b|.()(4)(ab)ca(bc)()答案：(1)(2)(3)(4)2填空题(1)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角为120，则ab_.答案：10(2)已知向量a与b的夹角为60，|a
39、|1，|b|3，则ab_.答案：(3)已知向量a，b满足|a|b|2且ab2，则向量a与b的夹角为_答案：平面向量数量积的运算1.利用坐标计算数量积的步骤第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可2根据定义计算数量积的两种思路思路一若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算思路二根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解典例(1)(2018商
40、丘模拟)在边长为1的等边三角形ABC中，设a，b，c，则abbcca()AB0C.D3(2)如图，平行四边形ABCD中，AB2，AD1，A60，点M在AB边上，且AMAB，则_.解析(1)依题意有abbcca111111.(2)因为，所以()|2|21|cos 60121.答案(1)A(2)1易错提醒(1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补(2)两向量a，b的数量积ab与代数中a，b的乘积写法不同，不能省略掉其中的“”1已知|a|6，|b|3，向量a在b方向上的投影是4，则ab为()A12B8 C8D2解析：选A|a|cosa，b4，|
41、b|3，ab|a|b|cosa，b3412.2设xR，向量a(1，x)，b(2，4)，且ab，则ab()A6 B. C.D10解析：选Da(1，x)，b(2，4)且ab，42x0，x2，a(1，2)，ab10，故选D.3(2018重庆适应性测试)设单位向量e1，e2的夹角为，ae12e2，b2e13e2，则b在a方向上的投影为()ABC.D.解析：选A依题意得e1e211cos ，|a|，ab(e12e2)(2e13e2)2e6ee1e2，因此b在a方向上的投影为，故选A.4(2018成都模拟)已知菱形ABCD边长为2，B，点P满足，R，若3，则的值为()A.BC.D解析：选A法一：由题意可得
42、22cos 2，() ()()()()(1)(1)2(1)2(1)422(1)463，故选A.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，D(1，)令P(x,0)，由(3，)(x1，)3x333x3得x1.，.故选A.突破点(二)平面向量数量积的应用平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b.几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos abab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2| (1)已知平面向量a(2,4)，b(1，2)，若cab，则|c|_.答案：(2)已知向量a(1，)，b(，
43、1)，则a与b夹角的大小为_解析：由题意得|a|2，|b|2，ab112.设a与b的夹角为，则cos .0，.答案：(3)已知向量a(1，t)，b(6，4)若ab，则实数t的值为_答案：平面向量的垂直问题例1(1)(2018安徽蚌埠一模)已知非零向量m，n满足3|m|2|n|，它们的夹角60.若n(tmn)，则实数t的值为()A3B3 C2D2(2)平面四边形ABCD中，0，()0，则四边形ABCD是()A矩形B正方形 C菱形D梯形解析(1)由题意得cos . n(tmn)，n(tmn)tmnn2t|m|n|n|2|n|2|n|20，解得t3.故选B.(2)因为0，所以，所以四边形ABCD是平
44、行四边形又()0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形答案(1)B(2)C方法技巧平面向量垂直问题的类型及求解方法(1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可(2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数提醒注意x1y2x2y10与x1x2y1y20不同，前者是两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件平面向量模的相关问题例2(1)(2018合肥模拟)已知不共线的两个向量a，b满足|ab|2且a(a2b)，则|b|()A.B2C2D4(
45、2)在ABC中，若A120，1，则|的最小值是()A.B2C.D6解析(1)由a(a2b)得a(a2b)|a|22ab0.又|ab|2，所以|ab|2|a|22ab|b|24，则|b|24，|b|2，故选B.(2)因为1，所以|cos 1201，即|2，所以|2|22222|26，当且仅当|时等号成立，所以|min.答案(1)B(2)C方法技巧求向量模的常用方法(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|.(2)若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2a2aa，或|ab|2(ab)2a22abb2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解平面向
