1、71.2弧度制及其与角度制的换算课程目标 1.了解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算2熟记特殊角的弧度数填一填1度量角的单位制(1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制，规定周角的为1度的角其中60分等于1度，60秒等于1分(2)弧度制：以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1_rad.2角度制与弧度制的换算3特殊角的弧度数4.弧度制下的公式如图所示，l、r、分别是弧长、半径、弧所对圆心角的弧度数(1)弧度数公式：；(2)弧长公式：lr；(3)扇形面积公式：Slrr2.答一答比较弧度制与角度制的异同提示：(1)弧度制是以“弧度”为单位
2、来度量角的制度，角度制是以“度”为单位来度量角的制度(2)1弧度等于长度为半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1等于圆的所对的圆心角的大小(3)不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值(4)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数如sin2是指sin(2弧度)，180是指弧度180；但如果以度()为单位表示角时，度()就不能省去(5)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特殊要求，不必把写成小数(6)弧度制和角度制一样，只是一种度量角的方法弧度制与角度制相比有一定的优点其一是
3、在进位上，角度制在度、分、秒上是60进位制，不便于计算，而弧度制是10进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运用起来方便(7)角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应.类型一 概念的理解例1下列说法不正确的是()A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1度的角是圆周的所对的圆心角，1弧度的角是圆周的所对的圆心角C根据弧度的定义，180一定等于 radD不论是用角度制还是用
4、弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关解析根据角度、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D错误答案D根据弧度、角度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径的长短无关，而与弧长与半径的比值有关.变式训练1下列命题中，真命题是(D)A1弧度就是1度的圆心角所对的弧B1弧度是长度为半径的弧C1弧度是1度的弧与1度的角之和D1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位解析：弧度是度量角的大小的一种单位，1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小类型二 角度制与弧度制的互化例2将下列角度与弧度进行互化(1)2
5、0；(2)15；(3)；(4).解(1)20.(2)15.(3)180105.(4)180396.(1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系： rad180.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值.变式训练2(1)把11230化成弧度；(2)把化成度解：(1)11230.(2)75.类型三 弧度制和角度制的简单应用例3设角1570，2750，1，2.(1)将1，2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将1，2用角度制表示出来，并在7200之间找出与它们有相同终边的所有角分析由题目可获取以下主要信息：用角度制给出的两个角570，750，用弧度制给出的两个角，；与角终边相同的角的表示解答本
6、题可先将570，750化为弧度角再将其写成2k(kZ,02)的形式解(1)5704，7504.1在第二象限，2在第一象限(2)1108，设k3601(kZ)，由7200，得720k3601080，k2或k1，在7200间与1有相同终边的角是612和252.同理2420且在7200间与2有相同终边的角是60和420.迅速进行角度与弧度的互化，准确判断角所在象限是学习三角函数知识的必备基本功.在某一指定范围内求具有某种特性的角，通常化为解不等式去求对应的k值，也可使用赋值法，对k在其本身取值范围内取特殊值.变式训练3用弧度表示顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边在图中阴影部分(不包括边界)的角
7、的集合解：(1)题图(1)中，以OB为终边的330角与30角的终边相同，30，而7575，阴影部分(不包括边界)位于与之间且跨越x轴的正半轴所以，终边在阴影部分(不包括边界)的角的集合为；(2)题图(2)中，以OB为终边的225角与135角的终边相同，135135，而135，阴影部分(不包括边界)位于与之间且跨越x轴的正半轴所以，终边在阴影部分(不包括边界)的角的集合为.类型四 弧长公式与扇形面积公式的应用 例4求解下列各题(1)若某扇形的圆心角为75，半径为15 cm，求扇形面积；(2)若一扇形的周长为60 cm，那么当它的半径和圆心角各为多少时，扇形的面积达到最大，最大值是多少？分析利用弧
8、长公式及扇形面积公式，或应用公式建立方程组求最值时可构造成面积关于r(或角)的二次函数解(1)圆心角为75，扇形半径为15 cm.扇形面积S|r2152(cm2)(2)设扇形半径为r，圆心角为，弧长为l，面积为S.则l2r60，l602r.Slr(602r)rr230r225(r15)2.当r15时，面积Smax225(cm2)此时2.当半径为15 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为225 cm2.(1)给出周长(即间接给出弧长)及面积，列方程组求弧长及半径，最后求得圆心角的弧度数.在以面积作等式时可以有弧度制和角度制下的两种方式.(2)求面积最值，本题可以以r为变量建立面积关
9、于半径r的二次函数，也可以建立关于角的函数，求函数的最值方法较多，希望尽力把握.(3)使用弧度数公式|时，应注意是弧度数，且三个量l，r，中知道其中任意两个可求另外一个；有些问题还要注意角的方向和旋转的圈数.变式训练4(1)在半径为12 cm的圆上，有一条弧的长是18 cm，求该弧所对的圆心角的弧度数和该扇形的面积；(2)已知扇形OAB的面积为1 cm2，它的周长是4 cm，求该扇形OAB的圆心角AOB的弧度数解：(1)设该弧所对的圆心角为，则(rad)，该扇形面积为Slr1812108(cm2)(2)设该扇形的圆心角为，半径为r，周长为P，依题意知：解得2 rad.所以该扇形OAB的圆心角A
10、OB的弧度数为2 rad.类型五 弧度制的实际应用例5视力正常的人，能读远处文字的视角不小于5.试求：(1)离人10m处，人所能阅读的最小文字的大小如何？(2)要看清长宽均为5m的大字标语，人离标语最远距离为多少米？分析解决实际问题的关键是构建数学模型，即如何将实际问题转化为数学问题本题可转化为以眼睛为圆心，以视角为圆心角，距离为半径的弧长问题，第(1)问是已知半径、圆心角求弧长第(2)问是已知弧长、圆心角求半径解(1)设该文字的长宽均为l m，则l10，其中视角50.001 454弧度l100.001 4540.014 54 m1.45 cm.故视力正常的人，在10 m远处能阅读最小为1.4
11、5 cm见方的文字；(2)设人离标语x m处，对5 m见方的文字所张的视角是5，约为0.001 454弧度，则x3 439 m.故视力正常的人，最远能在约3 439 m远处看清5 m见方的文字本题包含两种意识：一是空间向平面转化的意识，因为人的眼睛看标语时是一个空间图形，我们把它抽象为平面图形；二是近似意识，当半径很大，圆心角较小时，圆心角所对的弧可近似看成一条线段(即文字的长度与宽度).变式训练5如图，动点P、Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长解：设P、Q第一次相
12、遇时所用的时间是t，则tt2，所以t4(s)，即P、Q第一次相遇所用的时间为4 s设第一次相遇点为C，第一次相遇时已运动到终边在4的位置，则xC4cos2，yC4sin2，所以C点的坐标为(2，2)P点走过的弧长为4；Q点走过的弧长为.1下列各式中，正确的是(D)A180 B15C1 rad D90 rad解析：180，单位为弧度可以省略，单位为度不能省略，故A错；15，故B错；1 rad，故C错2若4，则是(B)A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：由4，知4是第二象限角3已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(C)A1B4 C1或4 D2或4解析：设此扇形的半径为r，弧长是l，则解得或从而4或1.4已知半径为100 mm的圆上，有一条弧的长是150 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值为1.5.解析：|1.5，即该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值为1.5.
