1、2015-2016学年浙江省杭州高级中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1设集合A=x|x2+2x30，R为实数，Z为整数集，则（RA）Z=（）Ax|3x1Bx|3x1C2，1，0D3，2，1，0，12给定集合M=，kZ，N=x|cos2x=0，P=a|sin2a=1，则下列关系式中，成立的是（）APNMBP=NMCPN=MDP=N=M3点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q，则Q点坐标（）A（，）B（，）C（，）D（，）4已知幂函数为奇函数，且在区间（0，+）上是减函数，则
2、f（x）=（）Ay=x3By=xCy=x3Dy=x25已知tansin0，且|sin+cos|1，则角是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角6给出下列说法：函数的对称中心是；函数单调递增区间是；函数的定义域是；函数y=tanx+1在上的最大值为，最小值为0其中正确说法有几个（）A1B2C3D47关于函数f（x）=（2x）x和实数m，n的下列结论中正确的是（）A若3mn，则f（m）f（n）B若mn0，则f（m）f（n）C若f（m）f（n），则m2n2D若f（m）f（n），则m3n38若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a0）有四个单调区间，则实数a，b，c满足（）Ab24ac0
3、，a0Bb24ac0C0D09已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）f（ax）（a1），则（）Asgng（x）=sgnxBsgng（x）=sgnxCsgng（x）=sgnf（x）Dsgng（x）=sgnf（x）10直线y=5与y=1在区间上截曲线所得弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（）ABm3，n=2CDm3，n=2二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）11cos660=12将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为13求函数y=lg（sin2x+2cosx+2）在上的最大值，最
4、小值14已知函数，则f（x）的单调增区间为，的解集为15设函数f（x）=ax2+x已知f（3）f（4），且当n8，nN*时，f（n）f（n+1）恒成立，则实数a的取值范围是16已知f（x）=ax2+bx+c，（02ab），xR，f（x）0恒成立，则的最小值为三、解答题（本大题共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知0x，且满足求：（i）sinxcosx；（ii）18已知函数在一个周期内的图象如图所示，图象过点，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且ABC为高为的正三角形（1）求A，的值；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）将y=f（x）的图象所在点向左平行移动（0
5、）的单位长度，得到y=g（x）的图象若y=g（x）的图象的一个对称中心为，求的最小值19已知函数f（x）=x+（1）求解不等式f（x）2x；（2）+x2+2mf（x）0在x1，2上恒成立，求m的取值范围；（3）设函数g（x）=x2+（3+c）x+c2，若方程g（f（x）=0有6个实根，求c的取值范围20已知函数f（x）=|lnx|，设x1x2且f（x1）=f（x2）（1）求的值；（2）若x1+x2+f（x1）+f（x2）M对任意满足条件的x1，x2恒成立，求实数M的最大值2015-2016学年浙江省杭州高级中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共
6、30分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1设集合A=x|x2+2x30，R为实数，Z为整数集，则（RA）Z=（）Ax|3x1Bx|3x1C2，1，0D3，2，1，0，1【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求解不等式化简集合A，求出其补集，然后利用交集运算求解【解答】解：A=x|x2+2x30=x|x3或x1，R为实数，Z为整数集，（CRA）=x|3x1，（CRA）Z=3，2，1，0，1故选：D2给定集合M=，kZ，N=x|cos2x=0，P=a|sin2a=1，则下列关系式中，成立的是（）APNMBP=NMCPN=MDP=N=M【考点】终边相同的角；集合的包含关系判断及应用【
