1、数学试题 理试题说明：本试题第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷共150分,时间120分钟.考生注意事项：1 答题前，务必在答题卡上规定的地方填写自己的姓名、班级、座位号.2第I卷必须使用2B铅笔填涂答题卡相应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3第II卷必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题卡的指定位置，在草稿纸和本卷上答题无效.第卷 选择题（共60分）一选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个答案正确)1.若,且,则下列不等式一定成立的是（ ）A B C D2.在中,则（ ）A B C D3.命题“若,则”与它的逆命题、否
2、命题、逆否命题中,真命题的个数为（ ）A0 B2 C3 D44.方程表示的曲线是（ ）ABCD5.若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（ ）A2 B-10 C D106.已知等差数列的公差为,前项和为,则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C既不充分也不必要条件 D充要条件7.已知为等比数列,则（ ）A BC D8.正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为，则点到平面的距离为（ ）A B C D9.已知,且，则的最小值为（ ）A B C D10.若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）A B C D11.四棱柱的底面为矩形，则的长为（ ）A B C
3、D12.已知数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，其中第一项是，第二项是1，接着两项为，接着下一项是2，接着三项是，接着下一项是3，依此类推.记该数列的前项和为，则满足的最小的正整数的值为（ ）A65B67C75D77第卷 非选择题（共90分）二填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.命题“”的否定为 .14.若满足约束条件,则的最大值为 .15.若平面内动点到两定点的距离之比,则动点的轨迹为圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称作阿波罗尼斯圆.若已知,则此阿波罗尼斯圆的方程为 .16.中，D是BC上一点,且，则的面积为
4、 .三.解答题(本大题共6小题,共70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（10分）已知命题恒成立,命题恒成立,若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.18.（12分）内角的对边分别为,已知.（1）求;（2）若为锐角,的面积为,求的周长.19.（12分）已知数列是等差数列,首项,且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式;（2）设,求数列的前项和.20.（12分）雾霾大气严重影响人们的生活，某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分
5、别为和，可能的最大亏损率分别为和，投资人计划投资金额不超过9万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元（1）若投资人用万元投资甲项目，万元投资乙项目，试写出所满足的条件，并在直角坐标系内作出表示范围的图形;（2）根据（1）的规划，投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大?21.（12分）如图，是菱形，与相交于点，平面平面，且是直角梯形， .（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.22.（12分）已知数列的前项和满足.（1）求的通项公式;（2）设,求数列的前项和;若对恒成立,求实数最小值. 数学（理）参考答案一选择题题号123456789101112答案BDBDAADACDBC1
6、2.由题将数列分成如下的组（1，1），（1，2，2），（1，2，4，3），（1，2，4，8，4），（1， 2，4，8，16，5），则第t组的和为，数列共有项，当时，,随增大而增大，时，时，第65项后的项依次为，11，又，满足条件的最小的值为.二填空题13. 14. 2 15. 16. 16.，在中，由正弦定理，可得：，解得：，可得：，可得：，在中，由余弦定理可得：，解得：，或3，可得：，可得：，与矛盾，在中，由正弦定理，可得：，三.解答题17.若真： 对恒成立，则；若真：，则.为假命题，为真命题，则一真一假.若真且假，则，得；若假且真，则，得.综上所述：的取值范围为.18.（1） 由正弦定理得
7、， ，即又， 或.（2），由余弦定理得，即 ，而的面积为 . 的周长为.19.（1）设数列的公差为，由,且是与的等比中项得：,.当时，与是与的等比中项矛盾，舍去.（2） .20.（1）由题意，知x，y满足的条件为上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分含边界（2）根据第一问的规划和题设条件，依题意可知目标函数为，在上图中，作直线：平移直线，当经过直线与的交点A时，其纵截距最大，解方程与，解得，即，此时万元，所以当，时，z取得最大值，即投资人用5万元投资甲项目，4万元投资乙项目，才能确保亏损不超过万元，且使可能的利润最大21.（1）证明：在棱形中，可得，因为平面平面，且交线为，所以平面，因为平面，所以.（2）因为平面平面，且交线为，由，得平面.zyx取的中点，以为坐标原点，以为轴， 为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，则.所以.设平面的法向量，由，可取由.设平面的法向量为，同上得，可取.则，因二面角为钝二面角，故其余弦值为.22.（1）由得.由，可知，可得，即.因为，所以，故因此是首项为，公比为的等比数列，故.（2）由（1）知.所以两边同乘以得相减得从而于是，当是奇数时，因为，所以. 当是偶数时，,因此.因为，所以，的最小值为.