1、浙江省宁波市诺丁汉大学附属中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（实验班，含解析）答卷时间：120分钟 满分：150分一、单选题（共10个小题，每小题4分，共40分）1. 复数在复平面内的对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.【详解】，对应点为 ，在第三象限.故答案选B【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.2. 下列求导运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】按照运算法则逐一求导即可.【详解】解：A：常数项导数为0，所以，所以A不正确；B：为常数，导
2、数为0，所以B不正确；C：函数为两个函数相乘，导数逐一求导再相加，导数为，所以C不正确；D：，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数求导，考查导数运算法则，属于基础题.3. 我校兼程楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法（ ）A. 10种B. 16种C. 25种D. 32种【答案】B【解析】走法共分四步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共种.故本题正确答案为B.4. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题设可知函数在点的切线的斜率是，又直线经过点，所以，所以，应选答案C5. 用数学归纳法证明不
3、等式的过程中，由递推到时，不等式左边（ ）A. 增加了一项B. 增加了两项，C. 增加了A中的一项，但又减少了另一项D. 增加了B中的两项，但又减少了另一项【答案】D【解析】【分析】根据题意，分别写出和时，左边对应的式子，进而可得出结果.【详解】当时，左边，当时，左边，所以，由递推到时，不等式左边增加了，；减少了；故选D【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，熟记数学归纳法，会求增量即可，属于基础题型.6. 某种产品的加工需要经过5道工序，其中有2道工序既不能放在最前面，也不能放在最后面，则这种产品的加工排列顺序的方法数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先放置有条件的2道
4、工序，有种，再将剩余的3道工序，有种最后由分步计数原理，即可求解，得到答案.【详解】由题意，某种产品的加工需要经过5道工序，其中有2道工序既不能放在最前面，也不能放在最后面，其中这2道工序，共有种不同的方法，剩余的3道工序，共有种不同的方法，由分步计数原理，可得这种产品的加工排列顺序的方法数为种，故选B.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解中认真审题，合理利用排列组合和分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7. 已知函数，若函数的图象如图所示，则一定有（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 , 因为函数 从左到右先增后减后增，所以二次
5、函数 的图象开口向上， ，因为函数的极值点都为正，所以 有两个不同的正根，所以 ， ，故选B.8. 某学习小组、男女生共8人，现从男生中选2人，从女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数为（）A. 男2人，女6人B. 男3人，女5人C. 男5人，女3人D. 男6人，女2人【答案】B【解析】试题分析：设男生人数为，则女生人数为，由题意可知即，解得，所以男、女生人数为，故选B.考点：排列与组合.9. 已知直线分别与函数，的图象交于两点，则当长度达到最小时，的值为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出直线与函数，交点，则为纵坐标之差的绝对值，
6、计算，求导即可求出最小值.【详解】解：直线与函数，的交点为：，所以，令，则，当时，；当时，所以时，有最小值，.故选：C.【点睛】本题考查函数与方程之间的关系，考查利用导数求最值，属于中档题.10. 已知可导函数满足，则当时，和的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件构造函数，求导可知单调递增，比较的大小，可得和的大小关系.【详解】解：令，则，因为，所以，所以在上单调递增；因为，所以，即，即.故选：A.【点睛】本题考查构造函数法比较大小，考查利用导数求函数的单调性，属于基础题.二、填空题（共7个小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分）11. 复数的
7、虚部为_，的共轭复数_【答案】 (1). (2). 【解析】试题分析：，虚部为，共轭复数12. 函数的增区间是_, 曲线在点处的切线方程是_.【答案】 (1). （开区间也对） (2). 【解析】【分析】第一个空：先求函数的定义域，然后求导，求出当导函数不小于零时，的取值范围；第二个空：把代入导函数中，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程【详解】第一个空：函数,，显然当时，有，所以函数的增区间是（开区间也对）；第二个空：，所以曲线在点处的切线方程是【点睛】本题考查了利用导数求函数的切线方程以及单调区间的问题13. 用0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字, 可以组成_个无重复数字的三位数
8、, 也可以组成_个能被5整除且无重复数字的五位数.【答案】 (1). 100 (2). 216【解析】【分析】第一个空：先确定三位数的最高数位上的数，再确定另外两个数位上的数；第二个空：先确定五位数个位上的数字，然后分类讨论，其他数位上的数【详解】第一个空：第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有种方法；第二步，确定另外二个数位上的数，有种方法，所以可以组成个无重复数字的三位数；第二个空：被5整除且无重复数字的五位数的个数上的数有2种情况：当个数上的数字是0时，其他数位上的数有个；当个数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有种方法，而后确定其他三个数位上的数有种方法，所以共有个数，根据分类计