7、分析】通过解三角方程化简集合M，N；通过对k的讨论化简集合M，根据集合间的包含关系得到选项【解答】解：N=x|cos2x=0=x|2=x|x=+，kZ，P=a|sin2a=1=a|2a=a|2a=k+，kZ，又M=pNM故选A3点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q，则Q点坐标（）A（，）B（，）C（，）D（，）【考点】弧长公式【分析】画出图形，结合图形，求出xOQ的大小，即得Q点的坐标【解答】解：如图所示，；点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q，则POQ=2=，xOQ=，cos=，sin=，Q点的坐标为（，）；故选：A4已知幂函数
8、为奇函数，且在区间（0，+）上是减函数，则f（x）=（）Ay=x3By=xCy=x3Dy=x2【考点】函数奇偶性的判断【分析】根据函数单调性先求出m的值结合幂函数的性质进行求解即可【解答】解：f（x）在区间（0，+）上是减函数，2m2m30，解得1m，mZ，m=0或m=1，若m=0，则f（x）=x3=，是奇函数，满足条件若m=1，则f（x）=x2=，是偶函数，不满足条件故选：C5已知tansin0，且|sin+cos|1，则角是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【考点】象限角、轴线角【分析】根据题意可求得cos0，sin0，从而可得答案【解答】解：tansin=sin=0，c
9、os0；又|sin+cos|1，两边平方得：1+2sincos1，2sincos0，而cos0，sin0，角是第二象限角故选B6给出下列说法：函数的对称中心是；函数单调递增区间是；函数的定义域是；函数y=tanx+1在上的最大值为，最小值为0其中正确说法有几个（）A1B2C3D4【考点】正切函数的图象【分析】利用正切函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：对于函数，令2x+=k+，求得x=+，可得它的图象的对称中心是（+，0），kZ，故A错误对于函数=2tan（2x），该函数只有减区间，而没有增区间，故B错误对于函数，令2x+k+，求得xk+，可得该函数的定义域是x|x
10、k+，kZ，故C正确由于函数y=tanx+1在上单调递增，故它的最大值为tan+1=，最小值为tan（）+1=0，故D正确，故选：B7关于函数f（x）=（2x）x和实数m，n的下列结论中正确的是（）A若3mn，则f（m）f（n）B若mn0，则f（m）f（n）C若f（m）f（n），则m2n2D若f（m）f（n），则m3n3【考点】指数函数单调性的应用【分析】观察本题中的函数，可得出它是一个偶函数，由于所给的四个选项都是比较大小的，或者是由函数值的大小比较自变量的大小关系的，可先研究函数在（0，+）上的单调性，再由偶函数的性质得出在R上的单调性，由函数的单调性判断出正确选项【解答】解：函数是一个偶
11、函数又x0时，与是增函数，且函数值为正，故函数在（0，+）上是一个增函数由偶函数的性质知，函数在（，0）上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立考察四个选项，A选项无法判断m，n离原点的远近；B选项m的绝对值大，其函数值也大，故不对；C选项是正确的，由f（m）f（n），一定可得出m2n2；D选项f（m）f（n），可得出|m|n|，但不能得出m3n3，不成立综上知，C选项是正确的故选C8若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a0）有四个单调区间，则实数a，b，c满足（）Ab24ac0，a0Bb24ac0C0D0【考点】函数的单调性
12、及单调区间【分析】要使f（x）在R上有四个单调区间，显然在x0时，f（x）有两个单调区间，x0时有两个单调区间，从而可得出a，b，c需满足【解答】解：x0时，f（x）=ax2+bx+c；此时，f（x）应该有两个单调区间；对称轴x=；x0时，f（x）=ax2bx+c，对称轴x=；此时f（x）有两个单调区间；当时，f（x）有四个单调区间故选C9已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）f（ax）（a1），则（）Asgng（x）=sgnxBsgng（x）=sgnxCsgng（x）=sgnf（x）Dsgng（x）=sgnf（x）【考点】函数与方程的综合运用【分析】直接利用特殊法
