1、第页1福建省莆田市第二十四中学 2019 届高三上学期第一次月考理科数学试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合0,0|2aaxxxA，3,2,1,0B，若BA有 3 个真子集，则 a 的取值范围是A2,1(B)2,1C2,0(D2,1()1,0(2下列函数中，在区间（0，）上为增函数的是Ay=B2)1(xyCxy 2D)1(log5.0 xy3如图，,E F G H 是平面四边形 ABCD 各边中点，若在平面四边形 ABCD 中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是A 14B 12C 34D 584如图，已知
2、正方体1111ABCDA B C D的棱长为 2，则以下四个命题中错误的是A直线11AC 与1AD 为异面直线B11AC 平面1ACDC1BDACD三棱锥1DADC的体积为 835在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，若13AEAC，则 BE BCA 2B 83C103D 46已知函数()cos(2)3f xx命题:p()f x 的图象关于点(,0)12对称；命题:q()f x 在区间,06上为减函数，则A pq为真命题B()pq为假命题C pq为真命题D()pq为假命题7已知 为第二象限角，3sincos3，则cos2 A53B59C53D598函数2)(,log)(22xxgxxf，则)
3、()(xgxf的图象只可能是第页2ABCD9已知(3,0)A，(0,4)B，点C 在圆22()1xmy 上运动，若 ABC 的面积的最小值为 52，则实数 m的值为A 12或112B112或 12C12或112D112或1210在两直角边分别为,a b，斜边为 c 的直角三角形中，若1c，abmab，则实数 m 的取值范围是A(2,2 2B2 2,2 3C2 2,)D2 3,)11已知某几何体的三视图如图所示，其正视图是腰长为 2 的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为A18823B8C 525D 962312已知函数20183()exf xmxm(0)m，当121xx 时，对于任意的实
4、数，都有不等式2212()(sin)()(cos)f xff xf成立，则实数1x 的取值范围是A1,B1,2C1,2D(1,)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13设)4tan(,41)4tan(,32)tan(则14已知函数)10(,1)01(,1)(2xxxxxf，则11)(dxxf15设9210012101(2)(41)bxxaa xa xa xxx，则10120210222aaaa 16已知双曲线2222:10,0 xyabab的左、右焦点分别为12,F F，P 是 右支上的一点，Q 是2PF 的延长线上一点，且12QFQF，若13sin5PFQ，则 的离心
5、率的取值范围是_三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17（12 分）已知正项数列na的前 n 项和为nS，11a ，且2(1)32()nnntSaatR 第页3（1）求数列na的通项公式；（2）若数列 nb满足11b ，11nnnbba，求数列127nbn的前 n 项和nT 18（12 分）在四棱锥 PABCD中，,2ABCD CDAB（1）设 AC 与 BD 相交于点 M，(0)ANmAPm，且 MN平面 PCD，求实数 m 的值；（2）若
6、,60,2,ABADDPBADPBAD且 PDAD,求二面角 BPCD的正弦值19（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知(2 2,0),(2 2,0)MN，若直线 m MN 于点 D，点C 是直线 m 上的一动点，H 是线段CD 的中点，且8NH MC，点 H 的轨迹为曲线 E（1）求曲线 E 的方程；（2）过点(4,0)A 作直线l 交 E 于点 P，交 y 轴于点Q，过O 作直线ll，l 交 E 于点 R 试判断2|AQAPOR是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由第页420（12 分）近年来，随着汽车消费的普及，二手车流通行业得到迅猛发展某汽车交易市场对 2017 年成
7、交的二手车的交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到如图 1 所示的频率分布直方图在图1 对使用时间的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率图 1图 2（1）若在该交易市场随机选取 3 辆 2017 年成交的二手车，求恰有 2 辆使用年限在(8,16 的概率；（2）根据该汽车交易市场往年的数据，得到图 2 所示的散点图，其中 x(单位：年)表示二手车的使用时间，y(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格由散点图判断，可采用ea bxy作为该交易市场二手车平均交易价格 y 关于其使用年限 x 的回归方程，相关数据如下表(表中lniiYy，101110iiYY)：xyY101i
8、iix y101iiix Y1021iix5.58.71.9301.479.75385试选用表中数据，求出 y 关于 x的回归方程；该汽车交易市场拟定两个收取佣金的方案供选择甲：对每辆二手车统一收取成交价格的5%的佣金；乙：对使用 8 年以内(含 8 年)的二手车收取成交价格的 4%的佣金，对使用时间 8 年以上(不含 8 年)的二手车收取成交价格的10%的佣金假设采用何种收取佣金的方案不影响该交易市场的成交量，根据回归方程和图表 1，并用各时间组的区间中点值代表该组的各个值判断该汽车交易市场应选择哪个方案能获得更多佣金附注：对于一组数据 1122,nnu vu vu v，其回归直线 vu的斜
