1、82三角恒等变换82.1两角和与差的余弦课程目标 1.掌握两角和与差的余弦公式，会利用公式进行三角函数式的化简和求值2掌握常用角的变换，会利用公式进行化简和求值填一填1两角和与差的余弦公式cos()coscossinsin，(C)cos()coscossinsin.(C)2两角差的余弦公式推导推导：以坐标原点为中心作单位圆，以Ox为始边作角与，它们终边分别与单位圆相交于点P，Q，如图所示，则P(cos，sin)，Q(cos，sin)，|1，则，2k(kZ)(cos，sin)(cos，sin)coscossinsin.又|cos，cos()，cos()coscossinsin.(1)在公式(1)
2、中用代替则有cos()cos()coscos()sinsin()coscossinsin，即cos()coscossinsin.答一答1怎样理解两角和与差的余弦公式？提示：(1)两角和与差的余弦公式的结构特征为：公式的左侧为，的差(和)角的余弦，右侧为，的余弦之积与正弦之积的和(差)简记为“余余正正符号异”(2)公式中的、 为任意角，即对任意的角、 ，公式均成立(3)诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况两角中若有的整数倍的角，使用诱导公式会简化运算，不需要再用两角和与差的三角函数公式展开来计算(4)和(差)角的余弦公式不能按照分配律展开，即cos()coscos，cos()coscos
3、.(5)注意公式的逆用，变形应用是灵活使用公式的前提，如coscossinsincos()，(coscos)2(sinsin)222cos()，cos()cos()sin()sin()cos2等应用时需灵活掌握(6)利用公式可以将非特殊角的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值利用公式可化简三角函数式，证明三角函数式，已知三角函数值求角等2常见的角的变换有哪些形式？提示：在解决求值一类问题时，常常需要用到将非特殊角转化为特殊角以及角的拆拼、变换等技巧，使已知角与所求角之间具有某种关系：如()()()，()()()()，(2)，2()()，2()()等，掌握此类技巧可以减少运算量，提高解题速度与准
4、确性类型一公式的简单应用例1(1)求cos75的值；(2)求证：coscossin.分析正用公式，尝试从等式的左边推导出等式的右边解(1)cos75cos(4530)cos45cos30sin45sin30.(2)证明：coscossin.原等式成立1.正用C公式解题时，关键要记清公式的结构特征，尤其是中间的符号，以免出错.2.熟记特殊角的三角函数值，是解决本章求值问题的必要基石.变式训练1已知sinx，x(0，)，求cos.解：sinx，x(0，)，当x时，cosx.当x时，cosx.当x时，coscosxcossinxsin；当x时，coscosxcossinxsin.类型二逆用或变形应用
5、公式命题视角1：公式的逆用例2求值：(1)cos(x20)cos(x40)cos(x70)sin(x40)；(2)sin347cos148sin77cos58.解(1)原式cos(x20)cos(x40)sin90(x70)sin(x40)cos(x20)cos(x40)sin(x20)sin(x40)cos(x20)(x40)cos60.(2)原式sin(13360)cos(18032)sin77cos58sin(13)(cos32)sin77cos58sin13(cos32)sin77cos(9032)cos77cos32sin77sin32cos(7732)cos45.本题若将各式用两角
6、和与差的三角函数公式展开，运算将很麻烦，以上解法是对上式进行整体分析，寻找角度之间的关系，再逆用公式进行化简.变式训练2求值：(1)cos80cos35cos10cos55；(2)sincos.解：(1)原式cos80cos35sin80sin35cos(8035)cos45.(2)原式coscos.命题视角2：公式的变形应用例3化简：.分析本题主要考查两角和与差的余弦公式的灵活运用，本题中出现的10，20角直观上看似乎没有联系但是两者之和是30，所以把10等价转化为3020，就可以用两角差的余弦公式化简解原式.本题的解题关键是借助已知角之和为30，将10转化为3020，利用两角差的余弦公式求
7、解.变式训练3求的值解：原式1.类型三给值求值问题例4设cos，sin，其中，求cos.分析注意到条件中的角与待求结论中的角存在着以下关系：，因此可以求出cos.解，.，sin.cos.coscoscoscossinsin.变式训练4已知：cos(2)，sin(2)，且，0，求cos()解：因为，0，所以2.因为cos(2)，所以sin(2).因为，0，所以2.因为sin(2)，所以02，所以cos(2).所以cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)0.类型四 给值求角问题例5已知，均为锐角，且cos，cos，求的值解，均为锐角，sin，sin，cos()c
8、oscossinsin，又sinsin，0，0，.解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理运用公式并结合角的范围，对所求的解进行取舍，其关键环节有两个：一是求出所求角的某种三角函数值，二是确定角的范围，然后结合三角函数图像就易求出角的值.变式训练5已知cos，cos()，且，求的值解：，且cos，cos()，(0，)，sin，sin().又()，coscos()cos()cossin()sin.又，.1cos(15)的值是(D)A BC D解析：cos(15)cos15cos(4530)cos45cos30sin45sin30.2已知cos()cos()，则coscos的值为(D)AB C
9、D解析：由两角和与差的余弦公式cos()coscossinsin，cos()coscossinsin.cos()cos()coscossinsincoscossinsin2coscos.coscos.3已知为第二象限角，若sin，则cos等于(A)A BC D解析：是第二象限角，cos.coscoscossinsin.4cos(27x)sin(57x)sin(207x)sin(327x).解析：原式cos(27x)sin(57x)sin(18027x)sin(36033x)cos(27x)sin(57x)sin(27x)sin(33x)cos(27x)cos(33x)sin(27x)sin(33x)cos(27x)(33x)cos60.