1、高一数学试题参考答案第 1 页（共 7 页）莆田市 2020-2021 学年下学期期末质量监测高一数学试题参考解答及评分标准评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数单项选择题和单空填空题不给中间分一、选择题：本题考查基础知识和基本运算每小
2、题 5 分，满分 40 分1A2C3B4B5A6D7D8B二、选择题：本题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分（本题为多项选择题，每小题中，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分）9AC10AB11ABD12ACD三、填空题：本题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分137014 23152114165 65 2四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17本小题主要考查平面向量的数量积、平面向量夹角与模的运算等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学运算
3、、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性满分 10 分解：（1）由 221abab，得222321aa bb 2 分又1a，2b，所以 2341a b，则1a b 3 分所以12cos22a ba b 5 分因为0,，所以4 6 分（2）因为222244abaa bb8 分1 485，9 分所以25ab 10 分18本小题主要考查直线与平面平行和垂直的判定与性质、平面与平面平行和垂直的判定与性质等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力等；考查化归与转化思想等；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分解：证法一：高一数学试题参考答案第 2 页（共 7 页）（1）在 B
4、C 上取点 P，使2BPPC，连接 DP，AP 1 分因为2=BDDE，所以DPCE，23=DPCE 2 分又因为AFCE，23=AFCE，所以AFDP，AFDP 3 分所以四边形 AFDP 为平行四边形所以DFAP 4 分又AP平面 ABC，DF平面 ABC，所以DF平面 ABC 6 分（2）因为平面 ACEF 平面 ABC,AFAC,平面 ACEF 平面 ABC=AC,所以 AF 平面 ABC 8 分又AP平面 ABC，所以AFAP 10 分由（1）知DFAP，CEAF 11 分所以DFCE 12 分证法二：（1）在CE 上取点Q，使2CQQE，连接 DQ，FQ，则AFCQ 1 分又AFC
5、Q，所以四边形 AFQC 为平行四边形所以FQAC 2 分因为 FQ 平面 ABC，AC 平面 ABC，所以FQ平面 ABC 3 分因为2BDDE，2CQQE，所以DQBC.同理，DQ平面 ABC 4 分又 FQ，DQ平面 DFQ，FQDQQ，所以平面DFQ平面 ABC 5 分因为DF平面 DFQ，所以DF平面 ABC 6 分（2）因为平面 ACEF 平面 ABC,AFAC,且平面 ACEF 平面 ABC=AC,高一数学试题参考答案第 3 页（共 7 页）所以 AF 平面 ABC 8 分因为 AC，BC平面 ABC，所以AFAC，AFBC 9 分由（1）知AFCE，FQAC，DQBC，所以CE
6、FQ，CEDQ 10 分又FQDQQ，FQ，DQ平面 DFQ，所以CE平面 DFQ 11 分因为DF平面 DFQ，所以CEDF 12 分19本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分解：（1）解法一：选 mcoscos，AB，n2，bca，且 mn，由mn得2coscos0bcAaB1 分由正弦定理得sin2sincossincos0BCAAB，2 分即sincoscossin2cossin0ABABAC所以sin2cossi
7、n0ABAC 3 分又ABC，所以sinsinABC 所以sin2cossin0CAC显然sin0C，所以1cos2A 5 分因为0 A，所以3A6 分解法二：选coscos2 3 cossinaAaBCbAC，因为ABC，所以coscos ABC 1 分则coscos2 3 cossinaBCaBCbAC 由正弦定理得sincossincos2 3 cossinsinABCABCABC 2 分即sincoscossinsincoscossinsinABCBCBCBC2 3 cossinsinABC，高一数学试题参考答案第 4 页（共 7 页）所以 2sinsinsin2 3 cossinsi
8、nABCABC.4 分显然sinsin0BC，所以sin3 cosAA，则 tan3A.5 分因为0 A，所以3A6 分解法三：选22(sinsin)sinsinsinBCBAC，由已知得222sin2sinsinsinsinsinsinBBCCABC，即222sinsinsinsinsinBCABC 2 分由正弦定理得222bcabc 3 分由余弦定理得2221cos222bcabcAbcbc 5 分因为0 A，所以3A6 分（2）解法一：由余弦定理得2222cosabcbcA 7 分所以2242cos 3bcbc，即224 bcbc，则243bcbc 8 分显然0b，0c，因为22 bcb