9、率和截距的最小二乘估计分别为1221,niiiniiu vnuvvuunu；参考数据：2.951.750.550.651.85e19.1,e5.75,e1.73,e0.52,e0.16第页521（12 分）已知函数 2(4)e()xf xxmx m R.（1）当2x 时，0f x 恒成立，求实数 m 的取值范围；（2）证明：当0,1a时，函数 22e(2)2xaxag xxx 有最小值，设 g x 最小值为 h a，求函数 h a 的值域.（二）选考题：本题满分 10 分请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xO
10、y 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为011cos122.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设)0,1(P，直线l 的参数方程是sincos1tytx（t 为参数），已知l 与圆C 交于BA,两点，且|43|PBPA，求l 的普通方程.23选修 4-5：不等式选讲已知函数|2|1|)(xmxxf.（1）2m时，求不等式5)(xf的解集；（2）若函数)(xf的图象恒在直线xy 的图象的上方（无公共点），求实数 m 的取值范围.第页6理科数学参考答案一选择题：题号123456789101112答案BABDBCCCDCAD二填空题：131451442155
11、16(1,2)三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17解：（1）因为11a ，且2(1)32nnntSaa，所以2111(1)32tSaa，所以5t .2 分所以2632nnnSaa，当2n 时，有2111632nnnSaa，、两式作差得2211633nnnnnaaaaa，.3 分所以11()(3)0nnnnaaaa，因为0na，所以13nnaa，又因为11a ，所以32nan.6 分（2）因为11nnnbba，11b ，所以1nnnbba，(2,)nnN，所以当2n 时，112211()()()nnnnnbbbbbbbb，121nnaaab232nn.8 分又11b
12、 也适合上式，所以23()2nnnbn N.9 分所以127nbn2111373(2)nnnn n 111()62nn，.10 分所以nT 111111(1)63242nn 1311()6212nn，23512(1)(2)nnnn.12 分18解：（1）因为/ABCD,所以11,23AMABAMMCCDAC即.2 分因为/MNPCD平面，MN 平面 PAC，平面 PAC平面 PCDPC，所以/MN PC.4 分第页7所以13ANAMAPAC，即13m=.5 分（2）因为,60ABADBAD,可知 ABD为等边三角形，所以 BDADPD，又2BPAD，故222BPPDDB，所有 PDDB由已知,
13、PDAD ADBDD，所以 PD 平面 ABCD，如图，以 D 为坐标原点，DA DP,的方向为,x y 轴的正方向建立空间直角坐标系，设1AB ，则1,2ABADDPCD，所以)3,0,1(),0,1,0(),23,0,21(CPB，则13(,1,),(1,1,3)22PBPC ，设平面 PBC 的一个法向量为1111(,)x y zn，则有110,0,PBPCnn即111111230,30.xyzxyz设11x ，则112,3yz，所以1(1,2,3)n，8 分设平面 PCD 的一个法向量为2222(,)xyzn，由已知可得220,0,DCDPnn即22230,0.xzy令21z，则23x
14、，所以2(3,0,1)n10 分所以12121213023 16cos,42 22nnn nnn，11 分设二面角 BPCD的平面角为，则410)46(1sin2 12 分19解：（1）设(,)H x y，由题意得(,2)C xy(0)y，所以(2 2,),(2 2,2)NHxyMCxy，2 分所以22828NH MCxy，化简得221168xy，所以所求点 H 的轨迹 E 的方程为221168xy(0)y 5 分（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)yk x(0)k，令0 x，得4yk，即(0,4)Qk 第页8由22(4),1,168yk xxy解得222488,121
15、2PPkkxykk，即222488(,)1212kkPkk，8 分因为ll，所以l 的方程为 ykx，由22,1,168ykxxy解得222221616,1212RRkxykk，10 分所以2|4 1AQk，228 1|12kAPk，22216(1)|12kORk，所以2|AQAPOR212 分20解：（1）由频率分布直方图知，该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在(8,12的频率为0.07 40.28，使用时间在12,16 的频率为 0.03 40.12 所以在该汽车交易市场 2017 年成交的二手车随机选取 1 辆，其使用时间在8,16 的概率为 0.280.120.4，.2
16、分所以所求的概率为223 0.41 0.40.288PC.3 分（2）由ea bxy得 ln yabx，则Y 关于 x 的线性回归方程为Yabx.4 分由于10101110102222111079.75 10 5.5 1.90.3385 10 5.510iiiiiiiiiixxYYxYx Ybxxxx 1.90.35.53.55aYx 则Y 关于 x 的线性回归方程为3.550.3Yx，6 分所以 y 关于 x 的回归方程为3.55 0.3exy7 分根据频率分布直方图和中的回归方程，对成交的二手汽车可预测：使用时间在0 4，的频率为 0.05 40.2，对应的成交价格的预测值为3.55 0.