46、量的夹角问题例3(1)(2018泰安质检)已知非零向量a，b满足|a|b|ab|，则a与2ab夹角的余弦值为()A. B. C.D.(2)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _.解析(1)不妨设|a|b|ab|1，则|ab|2a2b22ab22ab1，所以ab，所以a(2ab)2a2ab，又|a|1，|2ab|，所以a与2ab夹角的余弦值为.(2)a2(3e12e2)2942329，b2(3e1e2)2912318，ab(3e12e2)(3e1e2)929118，cos .答案(1)D(2)方法技巧求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一
47、步由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积第二步分别求出这两个向量的模第三步根据公式cos 求解出这两个向量夹角的余弦值第四步根据两个向量夹角的范围是0，及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角1.(2017怀柔二模)已知a(1,2)，b(1，)，则ab|b|()A1B1C12D2解析：选C因为ab(1,2)(1，)12，|b|2，所以ab|b|12212.2.(2018辽宁沈阳一模)已知平面向量a(k,3)，b(1,4)若ab，则实数k()A12B12 C.D.解析：选A平面向量a(k,3)，b(1,4)，ab，abk120，解得k12.故选A.3.(2018河北廊坊期末)已知|a|2，向量a
48、在向量b上的投影为，则a与b的夹角为()A. B. C.D.解析：选B设向量a与向量b的夹角为，则a在b上的投影为|a|cos 2cos .a在b上的投影为，cos .0，.故选B.4.(2018上海普陀区一模)设是两个非零向量a，b的夹角，若对任意实数t，|atb|的最小值为1，则下列判断正确的是()A若|a|确定，则唯一确定B若|b|确定，则唯一确定C若确定，则|b|唯一确定D若确定，则|a|唯一确定解析：选D设g(t)(atb)2b2t22taba2，则4(ab)24b2a20恒成立，当且仅当t时，g(t)取得最小值1，b22aba21，化简得a2sin21，所以当确定时，|a|唯一确定
49、5.(2018惠州一模)若O为ABC所在平面内任一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形解析：选A因为()(2)0，即()0，()()0，即|，所以ABC是等腰三角形，故选A.突破点(三)平面向量与其他知识的综合问题平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具.在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查.平面向量与三角函数的综合问题例1(2017江苏高考)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及
50、对应的x的值解(1)因为a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.则tan x.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos.因为x0，所以x，从而1cos.于是，当x，即x0时，f(x)取到最大值3；当x，即x时，f(x)取到最小值2.方法技巧平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路(1)向量平行、垂直与三角函数综合此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解(2)向量的模与三角函数综合此类题型主要是利用向量模
51、的性质|a|2a2，如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解此类题型主要表现为两种形式：利用三角函数与向量的数量积直接联系；利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合平面向量与几何的综合问题例2(1)(2018渭南一模)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD30，E为CD的中点，若1，则AB的长为()A. B. C.D1(2)(2018安徽淮北一模)已知直线l1与圆心为C的圆(x1)2(y2)24相交于不同的A，B两点，对平面内任意点Q都有(1) ，R.又点P为直线l2：3x4y40上的动点
52、，则的最小值为()A21B9C5D0解析(1)因为四边形ABCD是平行四边形，E为CD的中点，所以，所以()221，又21，1|cos 30|，所以12|1，解得|或|0(舍去)，故选C.(2)对平面内的任意点Q都有(1)，R，A，B，C三点共线，即AB为圆C的直径,2，2222 ，42222.，得2224.点C到直线l2的距离为3，29，的最小值为5.故选C.答案(1)C(2)C方法技巧平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之
53、间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解1.(2018烟台一模)已知a，b，则|ab|()A1 B. C.D.解析：选C因为ab(，0)，所以|ab|，故选C.2.(2018西安八校联考)已知平行四边形ABCD中，AB1，AD2，DAB60，则()A1 B. C2D2解析：选C因为，所以()|21|cos 602.3.(2018湖南常德月考)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值解：(1)证明：|ab|，(ab)22，即a22abb22，a2cos2sin21，b2cos2sin21，
54、ab0，ab.(2)ab(cos cos ，sin sin )(0,1)22得cos().0，0，即，代入得sin sin1，整理得sin cos 1，即sin1.0，0)，(1,2)，|，则，的夹角为()A. B. C.D.解析：选C因为(1x,1)，所以|2(1x)215，即x22x30，解得x3或x1(舍)设，的夹角为，则cos ，所以.故选C.3(2018广东五校协作体一模)已知向量a(，1)，b(2,1)若|ab|ab|，则实数的值为()A1B2C1D2解析：选A根据题意，对于向量a，b，若|ab|ab|，则|ab|2|ab|2，变形可得a22abb2a22abb2，即ab0.又由向