13、，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）f（ax）（a1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）f（ax）=x，sgng（x）=sgnx所以A不正确，B正确，sgnf（x）=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）f（ax）=x，sgnf（x）=sgn（x+1）=；sgng（x）=sgn（x）=，sgnf（x）=sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B10直线y=5与y=1在区间上截曲线所得弦长相等且不为零，则下列描述正确的是
14、（）ABm3，n=2CDm3，n=2【考点】正弦函数的图象【分析】曲线的性质知，在一个周期上截直线y=5与y=1所得的弦长相等且不为0，可知两条直线关于y=n对称，由此对称性可求出n，又截得的弦长不为0，故可得振幅大于 3【解答】解：由题意可得的图象关于直线y=n对称，因为曲线被直线y=5与y=1所得的弦长相等，所以直线y=5与直线y=1关于y=n对称所以n=2，又因为弦长相等且不为0，所以振幅m=3故选D二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）11cos660=【考点】运用诱导公式化简求值【分析】由条件利用利用诱导公式进行化简求值，可得结果【解答】解：cos660=cos=cos（6
15、0）=cos60=，故答案为：12将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y=sin4x【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】按照左加右减的原则，求出函数所有点向右平移个单位的解析式，然后求出将图象上所有点的横坐标变为原来的倍时的解析式即可【解答】解：将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数=sin2x，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y=sin4x故答案为：y=sin4x13求函数y=lg（sin2x+2cosx+2）在上的最大值lg4，最小值lg【考点
16、】复合函数的单调性【分析】根据同角的三角函数的关系式，结合一元二次函数的性质求出t=sin2x+2cosx+2的取值范围，结合对数单调性的性质进行求解即可【解答】解：sin2x+2cosx+2=1cos2x+2cosx+2=（cosx1）2+4，cosx，1，则当cosx=1时，sin2x+2cosx+2取得最大值4，当cosx=时，sin2x+2cosx+2取得最小值，即当时，函数有意义，设t=sin2x+2cosx+2，则t4，则lglgtlg4，即函数的最大值为lg4，最小值为lg，故答案为：lg4，lg14已知函数，则f（x）的单调增区间为（，1，的解集为（1，5）（log4，1【考点
17、】分段函数的应用；函数的单调性及单调区间【分析】根据绝对值的性质将函数f（x）进行化简，结合分段函数的表达式进行判断求解即可【解答】解：函数y=5x4x为减函数，且x=1时，y=5x4x=514=0，当x1时，5x4x0，此时f（x）=+=5x为减函数，当x1时，5x4x0，此时f（x）=4x为增函数，即函数f（x）的单调递增区间为为（，1，当x1时，由5x得x5，此时1x5，当x1时，由4x得xlog4，此时log4x1，即不等式的解集为（1，5）（log4，1，故答案为：（，1，（1，5）（log4，115设函数f（x）=ax2+x已知f（3）f（4），且当n8，nN*时，f（n）f（n+
18、1）恒成立，则实数a的取值范围是（）【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质【分析】通过函数恒成立判断a的符号，利用f（8）f（9），f（3）f（4），求解即可【解答】解：当n8，nN*时，f（n）f（n+1）恒成立，a0，此时，f（n）f（n+1）恒成立，等价于f（8）f（9），即64a+881a+9，解得af（3）f（4），9a+316a+4解得a，即a（）故答案为：（）16已知f（x）=ax2+bx+c，（02ab），xR，f（x）0恒成立，则的最小值为3【考点】二次函数的性质【分析】由二次函数的性质得，代入化简得：，设t=，由02ab得t2，利用基本不等式的性质就能求得最小值【解答】解：
19、因为xR，f（x）=ax2+bx+c0恒成立，02ab，所以，得b24ac，又02ab，所以，所以=，设t=，由02ab得，t2，则= （t1）+6=3，当且仅当时取等号，此时t=4，取最小值是3，故答案为：3三、解答题（本大题共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知0x，且满足求：（i）sinxcosx；（ii）【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】（i）由（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=，能求出sinxcosx（ii）由（i）知，sinxcosx=从而求出sincosx，进而求出sinx=，cosx=，由此能求出【解答】解：（i）0x，且满足（sin