17、3 22.95ee19.1；使用时间在4 8，的频率为 0.09 40.36，对应的成交价格预测值为3.55 0.3 61.75ee5.75；使用时间在8 12，的频率为0.07 40.28，对应的成交价格的预测值为3.55 0.3 100.55ee1.73；第页9使用时间在12 16，的频率为 0.03 40.12，对应的成交价格的预测值为3.55 0.3 140.65ee0.52；使用时间在16 20，的频率为 0.01 40.04，对应的成交价格的预测值为3.55 0.3 181.85ee0.169 分若采用甲方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为0.2 19.10.
18、36 5.750.28 1.730.12 0.520.04 0.165%0.321660.32万元；若采用乙方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为0.2 19.10.36 5.754%0.28 1.730.12 0.520.04 0.1610%0.290920.29万元11 分因为 0.320.29，所以采用甲方案能获得更多佣金12 分21解：（1）因为 2(4)e0 xf xmxx对2,x 恒成立，等价于24 exxxm 对2,x 恒成立，1 分设 224(1)4 eexxxxxx得 222222441ee0 xxxxxxx，3 分故 x在2,上单调递增，当2x 时，由上
19、知 21x ，所以1m ,即1m，所以实数 m 的取值范围为1,；6 分（2）对 22e(2)2xaxag xxx 求导得 2323(4)e(4)e,(2)22xxxxaxaxxgxxxx，7 分记 24 exxF xxa，(2)x，由（1）知()F x 在区间2,内单调递增，又(2)10,(4)0FaFa ，所以存在唯一正实数0(2,4x，使得0 20004()e0 xxF xxa，当0(2,)xx时，()0F x，()0g x，函数()g x 在区间0(2,)x单调递减；0(,)xx 时，()0F x，()0g x，函数()g x 在区间0(,)x 单调递增；第页10所以 g x 在2,内
20、有最小值 0 20020e2xaxag xx，9 分由题设即 0 2020e2xaxah ax 又因为0 2004 exxax所以 0 2001 exh ag xx10 分根据（1）知，x在2,内单调递增，0 200e1,04xxax ，所以024x令 21 e(24)xu xxx，则 221e0 xxuxx，函数 u x 在区间2,4 内单调递增，所以 24uu xu，即函数 h a 的值域为21 e,2412 分22解：（）将222cos,sin,xyxy 代入圆C 的极坐标方程212 cos110，得2212110 xyx，化为圆的标准方程为22(6)25xy.（）将直线l 的参数方程1
21、cos,sinxtyt（t 为参数）代入圆C 的直角坐标方程22(6)25xy中，化简得214 cos240tt，设,A B 两点所对应的参数分别为 12,t t，由韦达定理知 121 214cos,24ttt t 12,t t 同号又3|4PAPB，1234tt由可知12=3 2=4 2tt或12=3 2=4 2tt 14cos7 2或 7 2解得2cos2 ，tan1k ，l 的普通方程为(1)yx.23解：（）()5f x，即|1|2|2|5xx，第页11当2x 时，1245xx ，解得83x ，83x 当 21x 时，1245xx，解得0 x，01x当1x 时，1245xx，解得23x，1x .综上所述，不等式()5f x 的解集为8|03x xx 或.（）由题意知|1|2|xm xx恒成立，当2x 时，12xmxmx ，变形得1 25222xmxx 恒成立，2m 当2x 时，m 可以取任意实数；当 21x 时，12xmxmx，变形得215222xmxx恒成立，512123m 当1x 时，12xmxmx，变形得12mx，11123m 综上所述，实数 m 的取值范围为 1(,)3 .