1、31.3函数的奇偶性第1课时函数的奇偶性(1)课程目标 1.结合具体函数，了解函数的奇偶性的含义；2.会根据奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性；3.会利用奇偶性来研究函数的定义域、值域、解析式、单调性及函数的图像等知识点一奇、偶函数的定义 填一填(1)一般地，设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则称yf(x)为奇函数(2)一般地，设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则称yf(x)为偶函数答一答1从奇(偶)函数的定义来考虑，若对于奇(偶)函数定义域内的任意一个自变量x，它的相反数x也在定义域内吗？由此
2、得到什么结论？yx2，x1,1)是偶函数吗？提示：在函数的定义域内，奇(偶)函数的定义域是对称的yx2，x1,1)不是偶函数，原因是f(1)f(1)(f(1)不存在)2若奇函数f(x)在x0处有意义，则f(0)等于什么？提示：f(x)f(x)，f(0)f(0)，即2f(0)0，f(0)0.知识点二奇、偶函数的图像特征 填一填1如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数2如果一个函数是偶函数，则它的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数答一
3、答3观察下列函数的图像，判断函数的奇偶性提示：由题图可看出的图像均关于y轴对称，所以这两个函数均为偶函数；的图像关于原点对称，所以这两个函数均为奇函数类型一判断函数的奇偶性 例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x22x；(2)f(x)x3；(3)f(x)；(4)f(x)2|x|.解(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称因为f(x)(x)22(x)x22xf(x)，且f(x)f(x)，所以f(x)为非奇非偶函数(2)f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称因为f(x)(x)3(x3)f(x)，所以f(x)为奇函数(3)f(x)的定义域为1,1，是两个具体数，关于原点对称又f(1)f
4、(1)0，f(1)f(1)0，f(x)既是奇函数，又是偶函数(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称因为f(x)2|x|2|x|f(x)，所以f(x)是偶函数变式训练1判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)x2；(2)f(x)(x2)；(3)f(x)解：(1)f(x)x2f(x)，f(x)x2f(x)，所以f(x)x2是非奇非偶函数(2)由0，得定义域为2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数(3)当x1，f(x)(x)2x2f(x)；当x1时，f(x)x2，x0时，f(x)的图像如图所示，则f(x)的值域为3，2)(2,3解析：根据奇函数的图像性质可以得到函数f(x)在2，0)上的
5、图像，如图所示由图像可知，函数f(x)的值域为3，2)(2,3类型三 利用函数奇偶性求参数 例3(1)设函数f(x)为奇函数，则a_；(2)已知函数f(x)是奇函数，则a_.解析(1)法1(定义法)由已知得f(x)f(x)，即.显然x0，整理得x2(a1)xax2(a1)xa，故a10，得a1.法2(特值法)由f(x)为奇函数得f(1)f(1)，即，整理得a1.(2)(特值法)由f(x)为奇函数，得f(1)f(1)，即a(1)2(1)(121)，整理得a10，解得a1.答案(1)1(2)1由函数的奇偶性求参数应注意两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时
6、可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.(2)利用常见函数如一次函数，反比例函数，二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.变式训练3(1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a2,2a，则a，b0；解析：由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a22a0，解得a.又f(x)为偶函数，所以其图像关于y轴对称，即0，解得b0.(2)已知函数f(x)ax22x是奇函数，则实数a0.解析：由f(x)为奇函数得f(x)f(x)，即f(x)f(x)0，所以a(x)22(x)ax22x0，即2ax20，所以a0.1下列说法中错误的个数为(C)图像关于坐标原点对称的函数是奇函数
7、；图像关于y轴对称的函数是偶函数；奇函数的图像一定过坐标原点；偶函数的图像一定与y轴相交A4 B3C2 D1解析：由奇函数、偶函数的性质，知说法正确；对于，如f(x)，x(，0)(0，)，它是奇函数，但它的图像不过原点，所以说法错误；对于，如f(x)，x(，0)(0，)，它是偶函数，但它的图像不与y轴相交，所以说法错误故选C.2下列函数不具备奇偶性的是(C)Ayx ByCy Dyx22解析：yx与y都是奇函数，yx22是偶函数，y的定义域为xR|x1，不关于原点对称，故y为非奇非偶函数，故选C.3设偶函数f(x)的定义域为R，当x0，)时，f(x)是增函数，则f(2)，f()，f(3)的大小关系是(A)Af()f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2)f(3)解析：f(x)为R上的偶函数，f(2)f(2)，f(3)f(3)又f(x)在0，)上是增函数，f(2)f(3)f()，即f(2)f(3)f()，故选A.4定义在(1,1)上的奇函数f(x)，则常数m0，n0.解析：因为定义在(1,1)上的奇函数f(x)满足f(0)0，所以m0.又f(x)是奇函数，则x2nx1为偶函数，n0.综上知，m0，n0.