1、2.1椭圆21.1椭圆及其标准方程学习目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形知识点一椭圆的定义观察图形，回答下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长梳理平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫
2、做椭圆的焦距知识点二椭圆的标准方程思考椭圆方程中，a，b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？答案椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半a，b，c始终满足关系式a2b2c2.梳理焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2a2b2(1)平面内与两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为定值()(3)已知长
3、、短轴长，椭圆的标准方程有两个，因为焦点在不同的坐标轴上，其标准方程不同()类型一椭圆的标准方程命题角度1求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B；(2)经过点(3，)，且与椭圆1有共同的焦点考点椭圆的标准方程题点定义法求椭圆的标准方程解(1)方法一当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0)，A(0,2)，B在椭圆上，解得这与ab相矛盾，故舍去当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0)，A(0,2)，B在椭圆上，解得椭圆的标准方程为x21，综上可知，椭圆的标准方程为x21.方法二设椭圆的标准方程为mx2ny21(m
4、0，n0，mn)A(0,2)，B在椭圆上，故椭圆的标准方程为x21.(2)方法一椭圆1的焦点为(4,0)和(4,0)，由椭圆的定义可得2a，2a12，即a6.c4，b2a2c2624220，椭圆的标准方程为1.方法二由题意可设椭圆的标准方程为1，将x3，y代入上面的椭圆方程，得1，解得11或21(舍去)，椭圆的标准方程为1.反思与感悟求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程(2)待定系数法先确定焦点位置；设出方程；寻求a，b，c的等量关系；求a，b的值，代入所设方程特别提醒：当椭圆的焦点位置不确定时，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭
5、圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0)跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0,2)，并且椭圆经过点；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点P(2，1)，Q(，2)考点椭圆的标准方程题点待定系数法求椭圆的标准方程解(1)椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义知，2a 2，即a.又c2，b2a2c26.所求椭圆的标准方程为1.(2)椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(ab0)又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所求椭圆的标准方程为x21.(3)设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn
6、)，点P(2，1)，Q(，2)在椭圆上，代入得所求椭圆的标准方程为1.命题角度2由标准方程求参数(或其取值范围)例2若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是_考点椭圆的标准方程题点求椭圆方程中的参数(或其取值范围)答案(0,1)解析方程1表示焦点在y轴上的椭圆，将方程改写为1，有解得0m1.反思与感悟(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式(2)1表示椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是跟踪训练2(1)已知方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为_考点椭圆的标准方程题点求椭圆方程中的参数(或其取值范围)答案(7,10)解析化成
7、椭圆标准形式得1，根据其表示焦点在x轴上的椭圆，得解得7ksin ，即sinsin ，又，即.4已知椭圆1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m_.考点椭圆的标准方程题点定义法求椭圆的标准方程答案25解析由椭圆的定义知，372a，得a5，则ma225.5焦点在坐标轴上，且经过A(，2)和B(，1)两点，求椭圆的标准方程考点椭圆的标准方程题点待定系数法求椭圆的标准方程解设椭圆的标准方程为mx2ny21(m0，n0且mn)，A(，2)和B(，1)两点在椭圆上，解得椭圆的标准方程为1.1平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a，当2a|F1F2|时
