1、71.2复数的几何意义目标 1.能说出复数与复平面内的点、平面向量之间的一一对应关系；2.会分析复数的几何意义，记住复数的模的几何意义重点 复数的几何意义与复数的模难点 复数的几何意义 要点整合夯基础 知识点一复平面填一填建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，虚轴上的点(0,0)不对应虚数答一答1实轴上的点一定表示实数，虚轴上的点一定表示虚数吗？提示：在复平面中，实轴上的点一定表示实数，但虚轴上的点不一定表示虚数事实上，虚轴上的点(0,0)是原点，它表示实数0，虚轴上的其他点都表示纯虚数知识点二复数的两种几何意义填一填复数zabi(a，bR)一一对应复平面内的点Z
2、(a，b)复数zabi(a，bR)一一对应平面向量.答一答2(1)在复平面中，复数zabi(a，bR)对应的点是Z(a，bi)吗？(2)复平面中，复数与向量一一对应的前提条件是什么？提示：(1)不是，在复平面中，复数zabi(a，bR)对应的点应该是Z(a，b)，而不是(a，bi)(2)前提条件是复数zabi(a，bR)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为在复平面内与相等的向量有无数个知识点三复数的模填一填向量的模叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.答一答3(1)复数的模一定是正数吗？(2)若复数z满足|z|1，那么在复平面内，复数z
3、对应的点Z的轨迹是什么？提示：(1)不一定，复数的模是非负数，即|z|0，当z0时，|z|0；反之，当|z|0时，必有z0.(2)点Z的轨迹是以原点为圆心，半径等于1的一个圆知识点四共轭复数填一填一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数复数z的共轭复数用来表示答一答4互为共轭复数的两个复数有什么特点？提示：实部相等，虚部相反，模相同 典例讲练破题型 类型一复数与复平面内点的对应关系例1已知复数z(a21)(2a1)i，其中aR.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)(1)在实轴上；(2)在第三象限分析解答本题可先确定复数z的实部、虚部
4、，再根据要求列出关于a的方程(组)或不等式(组)求解解复数z(a21)(2a1)i的实部为a21，虚部为2a1.在复平面内对应的点为(a21,2a1)(1)若z对应的点在实轴上，则有2a10，解得a.(2)若z对应的点在第三象限，则有解得1a0，(a22a3)(a1)220，故复数对应的点在第四象限(2)因为复数x26x5(x2)i在复平面内对应的点在第三象限，所以所以所以1x2.即1x1，|z1|z2|.(2)由(1)知|z2|z|z1|，则1|z|2.因为不等式|z|1的解集是圆|z|1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z|2的解集是圆|z|2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1
5、|z|2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环(包括边界，如图阴影部分所示)1.两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小.2.复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解.3.|z1z2|表示点Z1，Z2两点间的距离，|z|r表示以原点为圆心，以r为半径的圆.变式训练3已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围解：z3ai(aR)，|z|，由已知得4，a27，即a，a(，)类型四共轭复数例4已知复数z2i，则|的值为()A5B.C3D.解析因为z2i，所以由共轭复数的定义知2i
6、，所以|.答案B共轭复数的求法及其关系(1)复数zabi(a，bR)的共轭复数为abi.(2)互为共轭复数关于实轴对称(3)互为共轭复数的模长相等变式训练4在复平面内，复数i的共轭复数对应的点位于(D)A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：z的共轭复数i，对应的点为，位于第四象限. 课堂达标练经典 1在复平面内，若(0，5)，则对应的复数为(C)A0 B5C5iD5解析：对应的复数z05i5i.2已知复数z62i(i为虚数单位)，则在复平面内z的共轭复数所对应的点为(B)A(6，2) B(6,2) C(2,6) D(2,6)解析：由题意，可知62i，则在复平面内所对应的点为(6,2)
7、故选B.3已知复数z3i，则复数的模|z|是(D)A5 B8 C6 D.解析：|z|.4在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(C)A48i B82i C24i D4i解析：复数65i对应的点为A(6,5)，复数23i对应的点为B(2,3)利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C对应的复数为24i.5已知复数z满足z|z|28i，求复数z.解：设zabi(a，bR)，则|z|，代入方程得，abi28i，解得z158i.本课须掌握的两大问题1对复数几何意义的理解(1)复数集中的复数zabi(a，bR)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的(2)复数zabi(a，bR)与平面向量(a，b)也是一一对应的(3)注意zabi(a，bR)对应的向量的起点必须为原点，因为复平面内与相等的向量有无数个2复数与其对应的点的关系复数实部、虚部的符号与其对应点所在象限密切相关，实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；若实部为负且虚部为负，则复数对应点在第三象限；若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式