9、算原理共有个数【点睛】本题考查了分类计数原理、分步计数原理14. 已知函数则的最小值为_，最大值为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】对求导判断的单调性，可知在上单调递减，在上单调递增，从而求出的最小值，代入端点值比较大小，也可求出的最大值.【详解】解：则当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，则当时，；又，所以.故答案为： ；.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查余弦函数的值域和单调性，属于基础题.15. 已知函数在处极值为，则_【答案】；【解析】【分析】因为在处极值为，所以，求解可知取值，检验可得结果.【详解】解：，由题意可知：，解得：，或；检验：当时，则，不是的极
10、值点，故.故答案为：.【点睛】本题考查已知函数极值点求参数，考查极值点的定义，属于中档题.16. 市内某公共汽车站有5个候车位（成一排），现有甲，乙，丙 3名同学随机坐在某个座位上候车，则2位同学相邻，但3位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为_.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】先选出相邻的两名同学的排列方法用捆绑法，再用插空法安排这些同学，分别求解即可.【详解】解：相邻两名同学的排法用捆绑法，先选出两名同学，再捆绑，有种；把这两名相邻的同学和剩下一名同学不相邻的安排在座位上，有6种方法，所以一共有36种坐法.故答案为：.【点睛】本题考查捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，是排列组合的应用
11、问题，属于基础题.17. 已知不等式（，且）对任意实数恒成立，则的最大值为_.【答案】.【解析】【分析】令f（x）x3lnx+1mlnxn，利用导数可得当xm+3（m+30）时，f（x）有最小值，则f（m+3）m+33 ln（m+3）+1mln（m+3）n0，即n3m+1（m+3）ln（m+3），令g（x），利用导数求其最大值得答案详解】解：令f（x）x3lnx+1mlnxn，则f（x）1（x0），若m+30，则f（x）0，f（x）单调递增，由当x0时，f（x），不合题意；m+30，由f（x）0，得xm+3，当x（0，m+3）时，f（x）0，当x（m+3，+）时，f（x）0，当xm+3时，f（
12、x）有最小值，则f（m+3）m+33ln（m+3）+1mln（m+3）n0，即n3m+1（m+3）ln（m+3），令g（x），则g（x）当x（3，1）时，g（x）0，当x（1，+）时，g（x）0，当x1时，g（x）有最大值为ln2即的最大值为ln2 故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题三、解答题（共5个小题，共74分）18. 已知复数.（1）求；（2）若，求实数，的值.【答案】（1）；（2），【解析】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即
13、可求解试题解析：（1），；（2），考点：复数的计算19. 已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品（1）若在第5次测试时找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？（2）若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？【答案】（1）720种（2）936种【解析】【分析】（1）由题意可知前四次中有两件次品两件正品，第五次为次品，所以选出排列即可. （2）至多五次能找到，包括检测3次都是次品，检测四次测出3件次品，检测五次测出3件次品或着检测五次全是正品，剩下的为次品，以此求出每种情况求和可得结果.【详解】解：（1）若在第五次检测出最后一件次品，则前四次
14、中有两件次品两件正品，第五次为次品.则不同的检测方法共有种. （2）检测3次可测出3件次品，不同的测试方法有种检测4次可测出3件次品，不同的测试方法有种； 检测5次测出3件次品，分为两类：一类是恰好第5次测到次品，一类是前5次测到都是正品，不同的测试方法共有种所以共有936种测试方法【点睛】本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数的原理以及学生处理实际问题的能力，最后一次的问题一定要注意最后一次是确定的事件，本题属于中档题.20. 已知数列满足（1）计算的值；（2）根据以上计算结果猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）由和，代入计算，可求，
15、的值；（2）猜想的通项公式，再用数学归纳法证明，关键是假设当n=k（k1）时，命题成立，即成立，利用递推式，证明当n=k+1时，等式成立试题解析：（1）由和，得，（2）由以上结果猜测：用数学归纳法证明如下：（）当n=1时，左边=a1=0，右边=，等式成立（）假设当n=k（k1）时，命题成立，即成立那么，当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时等式成立由（）和（），可知猜测对于任意正整数n都成立考点：数学归纳法的运用.21. 定义在上的函数.（1）若在处的切线与直线垂直，求函数的解析式；（2）设，讨论的单调性.【答案】（1）（2）分类讨论，见解析【解析】【分析】（1）由切线与直线垂直可知，从而求
16、出的值，进而求出的解析式；（2），求导利用分类讨论的方法讨论在各个范围内取值时的正负，从而讨论的单调性.【详解】解：（1）由题意得，解得，. （2）， 若，恒成立，在上单调递减. 若，即由解得 在上单调递增；在上单调递减； 时，在上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减.【点睛】本题考查根据切线的斜率求参，考查利用导数求函数的单调性，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题.22. 已知函数在处的切线的斜率为1（1）求的最大值；（2）证明：；（3）设，若恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）0（2）见解析（3）0，+）【解析】【分析】（1）求在处的切线斜率，从而求出的值，可知，讨论的单调性和极值
17、，可求出的最大值；（2）由（1）可知，令，则，两边累加则可证明；（3）先根据特值确定，又由（1）知的最大值为，再在的基础上求的最小值，则可求出的取值范围【详解】解：（1）函数的定义域为求导数，得函数在 处的切线的斜率为1， 此时，当时，；当时，当时，取得极大值，该极大值即为最大值， （2）证明：由（1），得，当且仅当时，等号成立令，则 （3）解：，若恒成立，则 由（1），知当时，此时恒成立； 当时，当时，单调递减；当时，单调递增在处取得极小值，即为最小值，即恒成立综合（1）（2）可知，实数b的取值范围为0，+）【点睛】本题考查已知切线斜率求参，不等式的证明及恒成立问题，解题的关键是理解导数的几何意义，用导数研究单调性及最值问题，属于中档题.