1、第六章 平面向量及其应用61平面向量的概念目标 1.记住向量、相等向量的概念，会向量的几何表示；2.记住共线向量的概念，并能找共线向量重点 理解并掌握向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量的概念，会表示向量难点 向量的概念，平行向量 要点整合夯基础 知识点一向量的概念和表示方法填一填1向量：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量2向量的表示(1)表示工具有向线段有向线段包含三个要素：起点，方向，长度(2)表示方法：向量可以用有向线段表示，向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作|.向量可以用字母a，b，c，表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，.答一答1有向线段就是向量，
2、向量就是有向线段吗？提示：有向线段只是一个几何图形，是向量的直观表示因此，有向线段与向量是完全不同的两个概念2两个向量可以比较大小吗？提示：不能因为向量既有大小，又有方向知识点二向量的长度(或称模)与特殊向量填一填1向量的长度定义：向量的大小2向量的长度表示：向量的长度记作：|；向量a的长度记作：|a|.3特殊向量长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量答一答3零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？提示：零向量的方向是任意的两个单位向量的方向不一定相同知识点三相等向量与共线向量填一填1长度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量a与b相等，记作ab.2方向
3、相同或相反的非零向量叫做平行向量，如果向量a，b平行，记作ab.任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量3规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0a.答一答4零向量与任意向量有什么关系？提示：规定零向量与任意向量是共线向量5向量平行与直线平行是一样的吗？提示：两种平行不同. 典例讲练破题型 类型一向量的有关概念例1判断下列命题是否正确，并说明理由(1)若向量a与b同向，且|a|b|，则ab；(2)若|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；(5)起
4、点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量分析解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假解(1)不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小(2)不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系(3)不正确依据规定：0与任意向量平行(4)不正确因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定(5)正确对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的(1)判断一个量是否为向量，应从两个方面入手：是否有大小，是否有方向.(2)注意两个特殊向量：零向量和单位向量.(3)注意平行向量与共线向量的含义.变式训练1(1)下列物
5、理量中不是向量的有(A)质量；速度；力；加速度；路程；密度；功；电流强度A5个B4个 C3个D2个(2)在下列命题中，真命题为(B)A两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B向量与向量的长度相等C向量就是有向线段D零向量是没有方向的解析：(1)看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，既有大小也有方向，是向量，只有大小没有方向，不是向量(2)由于单位向量的方向不一定相同，故其终点不一定相同，故A错误；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故D错误；有向线段是向量的形象表示，但并非说向量就是有向线段，故C错误
6、，故选B.类型二向量的几何表示例2已知飞机从A地按北偏东30方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地画图表示向量，并指出向量的模和方向分析以A为原点建立直角坐标系，根据已知条件确定B、C、D三点的位置，再画上箭头就可得到向量、，通过D点位置就可确定向量的模和方向解以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量，如下图所示由已知可得，ABC为正三角形，AC2 000 km，又ACD45，CD1 000 km，ADC为等
7、腰直角三角形，AD1 000 km，CAD45.故向量的模为1 000，方向为东南方向(1)用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后作出解答.(2)作向量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，先确定向量的方向，然后根据向量的长度找出终点.变式训练2在如图的方格纸中，画出下列向量(1)|3，点A在点O的正西方向；(2)|3，点B在点O北偏西45方向；(3)求出|的值解：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示(3)由图知，AOB是等腰直角三角形，所以|3.类型三相等向量和共线向量例3在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，如
8、图(1)写出与向量共线的向量(2)求证：.分析(1)与共线的向量需具备什么条件？(与的方向相同或相反)(2)必须具备什么条件？(|，二者方向相同)解(1)由满足共线向量的条件得与向量共线的向量有：，.(2)证明：在ABCD中，AD綉BC.又E、F分别为AD、BC的中点，ED綉BF，四边形BFDE是平行四边形，BE綉FD，.(1)共线向量和相等向量有何关系？,共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.(2)如何利用向量相等或共线证明线段相等、平行问题？证明线段相等，只要证明相应的向量长度(模)相等.证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线.变式训练3如图，在菱形ABCD中，
9、DAB120，则以下说法错误的是(D)A与相等的向量只有一个(不含)B与的模相等的向量有9个(不含)C.的模恰为的模的倍D.与不共线解析：与相等的向量只有；在菱形ABCD中，ACABBCCDDA，每一条线段可得方向相反的两个向量，它们的模都相等，故有5219(个)；计算得DODA，所以BDDA，即|；由ADBC知与共线，故D错误. 课堂达标练经典 1下列命题正确的是(C)A向量与是相等向量B共线的单位向量是相等向量C零向量与任意向量共线D两平行向量所在直线平行2下面几个命题：(1)若ab，则|a|b|；(2)若|a|0，则a0；(3)若|a|b|，则ab；(4)若向量a，b满足则ab.其中正确
10、命题的个数是(B)A0 B1C2 D33设O是等边三角形ABC的外心，则向量，是(D)A相同起点的向量B平行向量C相等向量D模相等的向量解析：如图，易知A、B、C均错误；由题意得点O到ABC的三个顶点的距离相等，|，故选D.4如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则|.5如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形在图中所示的向量中：(1)分别写出与、相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)写出与的模相等的向量；(4)向量与是否相等？解：(1)，；(2)与共线的向量为：，；(3)因为|，故与的模相等的向量为，；(4)不相等本课须掌握的三大问题1
11、向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又可以将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用2共线向量与平行向量是一组等价的概念两个共线向量不一定要在一条直线上当然，同一直线上的向量也是平行向量3注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆学科素养培优精品微课堂向量在平面几何中的应用开讲啦 利用向量可以证明线段相等、多点共线，判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)，将平面几何与向量结合在一起，可以使问题更加直观、明了典例如图所示，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，且，求证：四边形AMCN是平行四边形证明，|，且ABDC，四边形ABCD为平行四边形.M，N分别是BC，AD的中点，|，|，|.又.四边形AMCN是平行四边形名师点评若，且点A，B，C，D不共线，则四边形ABCD为平行四边形，利用这一重要结论，可以解决与平行、相等有关的平面几何问题针对训练等腰三角形ABC中，E，F分别是腰AB，AC靠近顶点A的三等分点，若|6，则|2.解析：由平面几何中相似三角形的知识可得出|2.