1、单元检测(八) 圆锥曲线方程(满分:150分 时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于（ ）A. B. C. D.解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c,则由题意,得2a=22ba=2ba2=4b2a2=4(a2-c2) e=.答案:D2.椭圆(ab0)的焦点为F1、F2,两条准线与x轴的交点分别为M、N.若|MN|2|F1F2|,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A.(0, B.(0,C.,1) D.,1)解析:由题意,有|MN|2|F1F2|2ca22c2,又,.故选D.答案:D3.若双曲
2、线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为（ ）A.2 B.3 C.4 D.解析:双曲线的标准方程为故,即.由于抛物线的准线方程为,它与x轴的交点的横坐标为,而双曲线的左焦点在抛物线的准线上,因此p0.解得p=4,故选C.答案:C4.设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p0)的焦点,A是抛物线上的一点,与x轴正向的夹角为60,则为（ ）A. B. C. D.解析:依题意F(,0),直线FA的倾斜角即为与x轴正向的夹角,所以其斜率k=tan60=.故FA的方程为.由,可解得直线与抛物线的交点A的坐标为,所以答案:B5.已知倾斜角0的直线l过椭圆(ab0)的右焦点交椭圆于A、B两点,P
3、为右准线上任意一点,则APB为（ ）A.钝角 B.直角 C.锐角 D.都有可能解析:如图,设M为AB的中点,过点M作MM1垂直于准线于点M1,分别过A、B作AA1、BB1垂直于准线于A1、B1两点.则以AB为直径的圆与右准线相离.APB为锐角.答案:C6.设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若=0,则等于（ ）A.9 B.6 C.4 D.3解析:由于抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),由=0,可设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),得(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,x1+x2+x3=3,又由抛物线定义知=x1+1,=x2+1,=x3+
4、1,=(x1+x2+x3)+3=6.答案:B7.(2009河南郑州高中毕业班第一次质检)斜率为2的直线l过双曲线(a0,b0)的右焦点,且与双曲线的左右两支分别相交,则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）A.e B.1e C.1e解析:依题意,双曲线的一条渐近线的斜率必大于2,即2,因此该双曲线的离心率答案:D8.已知双曲线(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A.(1,2 B.(1,2) C.2,+) D.(2,+)解析:渐近线与过焦点F的直线l平行,或渐近线从该位置绕原点按逆时针方向旋转时,直线l与双曲线的右
5、支交于一个点.,即c2=a2+b24a2.e2,故选C.答案:C9.椭圆(a1b0)与双曲线,它们的离心率分别为e1、e2,以a1、a2、b为边长(其中a1为斜边)可构成直角三角形的充要条件是（ ）A.e1e2=1 B.e22-e12=1 C.e2=e1 D.e12+e22=2解析:由题意,知a12=a22+b2,又e12e22=1,即e1e2=1.答案:A10.设e1,e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率,P为两曲线的一个公共点,且满足=0,则的值为（ ）A.1 B. C.2 D.不确定解析:设=m,=n,设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,|F1F2|=2c,
6、则,由此可得4a12-4c2=4c2-4a22,即a12+a22=2c2.将,代入,选C.答案:C11.如图,过抛物线x2=4py(p0)焦点的直线依次交抛物线与圆x2+(y-p)2=p2于点A、B、C、D,则的值是（ ）A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2解析:-p=yA,-p=yB,=yAyB=p2.因为的方向相同,所以=yAyB=p2.故选D.答案:D12.若点P在抛物线y=3x2+4x+2上,A(0,-3)、B(-1,-1),使ABP的面积最小,则P点的坐标是（ ）A. B. C.(-1,1) D.(0,2)解析:设点P到AB所在直线的距离为d,则SABP=ABd=,当d取到最
7、小值时,SABP的面积即为最小.设P(x,3x2+4x+2),直线AB的方程为2x+y+3=0. .当x=-1时,dmin=,此时y=1.所以点P的坐标为(-1,1)时,SABP的面积最小.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则当m取最大值时,点P的坐标是_.解析:m=|PF1|PF2|为定值,等号成立时|PF1|=|PF2|,P为短轴端点(3,0).答案:(3,0)14.已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆C上一动点,点P是线段AM的中点,点N在CM上,且满足NPAM,则点N的轨迹方程为_.解析:由已知
