1、专题突破练(2)利用导数研究不等式与方程的根一、选择题1(2019佛山质检)设函数f(x)x33x22x，若x1，x2(x1x2)是函数g(x)f(x)x的两个极值点，现给出如下结论：若10，则f(x1)f(x2)；若02，则f(x1)f(x2)；若2，则f(x1)f(x2)其中正确结论的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析依题意，x1，x2(x10，即1，且x1x22，x1x2.研究f(x1)f(x2)成立的充要条件：f(x1)f(x2)等价于(x1x2)(x1x2)23(x1x2)x1x220，因为x10，解得2.从而可知正确故选B2(2019乌鲁木齐一诊)设函数f(x)ex，若不等
2、式f(x)0有正实数解，则实数a的最小值为()A3 B2 Ce2 De答案D解析因为f(x)ex0有正实数解，所以a(x23x3)ex，令g(x)(x23x3)ex，则g(x)(2x3)ex(x23x3)exx(x1)ex，所以当x1时，g(x)0；当0x1时，g(x)bc BbacCcba Dcab答案C解析构造函数f(x)，则af(6)，bf(7)，cf(8)，f(x)，当x2时，f(x)0，所以f(x)在(2，)上单调递增，故f(8)f(7)f(6)，即cbA故选C4(2019合肥质检二)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，f(x)2f(x)，f(0)1，则不等式ln f(x)2ln
3、3x的解集为()A(，0) B(0，)C(，1) D(1，)答案A解析构造函数g(x)，则g(x)0，则g(x)在R上单调递减，且g(0)3.从而原不等式ln x可化为ex，即3，即g(x)g(0)，从而由函数g(x)的单调性，知x0.故选A5(2020武汉市高三质量监测)函数f(x)(x2ax)exaxa2(e为自然对数的底数，aR，a为常数)有三个不同的零点，则a的取值范围是()A. B(，0)C. D(0，)答案A解析因为f(x)有三个不同的零点，所以f(x)0有三个不同的解f(x)(x2ax)exaxa2(xa)(xexa)，令f(x)0，则xa或xexa，所以xexa有两个不为a的解
4、，可知a0所以yxex与ya的图象有两个不同的交点，令g(x)xex，则g(x)(x1)ex，当x(，1)时，g(x)0，g(x)单调递增故当x1时，g(x)取得最小值，g(x)的最小值为.当x时，g(x)0；当x时，g(x)，作出g(x)xex及ya的图象，如图所示结合图象，可知a.6(2019郑州质检三)已知函数f(x)axx2xln a，对任意的x1，x20,1，不等式|f(x1)f(x2)|a2恒成立，则实数a的取值范围是()Ae2，) Be，)C2，e De，e2答案A解析f(x)axln a2xln a，令g(x)axln a2xln a，则g(x)ax(ln a)220，所以函数
5、g(x)在0,1上单调递增，所以g(x)g(0)a0ln a20ln a0，即f(x)0，则函数f(x)在0,1上单调递增，所以|f(x1)f(x2)|f(1)f(0)aln aa2，解得ae2.故选A二、填空题7若函数f(x)x33xa有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_答案(2,2)解析由f(x)x33xa，得f(x)3x23，当f(x)0时，x1，易知f(x)的极大值为f(1)2a，f(x)的极小值为f(1)a2，要使函数f(x)x33xa有三个不同的零点，则有f(1)2a0，且f(1)a20，即2a2，所以实数a的取值范围是(2,2)8若不等式(exax)(ln xax)0恒成立，
6、则实数a的取值范围是_答案解析因为ln xex，且(exax)(ln xax)0恒成立，所以ln xax0，所以a0时恒成立令g(x)，则g(x)，令g(x)0，得xe，当0x0，当xe时，g(x)0，所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，所以当xe时，g(x)max.令h(x)，则h(x)，令h(x)0，得x1，当0x1时，h(x)1时，h(x)0，所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x1时，h(x)mine.所以a0，f(x)exx3x，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为R，f(x)xex2axx(ex2a)当a0时，f(x)在(，0)
7、上单调递减，在(0，)上单调递增，f(x)有1个极值点；当0a时，f(x)在(，0)上单调递增，在(0，ln 2a)上单调递减，在(ln 2a，)上单调递增，f(x)有2个极值点；综上所述，当a0时，f(x)有1个极值点；当a0且a时，f(x)有2个极值点；当a时，f(x)没有极值点(2)由f(x)exx3x，得xexx3ax2x0，当x0时，exx2ax10，即x0，a恒成立，设g(x)(x0)，则g(x).设h(x)exx1(x0)，则h(x)ex1.x0，h(x)0，h(x)在(0，)上单调递增，h(x)h(0)0，即exx1，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，g(x
