1、课时达标检测(四十） 圆的方程练基础小题强化运算能力1已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为_解析：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则解得所以ABC外接圆的圆心为，故ABC外接圆的圆心到原点的距离为 .答案：2一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_解析：由题意知a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m4，r0)，则解得所以圆的标准方程为2y2.答案：2y23若圆C的
2、半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为_解析：因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2y21.答案：x2y214(2018淮安中学模拟)已知(22cos ，22sin )，R，O为坐标原点，向量满足0，则动点Q的轨迹方程是_解析：设Q(x，y)，(22cos x,22sin y)(0,0)，(x2)2(y2)24.答案：(x2)2(y2)245设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线 x3上的动点，则|PQ|的最小值为_解析：如图所示，圆心M(3，1)到定直线x3上点的最短距离为|MQ|3
3、(3)6，又圆的半径为2，故所求最短距离为624.答案：4练常考题点检验高考能力一、填空题1(2018姜堰中学月考)设A(3,0)，B(3,0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离之比为12，则点P的轨迹图形所围成的面积是_解析：设P(x，y)，则由题意有，整理得x2y210x90，即(x5)2y216，所以点P在半径为4的圆上，故其面积为16.答案：162圆(x2)2y25关于原点(0,0)对称的圆的方程为_解析：因为所求圆的圆心与圆(x2)2y25的圆心(2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x2)2y25.答案：(x2)2y253已
4、知两点A(0，3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2y22y0上的动点，则ABP面积的最小值为_解析：如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，这时ABP的面积最小直线AB的方程为1，即3x4y120，圆心C到直线AB的距离为d，所以ABP的面积的最小值为5.答案：4(2018南通模拟)已知点M是直线3x4y20上的动点，点N为圆(x1)2(y1)21上的动点，则|MN|的最小值是_解析：圆心(1，1)到点M的距离的最小值为点(1，1)到直线的距离d，故点N到点M的距离的最小值为d1.答案：5已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m，0)(m0)若圆C 上存在点P，使得 AP
5、B90，则 m的最大值为_解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m，因为APB90，连结OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC| 5，所以|OP|max|OC|r6，即m 的最大值为6.答案：66已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为_解析：圆C1，C2的图象如图所示设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC
6、1|PC2|4.作C1关于x轴的对称点C1(2，3)，连结C1C2，与x轴交于点P，连结PC1，可知|PC1|PC2|的最小值为|C1C2|5，则|PM|PN|的最小值为54.答案：547(2018徐州期初)若直线l：axby10(a0，b0)始终平分圆M：x2y24x2y10的周长，则a2b22a2b3的最小值为_解析：因为直线axby10始终平分圆x2y24x2y10的周长，所以圆心(2，1)在直线axby10上，从而2ab10.a2b22a2b3(a1)2(b1)21，而(a1)2(b1)2表示点(1,1)与直线2ab10上任一点的距离d的平方，其最小值d2，所以a2b22a2b3的最小
7、值为1.答案：8已知直线l：xmy40，若曲线x2y22x6y10上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为_解析：因为曲线x2y22x6y10是圆(x1)2(y3)29，若圆(x1)2(y3)29上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：xmy40过圆心(1,3)，所以13m40，解得m1.答案：19已知圆x2y24ax2byb20(a0，b0)关于直线xy10对称，则ab的最大值是_解析：由圆x2y24ax2byb20(a0，b0)关于直线xy10对称，可得圆心(2a，b)在直线xy10上，故有2ab10，即2ab12，解得ab，故ab的最大值为.答案：10已知圆C关于y轴对称，经过点(1
8、,0)且被x轴分成两段，弧长比为12，则圆C的方程为 _.解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a), 半径为r，则rsin1，rcos|a|，解得r，即r2，|a|，即a，故圆C的方程为x22.答案：x22二、解答题11已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值解：(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(2，2)，则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x，y)，则x2y22，(x1，y1)(x2，y2
9、)x2y2xy4xy2.令xcos ，ysin ，所以xy2(sin cos )22sin2，又min1，所以的最小值为4.12.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成已知隧道总宽度AD为6 m，行车道总宽度BC为2 m，侧墙EA、FD高为2 m，弧顶高MN为5 m.(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m请计算车辆通过隧道的限制高度是多少解：(1)以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1 m为单位长度建立直角坐标系(图略)则有E(3，0)，F(3，0)，M(0,3)由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为(x0)2(yb)2r2，F(3，0)，M(0,3)都在圆上，解得b3，r236.所以圆的方程是x2(y3)236.(2)设限高为h，作CPAD，交圆弧于点P，则|CP|h0.5.将点P的横坐标x代入圆的方程，得()2(y3)236，得y2或y8(舍)所以h|CP|0.5(y|DF|)0.5(22)0.53.5(m)所以车辆的限制高度为3.5 m.