1、提能拔高限时训练42 空间向量及其运算（B）一、选择题1.平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为AC和BD的交点,若=a, =b, =c,则下列式子中与B1M相等的是( )A.-a+b+c B.a+b+cC.a-b+c D.- a-b+c解析: =+BM=+（+）=-+=c-a+b.故选A.答案:A2.以下命题中正确的是( )A.若=+,则P、A、B三点共线B.若a,b,c为空间的一个基底，则a+b,b+c,c+a构成空间的另一个基底C.|（ab）c|=|a|b|c|D.ABC为直角三角形的充要条件是=0解析:根据“若=m+n且m+n=1,则P、A、B三点共线”可知A错误;若a、b、c为空
2、间的一个基底,则a、b、c为不共线向量.假设a+b与b+c共面,则存在实数,使a+b=(b+c),即a=(-1)b+c.a与b、c共面.假设不成立,即a+b、b+c不共面.可知B正确;根据向量数量积的定义,易知C不正确;ABC为直角三角形的充要条件是ABC三个内角A、B、C中有一个是直角.答案:B3.P为正六边形ABCDEF外一点,O为正六边形ABCDEF的中心,则+等于( )A. B.3 C.6 D.0解析:如图, +=2,同理+=+=2,原式=6.答案:C4.若a，b为非零向量，则ab=|a|b|是a与b平行的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条
3、件解析:因为a,b为非零向量，又ab=|a|b|cosa,b=|a|b|,所以cosa,b=1.所以a,b=0,即a与b平行；反之，若a与b平行，当a,b=时，ab=-|a|b|a|b|,由此知应选A.答案:A5.若a=(2,2,0),b=(1,3,z),a，b=60,则z等于( )A. B.- C. D.解析:ab=8，|a|b|=2，cosa,b=,z=.答案:C6.已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若(a+b)c,则x等于( )A.4 B.-4 C. D.-6解析:a+b=(-2,1,x+3),(a+b)c,(a+b)c=0,即-21+1(-x)+(x
4、+3)2=0.解得x=-4.答案:B7.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为( )A. B. C. D.解析:b-a=(1+t,2t-1,0),|b-a|2=(b-a)2=(1+t)2+(2t-1)2+0=5t2-2t+2.当t=时,|b-a|min2=,|b-a|的最小值是.答案:C8.在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M、N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定解析:如图,建立空间直角坐标系B1xyz,则M(0,a,)、N(,a,a),=(,0,a).
5、平面BB1C1C.答案:B9.如图所示,ABCDEFGH是棱长为1的正方体,P在正方体的内部且=+,则P点到直线AB的距离为( )A. B. C. D.解析:建系如题图,则A(0,0,0)、B(1,0,0)、D(0,1,0)、E(0,0,1).=+=(,0,0)+(0,0)+(0,0,)=(,).又为单位向量,在上的射影为=.又|=,P到AB的距离d=.答案:A10.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为( )A.arccos B.arccosC.arccos D.arccos解析:如图建立空间直角坐标系，把D点视作原点O
6、，分别沿、方向为x轴、y轴、z轴的正方向，则A（1，0，0），M（1，1），C（0，1，0），N（1，1，）,=（1，1）-（1，0，0）=（0，1）,=（1，1，）-（0，1，0）=（1，0，）.故=01+0+1=.又|=,|=,设为直线AM与CN所成的角,cos=.=arccos.答案:D二、填空题11.已知空间四边形ABCD，则+=_.解析: +=+(+)+=+=(+)+(+)=+=-=0.答案:012.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为B1C1的中点，设=a，=b，=c，用a，b，c表示下列向量：（1）=_；（2）=_.解析:（1）=+=a+c+b;（2）=+=+=a+c-b
7、.答案:（1）a+b+c （2）a-b+c13.已知A（1，0，1），B（4，4，6），C（2，2，3），D（10，14，17）,则这四个点是否共面：_（填“共面”或“不共面”）.解析:=(3,4,5),=(1,2,2), =(9,14,16),=2+3.A、B、C、D四点共面.答案:共面14.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4)、D(1,1,1),若=2,则|的值是_.解析:设点P(x,y,z),则由=2,得(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),即 解得则|=.答案:三、解答题15.四棱锥SABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC底面ABCD.已知ABC=
8、45,AB=2,BC=2,SA=SB=.(1)证明SABC;(2)求直线SD与平面SAB所成角的大小.解法一:(1)证明:作SOBC,垂足为O,连结AO,由侧面SBC底面ABCD,得SO底面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又ABC=45,故AOB为等腰直角三角形,AOBO.由三垂线定理,得SABC.(2)由(1)知SABC,依题设ADBC,故SAAD.由AD=BC=,SA=,AO=,得SO=1,SD=.所以SAB的面积S1=AB.连结DB,得DAB的面积S2=ABADsin135=2.设D到平面SAB的距离为h,由VDSAB=VSABD,得hS1=SOS2,解得h=.设SD与平面SA
