1、72.4诱导公式第1课时诱导公式(一)课程目标 1.借助单位圆的直观性探索正弦、余弦和正切的诱导公式2掌握正弦、余弦和正切的诱导公式的应用3通过对公式的运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归数学思想，提高分析问题、解决问题的能力填一填1诱导公式终边相同的角的同名三角函数值相等即：cos(k 2)cos，sin(k2)sin，tan(k2)tan.其作用是把绝对值大于2的任意角的三角函数值化为0,2)上的角的同名三角函数值2诱导公式角的三角函数等于角的同名三角函数，前边放上把看作锐角时，所在象限的原三角函数值的符号即cos()cos，sin()sin，tan()tan.其作用是把任意负角的三角函
2、数转化为正角的三角函数3诱导公式角的三角函数等于角的同名三角函数，前边放上把角看作锐角时，所在象限的原三角函数值的符号，即sin()sin，cos()cos，tan()tan.4诱导公式角的三角函数等于角的同名三角函数，前边放上把角看作锐角时，所在象限的原三角函数值的符号，即sin()sin，cos()cos，tan()tan.答一答1对四组诱导公式的理解应注意什么问题？提示：(1)公式的作用是：其一，可以将任意角的正弦、余弦、正切函数值，分别化为0到360的角的同一三角函数值(方法是先在0到360的范围内找出与它终边相同的角，再把它写成公式的形式，然后得出结果)；其二，便于研究这三种三角函数
3、的周期性(2)公式和和的推导，要紧扣点P(x，y)关于坐标轴和关于原点的对称性，而且点P是角的终边与单位圆的交点于是P(x，y)可以写为P(cos，sin)，P点关于x轴的对称为P(cos，sin)，P点关于原点的对称点为P(cos，sin)，由此推导出诱导公式.关于诱导公式，最主要的是与的三角函数间的关系，即sin()sin，cos()cos.tan()tan.将上面的三个公式与诱导公式联合起来，就得到诱导公式.由诱导公式又得到关于与这两个互补的角的关系式：sin()sin，cos()cos，tan()tan.这是将公式中的换成以后得到的结果(3)这一组公式的共同特点：角，2k(kZ)，的三
4、角函数等于角的同名三角函数，前边放上把角看成锐角时，该角所在象限的原三角函数值的符号，口诀为：“函数名不变，符号看象限”(4) 三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，因此，用数形结合的思想从单位圆关于坐标轴、直线yx、原点等的对称性出发研究诱导公式，可以发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得诱导公式(数)与单位圆(形)得到紧密结合，成为一个整体2运用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤是怎样的？3常用的特殊角的三角函数值有哪些？提示：类型一利用诱导公式求值例1求下列各三角函数值(1)sin；(2)cos(945)；(3)tan(855)；(4)sin(1 200
5、)cos1 290cos(1 020)sin(1 050)tan945.解(1)sinsinsinsinsin.(2)cos(945)cos945cos(2360225)cos225cos(18045)cos45.(3)tan(855)tan855tan(2360135)tan(18045)tan451.(4)sin(1 200)cos1 290cos(1 020)sin(1 050)tan945sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)tan(2360225)sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)
6、tan(18045)sin60cos30cos60sin30tan4512.运用诱导公式求任意角的三角函数值时，一般步骤是：负化正正化主主化锐求值.即先把负号化去(诱导公式)，再把任意正角写成2k，02(或k360，0360)的形式转化为的三角函数，0，2)称为主区间，再用(或180)化为锐角的三角函数，最后求值.变式训练1计算：(1)sin405cos(765)；(2)sintancostan.解：(1)原式sin(36045)cos765sin45cos(236045)sin45cos45.(2)原式tancostansintancostan(1)0.类型二条件求值例2已知cos，求cos
7、sin2的值解coscoscos，sin2sin21cos212，cossin2.(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.变式训练2已知cos(75)，且为第四象限角，求sin(105)的值解：cos(75)0，且为第四象限角，75是第三象限角sin(75).sin(105)sin180(75)sin(75).类型三三角函数式的化简例3化简.分析由于本例含有根式且所给角度不一样，化简时应用诱导公式尽可能将角统一，去根号时还应注意三角函数的正负解原式1.1.三角函数式的化
8、简常用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.2.化简时要特别注意“1”的变式应用.变式训练3化简：(nZ)解：原式coscoscos2.类型四三角函数式的证明例4求证：tan.分析运用诱导公式，尝试从等式的左边入手，直至推出右边即可证明左边tan右边原等式成立1.用从等式的一边开始化为等式的另一边的方法证明恒等式问题，实质上就是三角函数式的化简问题.2.证明三角恒等式的一般思路是：先分析角的特点及角之间的关系，再将角变形，然后利用诱导公式及同角三角函数的基本关系式来完成证明.变式训练4设tana.求证：.证明：左边右边等式成立.1cos300(C)A BC. D.解析：该题考查三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值cos300cos(36060)cos(60)cos60，故选C.2已知sinm，则cos的值等于(C)Am BmC. D解析：sinsinsin，sinm，且，cos.3.等于(A)Asin2cos2 Bsin2cos2C(sin2cos2) Dcos2sin2解析：2cos2，即sin2cos20，|sin2cos2|sin2cos2.4已知cos，则cos.解析：2，2，coscoscos.