1、东城区汇文中学2021届高三下学期开学考试数学2021.2.20一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则集合中元素的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.42.若，则的虚部为（）A.1 B. C. D.3.在的二项展开式中，的系数为（）A. B. C. D.4.已知平面向量，且，则（）A.2 B.3 C.4 D.55.如图，是的直径，垂直于所在平面，是圆周上不同于，两点的任意一点，且，则二面角的在大小为（）A. B. C. D.6.已知，则下列说法错误的是（）A.若在内单调，则B.若在内无零点，则C.若的最小正周期为，则D.
2、若时，直线是函数图象的一条对称轴7.数列的前项和记为，则“数列为等差数列”是“数列为常数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.设抛物线：的焦点为，点在上，若以线段为直径的圆过点，则的方程为（）A.或 B.或 C.或 D.或9.在中，则面积的最大值是（）A. B. C. D.10.已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论：的一个周期是；是偶函数；的最大值大于；在单调递减.其中所有正确结论编号是（）A. B. C. D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案全部填写在答题卡上.11.某单位有青年职工160人，中年
3、职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行抽查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为 .12.在各项均为正数的等比数列中，已知，记，则数列的前六项和为 .13.已知是双曲线：的右焦点，是双曲线上的点，若点在双曲线右支上，则的最小值为 ；若点在双曲线左支上，则的最小值为 .14.已知函数，若恰有4个零点，则实数的取值范围为 .15.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投投票，投票要求见选票，如图所示.这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票
4、的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为 .三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本题13分）已知中，.（）中是否必有一个内角为钝角，说明理由.（）若同时满足下列四个条件中的三个：；.请证明使得存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出的值.17.（本题13分）如图，在四面体中，分别是线段，的中点，.（）证明：平面；（）证明：平面；（）若直线与平面所成的角等于，求二面角的余弦值.18.（本题14分）某企业发明了一种新产品，其质量指标值为，其质量指标等级如下表：质量指标值质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先
5、进行试产生.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：（）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；（）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品中任取3件产品，求的件数的分布列及数学期望；（）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表（）：质量指标值利润（元）试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：，）.19.（本题15分）已知函数（，）.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若对任意的，都有成立，求的取值范围.20.（本题15分）已知椭圆：的离心率为，且经过点.（）求椭圆的方程.（）已知为坐标原点，为椭圆上两点，若，且，求的面积.21.（本题15分）已知项数为的数列为递增数列，且满足，若，则为的“关联数列”.（）数列1，4，7，10是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由.（）若为的“关联数列”，是否一定具有单调性？请说明理由.（）已知数列存在“关联数列”，且，求的最大值.