9、B所成角为,则sin=.所以直线SD与平面SAB所成的角为arcsin.解法二:(1)证明:作SOBC,垂足为O,连结AO,由侧面SBC底面ABCD,得SO平面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又ABC=45,所以AOB为等腰直角三角形,AOOB.如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立空间直角坐标系Oxyz,则A(,0,0),B(0,0),C(0,-,0),S(0,0,1),=(,0,-1),=(0,2,0),=0,所以SABC.(2)取AB的中点E,E(,0).连结SE,取SE的中点G,连结OG,则G(,),=(,),=(,-1), =(-,0).=0, =0,OG与平面SAB内
10、两条相交直线SE、AB垂直,所以OG平面SAB. 与的夹角记为,SD与平面SAB所成的角记为,则与互余.D(,-2,0),=(-,2,1),cos=,sin=,所以直线SD与平面SAB所成的角为arcsin.16.如图,四边形PCBM是直角梯形,PCB=90,PMBC,PM=1,BC=2,又AC=1,ACB=120,ABPC,直线AM与直线PC所成的角为60.(1)求证:平面PAC平面ABC;(2)求二面角MACB的大小;(3)求三棱锥PMAC的体积.解法一:(1)证明:PCAB,PCBC,ABBC=B,PC平面ABC.又PC平面PAC,平面PAC平面ABC.(2)取BC的中点N,则CN=1,
11、连结AN、MN,PMCN,MNPC.从而MN平面ABC.作NHAC,交AC的延长线于H,连结MH,则由三垂线定理,知ACNH,从而MHN为二面角MACB的平面角,直线AM与直线PC所成的角为60,AMN=60.在ACN中,由余弦定理,得AN=,在RtAMN中,MN=ANcotAMN=1,在RtCNH中,NH=CNsinNCH=1=,在RtMNH中,tanMHN=.故二面角MACB的平面角大小为arctan.(3)由(2),知四边形PCNM为正方形,VPMAC=VAPCM=VAMNC=VMACN=ACCNsin120MN=.解法二:(1)同解法一(1).(2)在平面ABC内,过C作CDCB,交A
12、B于D,建立空间直角坐标系Cxyz(如图).由题意有A(,-,0),设P(0,0,z0)(z00),则M(0,1,z0), =(-,z0), =(0,0,z0),由直线AM与直线PC所成的角为60,得=cos60,即z02=z0,解得z0=1.=(0,1,1), CA=(,-,0).设平面MAC的一个法向量为n=(x1,y1,z1),则取x1=1,得n=(1,-).平面ABC的法向量取为m=(0,0,1),设m与n所成角为,则cos=,显然,二面角MACB的平面角为锐角.故二面角MACB的大小为arccos.(3)取平面PCM的法向量为n1=(1,0,0),则点A到平面PCM的距离h=.=1,
13、=1,VPMAC=VAPCM=h=11=.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】已知A(3,2,1)、B(1,0,4),求:(1)线段AB的中点坐标和长度;(2)到A、B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.解:(1)设P(x,y,z)是AB的中点,则=(+)=(3,2,1)+(1,0,4)=(2,1,),点P的坐标是(2,1,),dAB=17.(2)设点P(x,y,z)到A、B的距离相等,则=.化简得4x+4y-6z+3=0,即为P坐标应满足的条件.【例2】 棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,在棱DD1上是否存在点P使B1D面PAC？解:以D为坐标原点建立如图所示的空间
14、直角坐标系,设存在点P(0,0,z),=(-a,0,z),=(-a,a,0),=(a,a,a).B1D面PAC,=0,=0.-a2+az=0.z=a,即点P与D1重合.点P与D1重合时,DB1面PAC.【例3】如图,在三棱锥ABCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1.另一个侧面ABC是正三角形.(1)求证:ADBC;(2)求二面角BACD的大小;(3)在线段AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30角?若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明:作AH面BCD于点H,连结BH、CH、DH,则四边形BHCD是正方形,且AH=1.以
15、D为原点,以DB为x轴,DC为y轴建立空间直角坐标系如下图,则B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1).=(-1,1,0),=(1,1,1),=0,则BCAD. (2)解:设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),则由n1,知n1=-x+y=0;同理由n1,知n1=x+z=0.可取n1=(1,1,-1).同理,可求得平面ACD的一个法向量为n2=(1,0,-1).由图可以看出,二面角BACD的大小应等于n1,n2,则cosn1,n2=,即所求二面角的大小是arccos.(3)解:设E(x,y,z)是线段AC上一点,则x=z0,y=1,平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1),=(x,1,x),要使ED与面BCD成30角,由图可知与n的夹角为60,cos,n=cos60=.则2x=,解得x=,则CE=x=1.故线段AC上存在E点,且CE=1时,ED与平面BCD成30角.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m