1、1巧用法则求导数导数的计算包括八个基本初等函数的导数公式，以及和、差、积、商的导数运算法则，它们是导数概念的深化，也是导数应用的基础，起到承上启下的作用那么在掌握和、差、积、商的导数运算法则时，要注意哪些问题？有哪些方法技巧可以应用？下面就以实例进行说明1函数和(或差)的求导法则(f(x)g(x)f(x)g(x)例1求下列函数的导数：(1)f(x)ln x；(2)f(x)cos x1.解(1)f(x).(2)f(x)sin x .点评记住基本初等函数的导数公式是正确求解导数的关键，此外函数和(或差)的求导法则可以推广到任意有限个可导函数和(或差)的求导2函数积的求导法则f(x)g(x)f(x)
2、g(x)f(x)g(x)例2求下列函数的导数：(1)f(x)x2ex；(2)f(x)(x1)(x2)(x3)解(1)f(x)(x2ex)(x2)exx2(ex)2xexx2ex.(2)f(x)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)x23x23x212x11.点评特别要注意：f(x)g(x)f(x)g(x)同时要记住结论：若C为常数，则Cf(x)Cf(x)，由此进一步可以得到af(x)bg(x)af(x)bg(x)3函数商的求导法则(g(x)0)例3求下
3、列函数的导数：(1)f(x)；(2)f(x)tan x；(3)f(x) .解(1)f(x).(2)f(x)(tan x).(3)因为f(x)，所以f(x).点评应在求导之前，先利用代数、三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算，提高运算效率4分式求导对于能够裂项的分式型函数，可将函数转化为几个单项式的和差形式，然后再利用和差的导数公式来解决例4求下列函数的导数：(1)y；(2)y.分析直接求导，或比较烦杂，或无从下手，这时，我们不妨利用数学运算法则将其分解，那么“曙光就在前头”解(1)因为yx1，所以y11.(2)因为yx2x3x4，所以y2x3x24x3.点评本题启示我们，对
4、于某些函数式，我们应先根据它的结构特点，适当地对函数式中的项进行合理的“拆”，然后“各个击破”2利用导数求切线方程曲线的切线问题是高考的常见题型之一而导数f(x0)的几何意义为曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳1已知切点，求曲线的切线方程此类题只需求出曲线的导数f(x)，并代入点斜式方程即可例1曲线f(x)x33x21在点(1，1)处的切线方程为()Ay3x4 By3x2Cy4x3 Dy4x5解析由f(x)3x26x知，曲线在点(1，1)处的斜率为kf(1)3.所以切线方程为y(1)3(x1)，
5、即y3x2.故选B.答案B2已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法例2求过曲线f(x)x32x上的点(1，1)的切线方程解设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f(x0)3x2.所以切线方程为yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切线过点(1，1)，所以1(x2x0)(3x2)(1x0)，解得x01或x0.故所求切线方程为y(12)(32)(x1)或y，即xy20或5x4y10.点评可以发现直线5x4y10并不以(1，1)为切点，实际上是经过点(1，1)，且以为切点的直线这说明过曲线上一点的切线，该
6、点未必是切点3已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解例3求过点(2,0)且与曲线f(x)相切的直线方程解设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f(x0).所以切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)又已知切线过点(2,0)，把它代入上述方程，得(2x0)解得x01，y01，所以所求切线方程为y1(x1)，即xy20.点评点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性4求两条曲线的公切线例4已知曲线C1：yx2与C2：yx24x4，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程分析设出直线与两条曲线的切点
7、坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解解设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，x4x24)由C1：yx2，得y2x，则与C1相切于点P的切线方程为yx2x1(xx1)，即y2x1xx.由C2：yx24x4，得y2x4，则与C2相切于点Q的切线方程为y2(x22)xx4.因为两切线重合，所以2x12(x22)且xx4，解得x10，x22或x12，x20.所以直线l的方程为y0或y4x4.点评公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两直线重合的条件建立方程组求解3利用导数研究函数单调性常见题型1运用导数求函数的单