9、c，9 分所以222243324bcbcbcbcbc10 分则216bc，4 bc，当且仅当2bc时等号成立11 分所以6 abc，即ABC 周长的最大值为 612 分解法二：由正弦定理得 sinsinsinabcABC 7 分因为2a，3A，所以24 3sinsin3sin 3bcBC则4 3 sin3bB，4 3 sin3cC 8 分又2sinsin3CB，高一数学试题参考答案第 5 页（共 7 页）所以ABC 周长4 34 32sinsin2333abcBB 9 分4 34 331sincossin22 3sin2cos23322BBBBB314sincos24sin2226BBB10
10、分因为203 B，所以 5666B，所以sin16B，当且仅当62=B，即3=B时等号成立11 分则6 abc，即ABC 周长的最大值为 612 分20本小题主要考查独立事件、互斥事件的概率、古典概型等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力等；考查统计与概率思想、分类与整合思想、化归与转化思想等；考查数学运算、逻辑推理、数学建模、数学抽象等核心素养，体现基础性、应用性满分12 分解：（1）记“选择方案一，甲获胜”为事件 A，“第i 局甲获胜”为事件iA（1,2,3i），则1A，2A，3A 两两相互独立，且12123123AA AA A AA A A 2 分因为12A A，123A A A，1
11、23A A A 为互斥事件，所以 12123123A AA AP APAPAPAA3 分 12123123PA P AA P AAAPPPPPAA4 分2221212220333333327所以选择方案一，甲获胜的概率为 20276 分（2）记硬币正面朝上为 1，反面朝上为 0掷 3 枚硬币，样本空间为123,|0,1;1,2,3 ix x xxi，包含 8 个等可能的样本点8 分记“掷 3 枚硬币，恰有 2 枚正面朝上”为事件 B 则 1,1,0,1,0,1,0,1,1B，10 分所以 3182P B11 分高一数学试题参考答案第 6 页（共 7 页）因此方案二被选择的可能性更大 12 分2
12、1本小题主要考查直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质、异面直线所成的角、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等；考查函数与方程思想、化归与转化思想等；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分解：（1）证明：RtABC 中，ADDB，所以PDDB 又 F 为线段 PB 的中点，所以DFPB 1 分在 RtABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，所以DEBC 因为90B，所以DEAB 则DEPD，DEDB 又 PD，DB平面 PDB，PDDBD，所以DE平面 PDB 2 分因为DF平面 PDB，所以DEDF 3 分因为D
13、EBC，所以DFBC 4 分因为 PB，BC平面 PBC，PBBCB，所以 DF 平面 PBC 5 分（2）因为P BDEE PBDVV，6 分又DE平面 PDB，112DEBC，又111sin332E PBDPDBVSDEPDDBPDBDE1133 1 sinsin62 PDBPDB，7 分所以 11sin22PDB，即sin1PDB所以90PDB，即BDPD 8 分又BDDE，PD，DE平面 PDE，PDDED，所以BD平面 PDE 延长 DE 到G，使得DGBC，因为DGBC，所以四边形 BDGC 为平行四边形所以BDCG 9 分则PCG 为直线 BD 与 PC 所成角或其补角10 分因
14、为BD平面 PDE，又PG平面 PDE，所以BDPG，则CGPG 11 分在 RtPDG 中，3PD，2DGBC，所以7PG高一数学试题参考答案第 7 页（共 7 页）在 RtPGC 中，3CGBD，所以721tan33PGPCGCG即直线 BD 与 PC 所成角的正切值为213 12 分22本小题主要考查频率分布直方图、平均数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识、创新意识等；考查统计与概率思想、分类与整合思想等；考查数据分析、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性、创新性满分 12 分解：（1）由频率分布直方图得 20(0.01 0.0130.0070.002)1a，即0.0
15、18a.2 分所以10 0.230 0.2650 0.3670 0.1490 0.0427.8 189.83.641.2故估计该市年龄 100 岁及以下居民的平均年龄为 41.2 岁4 分（2）依题意可得，该市各年龄分组区间居民知晓防骗知识的人数如表所示年龄分组区间知晓人数（万人）0,20)300 0.2 0.3420.420,40)300 0.26 0.4535.140,60)300 0.36 0.5458.3260,80)300 0.14 0.6527.380,100300 0.04 0.748.88 9 分（各年龄分组区间居民知晓防骗知识的人数每计算正确 1 个得 1 分，共 5 分.）所以估计该市年龄 100 岁及以下居民对防骗知识的知晓率为20.435.1 58.3227.38.88150100%100%50%300300 10 分（3）本题结论开放，只要考生能从统计学的角度做出合理的分析即可如：一次调查未必能客观反映总体；样本容量过小也可能影响估计的准确性；调查的样本不一定具代表性，也会对估计产生影响；对于敏感性问题，被调查者不一定会提供真实信息等等.12 分