1、2011年高考数学抢分必备专题五 解析几何【选题理由】从近两年的高考情况看，试卷中的解析几何题目一般是两小一大，分值在22分左右，超过期望分数；要注意解析几何与向量、函数、不等式、数列等在知识网络的交汇处设计试题；直线与圆锥曲线的位置关系仍然是高考的热点问题。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。对2011年高考解析几何题型的预测1求曲线（轨迹）方程的常用方法（
2、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等）。2掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线与圆的位置关系的思想方法。3直线与圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。综观近几年的全国和部分省高考数学试题，本专题列出高考考查的热点内容有：（1）直线方程、圆方程；（2）圆锥曲线的标准方程；（3）圆锥曲线的几何性质；（4）直线与圆锥曲线的位置关系；（5）求曲线（轨迹）方程。特别是求曲线（轨迹）方程和直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考解析几何问题的热中之热。后段复习建议1.加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。2由于直线与圆锥曲线是高考考
3、查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的 热点问题作深入的研究。3在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。4.在注重提高计算能力的同时，要加强心理辅导，帮助学生克服惧怕计算的心态。【押题1】已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最小距离为2. (1)求椭圆的标准方程；(2)已知圆,直线. 试证明：当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.【押题指数】【解
4、析】（）由,F2 T O P y x 【押题2】已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值不小于为（1）求椭圆的离心率的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为，圆与轴的右交点为，过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，求直线被圆截得的弦长的最大值【押题指数】【押题3】在四边形中，已知，点在轴上， ，且对角线（)求点的轨迹方程；（)若点是直线上任意一点，过点作点的轨迹的两切线、，、为切点，为的中点求证：轴；（）在()的条件下，直线是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由教【押题指数】【解析】（)如图，设点的坐标为，则，即所求
5、的轨迹是除去顶点的抛物线 3分（解法一）()对函数求导得，设切点坐标为，则过该切点的切线的斜率是，该切线方程是又设点的坐标为，切线过点，有，化简，得6分设、两点的坐标分别为、，则、为方程的两根， 因此，当时，直线与轴重合，当时，直线与轴平行9分() 点的坐标为 又直线的方程为：，即（）当时，方程（）恒成立，对任意实数，直线恒过定点，定点坐标为（解法二）()设点的坐标为，利用切点弦直线方程的结论可得出直线的方程为，即 7分由 得.因此，当时，直线与轴重合，当时，直线与轴平行.9分() 由()得知直线的方程为，即后面解法同解法一【方法与技巧】存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出
6、所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立. 【押题4】已知双曲线C：，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线，垂足为P，（1）求证：；（2）若与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E，求双曲线C的离心率e的取值范围.【押题指数】【解析】（1）因成等比数列，故，即，直线：，由，故：，则：，即；（或，即）（2）由，由得：（或由【方法与技巧】向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标. 直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程
7、和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题【押题5】如图，已知圆过定点，圆心在抛物线上运动，为圆在 轴上所截得的弦.（）证明：是定值；（）讨论抛物线的准线与圆的位置关系；（）设是抛物线的准线上任意一点，过向抛物线作两条切线(切点是)，判断直线是否过定点，并证明你的结论. 【押题指数】【解析】（）设,则,则圆的半径,则圆的方程为, 2分令,并将代入得, 解得,为定值. 4分（）圆心到抛物线准线:的距离为,则6分所以，当时，抛物线的准线与圆相交；当时，抛物线的准线与圆相切；当时，抛物线的准线与圆相离. 9分（）设切点为，由，则切线为，所以消去t可得， .12分又，所以直线的方程是即，13分把，代人得
8、，故直线是过定点.15分另解：直线是过定点，即三点共线，证明如下：由题意设D(t,1)，切线方程为，代人，得,令，则有， 2分由此可得，切点坐标所以，,又 2分所以，即三点共线，故直线是过定点. 2分【方法与技巧】解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力。【押题6】已知双曲线的两个焦点为 在曲线C上. （）求双曲线C的方程；（）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若OEF的面积为求直线l的方程【押题指数】【解析】
9、()依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0a24），将点（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a22，故所求双曲线方程为()解：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得(1k2)x24kx6=0.直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,k()(1,).设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由式得x1+x2=于是|EF|=而原点O到直线l的距离d,SOEF=若SOEF，即解得k=,满足.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和【方法与技巧】本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待定系数法、不等式的解
10、法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力.涉及到三角形的面积问题。在直线与圆锥曲线的位置关系处命题一直是个热点，基本方法是联立方程，利用判别式、韦达定理求解，运算量一般较大。这类综合题中常涉及的问题有弦长问题，面积问题，对称问题，轨迹问题，定点、定值问题，是历年来高考中的热点问题，复习时要注重通性通法的训练。【押题7】设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且（）求椭圆的离心率； （）若过、三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆的方程； （III）在（）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值