8、调区间利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在定义域内解不等式f(x)0或f(x)0，得单调区间例1求函数f(x)x(ex1)x2的单调区间解由已知，得当f(x)(ex1)(x1)0时，有x0或x1.当x0；当1x0时，f(x)0时，f(x)0.故f(x)的单调递增区间是(，1)，(0，)，单调递减区间是(1,0)点评单调区间开闭不扣分，但定义域不取的数一定不能取；断开的单调区间一般不合写，也不用“”连接，中间用“，”或“和”连接例2已知函数f(x)x23x2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为_分析先求函数f(x)的定义域和导数，再结合定义
9、域解f(x)0即可解析函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x3.令f(x)0，即2x30且2x23x20，解得0x1时，ln x.分析可构造函数f(x)ln x，由于f(1)0，故若能证明f(x)为(1，)上的增函数，即证明在(1，)上，导函数f(x)0恒成立即可证明令f(x)ln x，则有f(1)0.因为f(x)x0(x(1，)，所以函数f(x)为(1，)上的增函数，又f(1)0，所以当x(1，)时，f(x)0恒成立，即ln x.点评证明不等式f(x)g(x)，x(a，b)的一般方法：构造函数F(x)f(x)g(x)，x(a，b)，分析F(x)在区间(a，b)上的单调性及最小值与0的大
10、小，进而说明F(x)0在(a，b)内恒成立即可3求参数的取值范围例4已知函数f(x)x3ax21.(1)若函数f(x)的单调递减区间是(0,2)，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在区间(0,2)内单调递减，求实数a的取值范围分析注意正确区分“在某区间单调”和“单调区间”的概念，避免混淆解(1)由f(x)的单调递减区间是(0,2)可知，0与2是方程f(x)3x22ax0的两根，故有3222a20，解得a3.(2)由函数f(x)在区间(0,2)内单调递减可知，f(x)3x22ax0在(0,2)内恒成立，即2a3x在区间(0,2)内恒成立因为x(0,2)，所以3x(0,6)，故2a6，即a3
11、.经验证a3时满足题意，故a的取值范围为3，)点评若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则有f(x)0(f(x)0)对xD恒成立，这类问题，通常利用导数转化为不等式在某区间上的恒成立问题，进而把恒成立问题转化为求一个函数在某区间上的最大(小)值问题求解也可根据所给区间是单调递增(减)区间的子区间求解4巧用导数求极值1函数的极值点的判定方法设函数f(x)在x0处连续，判定f(x0)是极大(小)值点的方法：(1)如果在x0两侧f(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(3)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f
12、(x0)是极小值也就是说，极大值点可以看成是函数递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值2极值常见题型详解(1)利用导数求函数的极值例1求函数f(x)xln x的极值点解f(x)ln x1，x0.而f(x)0ln x10x，f(x)0ln x100x0，f(x)在(0，)上是单调递增的，无极值；若a0，令f(x)0，得x.当x时，f(x)0，f(x)是单调递增的；当x时，f(x)0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为ln a1.点评本题通过求导，把问题转化为含参数的不等式问题，需要对
13、问题进行讨论，讨论时需要全面，避免遗漏(3)极值问题的逆向考查例3已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为()A B2C2或 D不存在解析由题意知f(x)3x22axb.所以解得或经检验满足题意，所以.故选A.答案A点评本题是已知极值求参数，逆向考查了极值的含义，解题关键是需要对所求参数进行讨论，是否满足极值的条件如果不满足，需要舍去5分类讨论思想在导数中如何应用分类讨论思想在导数中的应用非常广泛，尤其是在求含参数的函数的单调区间、极值或最值的问题中，那么如何确定分类讨论的标准呢？1按导数为零的根的大小来分类例1设函数f(x)x(xa)2(xR)，其中aR且a0，