8、)g(1)e2，ae2.a的取值范围是(，e210(2020广东四校联考)已知函数f(x)a(x2ln x)x22x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围解(1)f(x)ax2(x2)(ax)(x0)当a0时，ax0，f(x)单调递增；当x(2，)时，f(x)0，f(x)单调递减当0a2时，令f(x)0x2或xa，则当x(0，a)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(2，)时，f(x)2时，令f(x)0x2或xa，则当x(0,2)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(a，)时，f(x)0，f(x)单调递减(2)由(1)知当a2时，f(x)在(0，
9、)上单调递减，至多有一个零点，不满足条件当a0时，f(x)x22x在定义域内只有一个零点当a0，a0.下面证明f(x)有两个零点取xe，则f(e)a(e)22e0，满足f(e)f(2)0，故f(x)在(0,2)上有且只有一个零点f(4)a(42ln 4)0，满足f(2)f(4)0，故f(x)在(2，)上有且只有一个零点当0a0，故f(x)在(0,2)上无零点，又f(x)在(2，)上单调递减，f(x)在(0，)上至多有一个零点，不满足条件当a2，x(0，a)时，f(x)f(2)a(22ln 2)20，故f(x)在(0，a)上无零点，又f(x)在(a，)上单调递减，f(x)在(0，)上至多有一个零
10、点，不满足条件综上，满足条件的实数a的取值范围是.11(2020四川五校联考)已知函数f(x)aln xx2(a2)x.(1)当a4时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当a0时，对于任意的x1，)，不等式f(x)1a2恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a4时，f(x)4ln xx26x，f(x)2x6，令f(x)0，解得x2或0x1.函数f(x)的单调递增区间为(0,1，2，)(2)令g(x)f(x)a21(x1)，则g(x)f(x)2x(a2)(x1)当01，即0a2时，g(x)0(当且仅当x1时取等号)g(x)在1，)上单调递增，g(x)ming(1)a2a2(a2)(a1)1，即a
11、2时，g(x)在上单调递减，在上单调递增g(x)mingaln a1，令h(x)xln x1(x2)，则h(x)ln x.当x2时，h(x)0，h(x)在(2，)上单调递增，h(x)0.g(x)g0恒成立，满足题意综上所述，a2，即实数a的取值范围为(2，)12已知函数f(x)ln xx22kx(kR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1x2，证明：f(x2)0，所以f(x)在(0，)上单调递增；当k0时，令t(x)x22kx1，当4k240，即00，即k1时，x22kx10有两个不相等的实根，则t(x)的两根为k，所以当x(0，k)时，f(x)0，当x(
12、k，k)时，f(x)0，故当k(，1时，f(x)在(0，)上单调递增；当k(1，)时，f(x)在(0，k)和(k，)上单调递增，在(k，k)上单调递减(2)证明：f(x)ln xx22kx(x0)，f(x)x2k，由(1)知当k1时，f(x)在(0，)上单调递增，此时f(x)无极值，当k1时，f(x)x2k，由f(x)0得x22kx10，4(k21)0，设x22kx10的两根为x1，x2，则x1x22k，x1x21，其中0x1k1x2k，f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增从而f(x)有两个极值点x1，x2，且x11)，则g(x)x0，所以g(x
13、)在(1，)上单调递减，且g(1)，故f(x2)0，在(1a，)上f(x)0，故f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a，)上单调递减，当a10，即a1时，在(0，)上f(x)0)，当0x1时，g(x)0，函数g(x)在区间(0,1)上单调递增；当x1时，g(x)0，函数g(x)在区间(1，)上单调递减；所以g(x)在x1处取得最大值因为当ea2时，方程f(ax)有两个不同的实数解x1，x2，所以函数g(x)的两个不同的零点x1，x2，一个零点比1小，一个零点比1大不妨设0x11x2，由g(x1)0，且g(x2)0，得x1ln (ax1)，且x2ln (ax2)，则x1ex1，x2ex2，所
14、以x1x2ex1x2，所以，令x1x2t，h(t)，h(t).因为tx1x2,0x11x2，所以t1，所以h(t)0，所以函数h(t)在区间(1，)上单调递增，h(t)h(1)e，所以，又因为x1x21，所以x1x24x1x2.14已知函数f(x)ex，g(x).(1)设函数F(x)f(x)g(x)，试讨论函数F(x)零点的个数；(2)若a2，x0，求证：f(x)g(x).解(1)函数F(x)的定义域为(，a)(a，)当x(a，)时，ex0，0，F(x)ex0，即F(x)在(a，)上没有零点；当x(，a)时，F(x)ex，令h(x)ex(xa)1(xa)，只要讨论h(x)的零点即可h(x)ex
15、(xa1)，h(a1)0，则当x(，a1)时，h(x)0，h(x)是单调递增函数，h(x)在(，a)上的最小值为h(a1)1ea1.显然，当a1时，h(a1)0，xa1是F(x)的唯一的零点；当a0，F(x)没有零点；当a1时，h(a1)1ea10，要证f(x)g(x)，即要证ex(x2)x24，(x2)x24，设M(x)ex(x2)x24exx22x2，则M(x)ex2x2，令(x)ex2x2，令(x)ex20，解得xln 2，(x)在(，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增，(1)(2)0，(1)(0)0，M(x)在(0，)上只有一个零点x0且1x00，ex(x2)x24，ex(x2)x24，f(x)g(x)得证