20、x+cosx）2=1+2sinxcosx=，sinxcosx=（ii）由（i）知，sinxcosx=sincosx=，联立，解得sinx=，cosx=，=18已知函数在一个周期内的图象如图所示，图象过点，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且ABC为高为的正三角形（1）求A，的值；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）将y=f（x）的图象所在点向左平行移动（0）的单位长度，得到y=g（x）的图象若y=g（x）的图象的一个对称中心为，求的最小值【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象【分析】（1）根据三角函数的图象，结合三角函数的性质即可求A，和的值，（2）
21、根据三角函数的解析式，求出角的范围即可求出函数的值域，（3）利用三角函数的图象平移关系求出g（x）的解析式，结合函数的对称性进行求解即可【解答】解：（1）ABC为高为的正三角形，A=2，则sin60=，则AB=BC=4，即函数的周期T=2BC=8=，则=，此时f（x）=2sin（x+），图象过点，f（0）=2sin=，则sin=，|，=，即A=2，=，=；（2）由（1）得f（x）=2sin（x+），当时，即x，则x+，当x+=时，函数取得最大值为2，当x+=时，函数取得最小值为2=，即函数f（x）的值域为，2；（3）将y=f（x）的图象所在点向左平行移动（0）的单位长度，得到y=g（x）的图象
22、即g（x）=2sin（x+）+=2sin（x+），若y=g（x）的图象的一个对称中心为，即+=k，kZ则=4k2，0，当k=1时，取得最小值此时的最小值为42=219已知函数f（x）=x+（1）求解不等式f（x）2x；（2）+x2+2mf（x）0在x1，2上恒成立，求m的取值范围；（3）设函数g（x）=x2+（3+c）x+c2，若方程g（f（x）=0有6个实根，求c的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断【分析】（1）对x讨论，分x0，x0，由分式不等式的解法，即可得到解集；（2）由题意可得+x2+2m（x+）0在x1，2上恒成立，即有（x+）22+2m（x+）
23、0，令t=x+，2t，可得t2+2mt20，再由参数分离和函数的单调性，可得不等式的右边的最大值，可得m的范围；（3）可令t=f（x），则g（t）=0，即有方程t=f（x）有6个实根，作出f（x）的图象，可得当x0时，f（x）有最小值2，则方程g（t）=0有两个大于2的不等实根，由二次方程实根分布解决方法，可得判别式大于0，g（2）大于0，对称轴大于2，解不等式即可得到所求范围【解答】解：（1）f（x）2x，当x0时，x+2x，即有x=0，解得0x1；当当x0时，x2x，即为x+=0，解得x0故原不等式的解集为x|x1且x0；（2）+x2+2mf（x）0在x1，2上恒成立，即为+x2+2m（x
24、+）0在x1，2上恒成立，即有（x+）22+2m（x+）0，令t=x+，2t，可得t2+2mt20，即有m，令h（t）=，h（t）=0，则h（t）为单调递减函数，则h（t）=h（2）=1=，即有m；（3）函数g（x）=x2+（3+c）x+c2，若方程g（f（x）=0有6个实根，可令t=f（x），则g（t）=0，即有方程t=f（x）有6个实根，作出f（x）的图象，如右：当x0时，f（x）有最小值2，则t2，方程g（t）=0有两个大于2的不等实根，则即，可得3c120已知函数f（x）=|lnx|，设x1x2且f（x1）=f（x2）（1）求的值；（2）若x1+x2+f（x1）+f（x2）M对任意满足
25、条件的x1，x2恒成立，求实数M的最大值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；对数函数的图象与性质【分析】（1）根据对数的运算性质，可得lnx1=lnx2，进而得到x1x2=1，进而得到的值；（2）不妨令x21，则x1+x2+f（x1）+f（x2）=+x2+2lnx2M恒成立，令g（x）=+x+2lnx，x1，可得答案【解答】解：（1）函数f（x）=|lnx|，x1x2且f（x1）=f（x2）lnx1=lnx2，即lnx1+lnx2=ln（x1x2）=0，即x1x2=1，=0（2）不妨令x21，则x1+x2+f（x1）+f（x2）=+x2+2lnx2M恒成立，令g（x）=+x+2lnx，x1，则g（x）=+1+=0恒成立，则g（x）在（1，+）上恒成立，由g（1）=2，可得M2，即M的最大值为22017年2月11日