14、求函数f(x)的极大值和极小值解f(x)(3xa)(xa)，令f(x)0，解得xa或x.当a，即a0，x时，f(x)0，x(a，)时，f(x)0，因此，函数f(x)在x处取得极小值a3，在xa处取得极大值0.当a，即a0，x(，a)时，f(x)0，x时，f(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，h(x)0，函数f(x)单调递增(2)当a0时，由f(x)0，解得x11，x21，当a，即x1x2时，h(x)0恒成立，此时f(x)0，f(x)在(0，)上单调递减；当0a10，当x(0,1)时，h(x)0，f(x)0，f(x)单调递减，当x时，h(x)0，f(x)单调递增，当x
15、时，h(x)0，f(x)0，f(x)单调递减；当a0时，100，f(x)0，f(x)单调递减，当x(1，)时，h(x)0，f(x)单调递增综上所述，当a0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当0a2时，方程g(x)0的根为x1ln 0，此时，若x(0，x2)，则g(x)0，故g(x)在区间(0，x2)内为减函数所以x(0，x2)时，g(x)g(0)0，即f(x)ax，与题设f(x)ax相矛盾综上所述，满足条件的实数a的取值范围为(，2点评本题对函数求导后应根据导数中含自变量部分的最值对a进行分类讨论小结通过以上几例我们可以总结
16、出分类讨论的原则：(1)要有明确的分类标准；(2)分类要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行分类讨论的一般步骤：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，逐段分析，获得阶段性结果，最后归纳总结得出结论6导数计算中的易错点1对定义理解不透例1已知函数f(x)3x42x35，则 _.错解因为f(x)12x36x2，所以原式f(1)6.故填6.剖析在导数的定义中，增量x的形式是多种多样的，但不论x选择哪种增量形式，相应的y也应选择对应的形式，本题y中x的增量为2x，则分母也应为2x.正解因为f(x)12x36x2，所以原式 22f(1)12.答案122对导数的几何意义理解
17、有误例2已知曲线yf(x)x33x，求过点A(2,2)且与该曲线相切的切线方程错解因为点A(2,2)在曲线yf(x)x33x上，且f(x)3x23，所以f(2)9.所以所求切线方程为y29(x2)，即9xy160.剖析上述解法错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k应是切点处的导数，而点A(2,2)虽在曲线上，但不一定是切点，故本题应先设切点，再求斜率k.正解设切点为P(x0，x3x0)，又y3x23.所以在点x0处的切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)又因为切线过点A(2,2)，所以2(x3x0)(3x3)(2x0)，即(x02)2(x01)0，解得x02或x01.故切线方程为9x
18、y160或y2.3求导时混淆了常量与变量例3求下列函数的导数：(1)f(x)a2x2；(2)f(x)ex.错解(1)f(x)(a2x2)2a2x.(2)f(x)(ex)(e)x(x)eexe.剖析(1)求导是对自变量的求导，要看清表达式中的自变量本题的自变量是x，而a是常量(2)中误把常数e当作了变量正解(1)f(x)(a2x2)2x.(2)f(x)(ex)e(x)e.4混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”例4已知曲线f(x)2x33x，过点M(1，1)作曲线f(x)的切线，求此切线方程错解因为点M在曲线上，所以M为切点，又f(x)6x23，所以切线的斜率为kf(1)633，所以由点斜式可
19、求得切线方程为y3x4.剖析错解直接把M看成是切点，对于此类问题应着重考虑已知点是否为切点，若已知点是切点，则错解中的方法就是正确的；否则，就要设出切点，由切点写出切线方程，再将已知点代入求得切点坐标进而得到切线方程正解设切点坐标为N(x0,2x3x0)，f(x)6x23，所以切线的斜率为kf(x0)6x3，所以切线方程为y(2x3x0)(6x3)(xx0)又点M在切线上，所以有1(2x3x0)(6x3)(1x0)，解得x01或x0，故切线方程为3xy40或3x2y10.5公式或法则记忆不准例5已知函数f(x)x2exln x3，则f(2)等于()A.e23 B0C.e23 De23错解因为f(x)(x2)(ex)(ln x)(3)2xex，所以f(2)e23.故选C.剖析基本初等函数的求导公式和求导法则，是求较复杂函数的基础，上述函数就是四个基本函数yex，yln x，yxu，yC的和与积构成的，因此求导时需利用求导法则f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，而不是直接求两个函数导数的乘积正解因为f(x)(x2)(exln x)(3)2x(ex)ln xex(ln x)2xexln x，所以f(2)e23.故选A.答案A点评基本初等函数的求导公式中指数与对数函数的求导公式相对较难，而在加、减、乘、除四种求导法则中一定要注意对乘、除两种法则记忆的准确性