11、范围，如果不存在，说明理由【押题指数】【解析】（）：设Q（x0，0），由（c，0）,A（0，b）知 ，由于 即为中点故故椭圆的离心率4分（）由知得于是（，0） Q，AQF的外接圆圆心为（-，0），半径r=|FQ|=所以，解得=2，c =1，b=，所求椭圆方程为（III）由（）知 ： 代入得9分设，则，10分由于菱形对角线垂直，则 12分故则由已知条件知且故存在满足题意的点P且的取值范围是14分【方法与技巧】本题考查利用直线、椭圆和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力. 利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 【押题8】已知动
12、圆过定点，且与直线相切，其中.（I）求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【押题指数】【解析】（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知（1）当时，即时，所以，所以由知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点（2）当时，由，得=将式代入上式整理化
13、简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为即所以直线恒过定点所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.【方法与技巧】本题的轨迹问题采用抛物线的定义来求解，用圆锥曲线的定义求轨迹问题是经常采用的方法，要求充分掌握圆锥曲线的定义，灵活应用。利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.【押题9】已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切。（）求椭圆的方程；（）设椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，直线过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段PF2的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2
14、的方程；（）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值【押题指数】【押题10】设椭圆其相应于焦点的准线方程为.（）求椭圆的方程；（）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证： ; 【押题指数】【解析】（1）由题意得： 椭圆的方程为(2)由（1）知是椭圆的左焦点，离心率设为椭圆的左准线。则作，与轴交于点H(如图)点A在椭圆上 同理 。【方法与技巧】：此题以直线与椭圆的位置关系为命题元素，以求弦长为载体将解析几何问题代数化及用三角函数的方法去解决圆锥曲线中有关求最值及求范围问题。本题同时具备极坐标特征，若用极坐标的思想来解题，本题第二问就会快速求解。
15、在复习过程中适当地扩充，或在边缘问题上适当补充，不仅可以开阔学生视野，而且可以为某些解题方法提供更好的思路。【押题11】设，椭圆方程为，抛物线方程为如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，AyxOBGFF1图4已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）【押题指数】【解析】（）由已知，椭圆方程可设为-1分长轴长为,离心率，所求椭圆方程为- 4分（）因为直线过椭圆右焦点，且斜率为，所以直线的方程为
16、设，由 得 ，解得 -8分（）当直线与轴垂直时，直线的方程为，此时小于，为邻边的平行四边形不可能是矩形-9分当直线与轴不垂直时，设直线的方程为由 可得 ，-11分因为以为邻边的平行四边形是矩形.由得， .所求直线的方程为 -1 3分【方法与技巧】本题主要考查直线、椭圆、抛物线等平面解析几何的基础知识，考查学生综合运用数学知识进行推理的运算能力和解决问题的能力。在第一问中涉及到切线问题，与导数相联系，难度不大，第二问中涉及到方程的解的问题，同时考查向量知识运用的灵活性。在向量、导数、函数、方程交汇处设计题目，也是近几年来高考的热点之一。【押题12】已知抛物线 的准线方程为，与直线 在第一象限相交
17、于点，过作的切线，过作的垂线交x轴正半轴于点，过作的平行线交抛物线于第一象限内的点，过作的切线，过作的垂线交x轴正半轴于点，依此类推，在x轴上形成一点列，,()设 的坐标为()（）求抛物线的方程；（）试探求 关于 的递推关系；（）证明: ()【押题指数】【解析】（）由题意知，抛物线的方程为（）由题意知直线的方程为与抛物线 联立得而 切线的斜率为=直线 的斜率为直线的方程为令= 7分（）由（）知= =而由已知易得直线 的斜率为直线 的方程为 令y=0得，即【方法与技巧】与数列交汇体现在两个方面：一是在几何图形中构造出数列模型，然后求解数列的相关问题；二是以数列的知识给出几何图形的某个条件，然后求
18、解几何的某些问题。备选题【押题1】一束光线从点出发，客经直线上一点反射后，恰好穿过点（）求点关于直线的对称点的坐标；（）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；（）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标【押题指数】【解】（）设的坐标为，则且 解得， 因此，点 的坐标为（），根据椭圆定义，得， ，所求椭圆方程为 （），椭圆的准线方程为 设点的坐标为,表示点到的距离，表示点到椭圆的右准线的距离则，令，则，当， ， 在时取得最小值因此最小值，此时点的坐标为【押题2】已知抛物线上有两个点A（x1，y1），B(x2，y2)
19、且（m为定值且m0）。(1）求证：线段AB与轴的交点为定点（0， m）；(2） (理科)过A，B两点做抛物线的切线，求夹角的取值范围；(文科)过A，B两点做抛物线的切线，求两切线夹角的取值范围；【押题指数】【答案】（1）x1 x2=-2m0 APB.当时，0 APB.综上所述, ，则 时， APB.时， APB。12分讨论思想。解答的关键是列方程和分类讨论。该题的难度系数为0.51。(2）（文）设过A，B两点做抛物线的切线的交点为P ，则两切线的夹角为APB 。由可得，则过A，B两点做抛物线的切线的斜率分别为，若 ，则。若， x1 x2=-2m 。，APB12,CD垂直平分AB， 直线CD方程
20、为，代入椭圆方程，整理得 将直线AB的方程x+y4=0，代入椭圆方程，整理得 解和式可得 不妨设计算可得，A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆.（注：也可用勾股定理证明ACAD）【押题10】已知一列椭圆，。若椭圆上有一点，使到右准线的距离是与的等差中项，其中、分别是的左、右焦点。（）试证：；（）取，并用表示的面积，试证：且【押题指数】【答案】（I）由题设及椭圆的几何性质有，故。设，则右准线方程为因此，由题意应满足即解之得：。即，从而对任意（II）设点的坐标为，则由及椭圆方程易知。因，故的面积为，从而。令。由，得两根从而易知函数在内是增函数。而在内是减函数。 现在由题设取则是增数列。又易知。故由前已证，知，且。结束语：“问渠哪得清如许，为有源头活水来”。纵观各式各样的高考题，试题越来越“返璞归真 ”，既不需要深奥的知识，也没有高难的技巧，许多题目扎根于课本，由若干基础知识经串联、加工、改造而成，因此在高三复习时要抓住主干知识进行强化复习，重视典例分析，通过引申、拓展、探究，做到解一题通一片，跳出题海，提高复习的实效性。
