1、启封前绝密2011年上海市七宝中学高三模拟考试数学试题(理答)一、填空题(本大题满分56分)1.函数的定义域为 。2.已知集合，若则的值是 。-13.若是单位矩阵，则 . 4.已知为复数，若，则 5.在的展开式中项的系数为 106.若关于的三元一次方程组有唯一解，则的取值的集合是 7已知地球的半径为，在北纬东经有一座城市，在北纬西经有一座城市，则坐飞机从城市飞到的最短距离是 (飞机的飞行高度忽略不计)8.已知等差数列的各项均不为零，且公差，若是一个与无关的常数，则 9.已知一随机变量的分布列如下表，则随机变量的方差 .048开始输出S结束是否10在极坐标系中，点，为曲线的对称中心，则三角形面积
2、等于 11. 若框图所给的程序运行的结果为，那么判断框中应填入的关于的判断条件是 . 12. 若函数存在反函数，且函数的图像过点，则函数的图像一定过点 .13.用符号表示小于的最大整数，如，有下列命题：若函数，则的值域为；若，则方程有三个根；若数列是等差数列，则数列也是等差数列；若，则的概率为.则所有正确命题的序号是 .14. 设，且为常数。若存在一公差大于的等差数列，使得为一公比大于的等比数列，请写出满足条件的一组的值 .(答案不唯一，一组即可) 二、选择题：(本题满分20分)15.若直线的一个法向量，则直线的一个方向向量和倾斜角分别为( )A. B.C. D.16.在中，“”是“为钝角三角
3、形”的()A.充分必要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件45yxO17.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积为( ) A. B.C. D.18.已知数据是上海普通职工个人的年收入,设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是( )A.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D.年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。三. 解答题
4、(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤：19.(本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分)ABCA1B1C1在直三棱柱中，且异面直线与所成的角等于，设.(1)求的值；(2)求直线到平面的距离。解：(1)，就是异面直线与所成的角，即， (2分)又连接，则为等边三角形， (4分)由，。(6分)(2)易知平面，又是上的任意一点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.(8分)设其为，连接，则由三棱锥的体积等于三棱锥的体积，求，的面积，的面积，(10分)又平面，所以，即到平面的距离等于。(12分)20. (本题满分14分，其中第1小题6分，第
5、2小题8分)在中， 分别为角的对边，且满足.(1)求角大小；(2)若，求的面积的最大值.解：(1)， (4分)， (6分)(2)由余弦定理，(当且仅当，不等式等号成立)。(10分)， 所以的面积的最大值为 (14分) 21. (本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用(单位：万元)与隔热层厚度(单位：cm)满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求的值及的表达式；
6、(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值解(1)设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为， 由,2分 而建造费用为 4分 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 6分(2)，令，则 所以，8分(当且仅当,即时，不等式等式成立)10分故是的取得最小值，对应的最小值为13分答：当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元. 14分22.(本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，)POACF1xyF2BD如图，已知椭圆，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆
7、的交点分别为和.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线、的斜率分别为、，证明；(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.解(1)由题意知，椭圆中，得，又，所以可解得，所以，所以椭圆的标准方程为；分所以椭圆的焦点坐标为(，0)，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为分(2)设，则分因为点在双曲线上，所以分因此即分(3)由于的方程为，将其代入椭圆方程得由韦达定理得分同理可得则，又,故即存在， 使恒成立分23. (本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第,3小题8分)OA3yxA0A1A2A4一青蛙从点开始依次水平向右和竖直
8、向上跳动，其落点坐标依次是，(如图所示，坐标以已知条件为准)，表示青蛙从点到点所经过的路程。(1) 若点为抛物线准线上一点，点，均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明.(2)若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出（不需证明）；(3)若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的表达式.解：(1)设，由于青蛙依次向右向上跳动，所以，由抛物线定义知： 分(2) 依题意，随着的增大，点无限接近点 分横向路程之和无限接近，纵向路程之和无限接近 分 所以 = 分(3)方法一：设点，由题意，的坐标满足如下递推关系：，且其中 分，即，是以为首项，为公差的等差数列，所以当为偶数时，于是，又当为奇数时， 分当为偶数时，当为奇数时，所以，当为偶数时，当为奇数时，所以， 分方法二：由题意知 其中观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为，公比为的等比数列。相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列。下标为偶数的点也有此规律。并由数学归纳法可以证明。 分所以，当为偶数时， 当为奇数时， 当为偶数时，当为奇数时， 分所以， 分