8、，轨迹是椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a0，B0，AB)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的一、选择题1a6，c1的椭圆的标准方程是()A.1 B.1C.1 D以上都不对考点椭圆的标准方程题点待定系数法求椭圆的标准方程答案D解析因为椭圆的焦点位置不确定，故椭圆的标准方程为1或1.2已知椭圆5x2ky25的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为()A1 B1 C. D考点椭圆的标准方程题点求椭圆方程中的参数(或其取值范围)答案B解析原方程可化简为x21，由c214，得k1.3椭圆1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()A2 B4 C8
9、D.考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案B解析如图，F2为椭圆的右焦点，连接MF2，则ON是F1MF2的中位线，|ON|MF2|，又|MF1|2，|MF1|MF2|2a10，|MF2|8，|ON|4.4设P是椭圆1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则PF1F2是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案B解析由椭圆定义知|PF1|PF2|2a8，不妨设|PF1|PF2|，|PF1|PF2|2，|PF1|5，|PF2|3，又|F1F2|2c4，PF1F2为直角三角形5曲线1与1(0k9)的关系是()A有相等的焦距，相同的焦点B有
10、相等的焦距，不同的焦点C有不等的焦距，不同的焦点D以上都不对考点椭圆的标准方程题点由椭圆的标准方程求焦点、焦距答案B解析曲线1焦点在x轴上对于曲线1，0k9k0，焦点在y轴上，故两者的焦点不同259(25k)(9k)16c2，2c8，则两者焦距相等故选B.6方程1表示椭圆的必要不充分条件是()Am(1,2)Bm(4,2)Cm(4，1)(1,2)Dm(1，)考点椭圆的标准方程题点求椭圆方程中的参数(或其取值范围)答案B解析方程1表示椭圆的充要条件是即m(4，1)(1,2)由题意可得，所求m的取值范围包含集合(4，1)(1,2)观察选项，故选B.7已知椭圆y21的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，
11、且0，则点M到x轴的距离为()A. B. C. D.考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案C解析0，由|MF1|MF2|4，又|MF1|2|MF2|2(2)212，由与可得|MF1|MF2|2，设M到x轴的距离为h，则|MF1|MF2|F1F2|h，h.二、填空题8若椭圆的两个焦点为F1(3,0)，F2(3,0)，椭圆的弦AB过点F1，且ABF2的周长等于20，该椭圆的标准方程为_考点椭圆的标准方程题点定义法求椭圆的标准方程答案1解析如图，ABF2的周长等于20，4a20，即a5，又c3，b2a2c2523216.椭圆的标准方程为1.9已知椭圆1的焦距为4，则m_.考点椭圆的标准方程题点求椭
12、圆方程中的参数(或其取值范围)答案4或8解析(1)当焦点在x轴上时，10m(m2)4，解得m4.(2)当焦点在y轴上时，m2(10m)4，解得m8，m4或8.10若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_考点椭圆的标准方程题点求椭圆方程中的参数(或其取值范围)答案(8,25)解析由题意得解得8mb0)设焦点F1(c,0)，F2(c,0)(c0)F1AF2A，0.而(4c,3)，(4c,3)，(4c)(4c)320，c225，即c5.F1(5,0)，F2(5,0)2a|AF1|AF2|4.a2，b2a2c2(2)25215.所求椭圆的标准方程为1.13已知椭圆1(ab0)的焦点分别为
13、F1(0，1)，F2(0,1)，且3a24b2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，若|PF1|PF2|1，求F1PF2的余弦值；求|PF1|PF2|的最大值考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题解(1)由题意，得椭圆焦点在y轴上，且c1.又3a24b2，a2b2a2c21，a24，b23，椭圆的标准方程为1.(2)由|PF1|PF2|1，又由椭圆的定义知，|PF1|PF2|4，|PF1|，|PF2|，|F1F2|2，cosF1PF2.a2,4|PF1|PF2|2，当且仅当|PF1|PF2|时取等号，|PF1|PF2|4，当且仅当|PF1|PF2|2时取等号，|PF1|PF2|的最大值为4
14、.四、探究与拓展14设定点F1(0，3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|PF2|a(a0)，则点P的轨迹是()A椭圆 B线段C不存在 D椭圆或线段考点椭圆的定义题点由椭圆的定义确定轨迹答案D解析a0，a2 6，当且仅当a，即a3时取等号，当a3时，|PF1|PF2|6|F1F2|，点P的轨迹是线段F1F2；当a0且a3时，|PF1|PF2|6|F1F2|，点P的轨迹是椭圆15在RtABC中，CAB90，AB2，AC，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|PB|的值不变，求曲线E的方程考点椭圆的定义题点由椭圆的定义确定轨迹解如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，在RtABC中，|BC|，|PA|PB|CA|CB|2，且|PA|PB|AB|，由椭圆定义知，动点P的轨迹E为椭圆，且a，c1，b1.所求曲线E的方程为y21.