55、量a(，1)，b(2,1)，得(2)10，解得1.故选A.4已知向量a(，1)，b(0,1)，c(k，)，若a2b与c垂直，则k()A3B2C1D1解析：选A因为a2b与c垂直，所以(a2b)c0，即ac2bc0，所以k20，解得k3.5(2017吉林三模)已知平面向量a，b的夹角为120，且ab1，则|ab|的最小值为()A. B. C.D1解析：选A由题意可知1ab|a|b|cos 120，所以2|a|b|，即|a|2|b|24，当且仅当|a|b|时等号成立，|ab|2a22abb2a2b22426，所以|ab|，所以|ab|的最小值为.6(2018河北石家庄一模)已知三个向量a，b，c共
56、面，且均为单位向量，ab0，则|abc|的取值范围是()A1，1B1， C， D1,1解析：选A法一：因为ab0，所以|ab|2a22abb22，所以|ab|.所以|abc|2a2b2c22ab2(ab)c32(ab)c.当c与(ab)同向时，(ab)c最大，|abc|2最小，此时(ab)c|ab|c|cos 0，|abc|232(1)2，所以|abc|min1；当c与(ab)反向时，(ab)c最小，|abc|2最大，此时(ab)c|ab|c|cos ，|abc|232(1)2，所以|abc|max1.所以|abc|的取值范围为1，1故选A.法二：由题意不妨设a(1,0)，b(0,1)，c(c
57、os ，sin )(02)则abc(1cos ，1sin )，|abc|，令t32sin，则32t32，故|abc|1，1对点练(三)平面向量与其他知识的综合问题1(2018丰台期末)在ABC中，若2，则的值为()A. B. C.D.解析：选A设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由2，得ac2bcab，化简可得ac.由正弦定理得.2(2018吉林质检)已知A(2,0)，B(2,0)，动点P(x，y)满足x2，则动点P的轨迹为()A椭圆B双曲线C抛物线D两条平行直线解析：选D因为动点P(x，y)满足x2，所以(2x，y)(2x，y)x2，所以点P的轨迹方程为y24，即y2，所以动点
58、P的轨迹为两条平行的直线3已知点M(1,0)，A，B是椭圆y21上的动点，且MA 0，则的取值范围是()A. B.C.D.解析：选C由0，可得()2, 设A(2cos ，sin )，则2(2cos 1)2sin23cos24cos 232，所以当cos 时，2取得最小值，当cos 1时，2取得最大值9，故的取值范围为.4.已知点G是ABC的外心， ， 是三个单位向量，且20，ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，如图所示，点O是坐标原点，则|的最大值为()A1B2C3D4解析：选B因为点G是ABC的外心，且20，所以点G是BC的中点，ABC是直角三角形，且BAC是直角又
59、，是三个单位向量，所以BC2，又ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，在RtBOC中，OG是斜边BC上的中线，则|OG|BC|1，所以点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧又|1，所以当OA经过BC的中点G时，|取得最大值，且最大值为2|2.5已知a，b满足|a|，|b|1，且对任意的实数x，不等式|axb|ab|恒成立，设a，b的夹角为，则tan 2_.解析：如图所示，当(ab)b时，对任意的实数x，axb或axb，因为在直角三角形中，斜边大于直角边恒成立，数形结合知，不等式|axb|ab|恒成立，因为(ab)b，a，b满足|a|，|b|1，所以(ab)b0，abb
60、20，tan ，tan 22.答案：2大题综合练迁移贯通1(2018江西南昌三校联考)已知A，B，C是ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m(，cos A1)，n(sin A，1)，mn.(1)求角A的大小；(2)若a2，cos B，求b的值解：(1)mn，mnsin A(cos A1)(1)0，sin Acos A1，sin.0A，A，A，A.(2)在ABC中，A，a2，cos B，sin B .由正弦定理知，b，b. 2.已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，c(1,0)(1)求向量bc的模的最大值；(2)设，且a(bc)，求cos 的值解：(1)bc(cos
61、 1，sin )，则|bc|2(cos 1)2sin22(1cos )因为1cos 1，所以0|bc|24，即0|bc|2.当cos 1时，有|bc|2，所以向量bc的模的最大值为2.(2)若，则a.又由b(cos ，sin )，c(1,0)得a(bc)(cos 1，sin )cos sin .因为a(bc)，所以a(bc)0，即cos sin 1，所以sin 1cos ，平方后化简得cos (cos 1)0，解得cos 0或cos 1.经检验cos 0或cos 1即为所求3已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任意一条直径，求的最值解：(1)设P(x，y)，则Q(8，y) 由0，得|2|20，即(2x)2(y)2(8x)20，化简得1.所以动点P在椭圆上，其轨迹方程为1.(2)易知， ，且0，由题意知N(0,1)，所以22(x)2(1y)2116(y1)21y22y16(y3)219.因为2y2，所以当y3时，取得最大值19，当y2时， 取得最小值124.综上，的最大值为19，最小值为124.