8、,得|CM|=|NC|+|NM|=|NC|+|NA|=|AC|=2,因此动点N的轨迹是以点A(1,0)、C(-1,0)为焦点、长轴长2a=的椭圆,其中a=,c=1,b2=a2-c2=1,故动点N的轨迹方程是(y0).答案:(y0)15.已知抛物线y2=4x的焦点为F,AB是过焦点F的弦,且AB的倾斜角为30,则OAB的面积为_.解析:由y2=4x,得焦点坐标为F(1,0),直线AB的方程为.由得,由得(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(4)2+42=64,|y1-y2|=8.SAOB=|OF|y1-y2|=18=4.答案:416.P是双曲线(a0,b0)右支上一点,F为其右焦点,
9、M是右准线l:x=与x轴的交点,若PMF=60,PFM=45,则双曲线的方程为_.解析:如图,作PN垂直于右准线于N点,有,在PMN中,d=|PM|sin30,|PF|=e|PM|sin30.在PMF中,由正弦定理.又右准线l:x=,即,又,双曲线方程为.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知椭圆(ab0)的中心在坐标原点O,一条准线的方程为x=4,过椭圆的左焦点F,且方向向量为a=(1,1)的直线l交椭圆于A、B两点,AB的中点为M.(1)求直线OM的斜率(用a、b表示);(2)设直线AB与OM的夹角为,当tan=7时,求椭圆的方程.解:(1)设A(x1,
10、y1),B(x2,y2),A、B在椭圆上,.两式相减,得.,kOM=.(2)直线AB与OM的夹角为,且tan=7,由(1)知kAB=1,kOM=,.又椭圆中心在坐标原点O处,一条准线的方程是x=4,.在椭圆中,a2=b2+c2.联立,解得椭圆的方程为.18.(本小题满分12分)设F是抛物线G:x2=4y的焦点.(1)过点P(0,-4)作抛物线G的切线,求切线方程;(2)设A、B为抛物线G上异于原点的两点,且满足=0,延长AF、BF分别交抛物线G于点C、D,求四边形ABCD面积的最小值.解:(1)设切点,由y=知,抛物线G在Q点处的切线斜率为,故所求切线方程为,即.因为点P(0,-4)在切线上,
11、所以x02=16,x0=4.故切线斜率为.所以所求切线方程为y=2x-4.(2)设A(x1,y1),C(x2,y2),由题设知,直线AC的斜率k存在,由对称性,不妨设k0.因直线AC过焦点F(0,1),所以直线AC的方程为y=kx+1.点A、C的坐标满足方程组得x2-4kx-4=0,由根与系数的关系,知|AC|=4(1+k2).因为ACBD,所以BD的斜率为.从而BD的方程为.同理可求得|BD|=41+()2=.所以S四边形ABCD=|AC|BD| 32.当k=1时,等号成立.所以四边形ABCD面积的最小值为32.19.(本小题满分12分)已知椭圆的左、右两个焦点为F1、F2,离心率为,又抛物
12、线C2:y2=4mx(m0)与椭圆C1有公共焦点F2(1,0).(1)求椭圆和抛物线的方程;(2)设直线l经过椭圆的左焦点F1且与抛物线交于不同两点P、Q,且满足,求实数的取值范围.解:(1)在椭圆中,c=1,所以,故椭圆方程为.抛物线中,所以p=2,故抛物线方程为y2=4x.(2)设直线l的方程为y=k(x+1)和抛物线方程联立,得消去y,整理,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.因为直线和抛物线有两个交点,所以k0,(2k2-4)2-4k40.解得-1k1且k0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1x2=1.又,所以又y2=4x,由此得4x1=24x2,即x1=2x2.由x1x
13、2=1,解得x1=,x2=.又,所以.又因为0k20且1.20.(本小题满分12分)已知双曲线C:(a0,b0)的两条渐近线分别为l1、l2,过双曲线的右焦点F作直线l,使l垂直l1于P点,且与双曲线交于点A.(1)当l1与l2的夹角为60,且双曲线的焦距为4时,求该双曲线的方程;(2)若双曲线的离心率e,时,求的取值范围.解:(1)l1与l2的夹角为60,或=tan60.a=b或b=a.又c=2,双曲线方程为.(2)不妨设F(c,0),直线l的方程为,则由,得点P的横坐标为.点P在双曲线C的右准线上.过点A作右准线的垂线并交右准线于点Q,则=esinAPQ.又APQ=POF,且tanPOF=
14、(O为坐标原点),sinAPQ=.而e2=1+,且e,.的取值范围是1,.21.(本小题满分12分)设直线l:y=k(x+1)与椭圆x2+3y2=a2(a0)相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.(1)证明(2)若,求OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.(1)证明:依题意,直线l显然不平行于坐标轴,故y=k(x+1),可化为x=y-1(k0).将x=y-1代入x2+3y2=a2,消去x,得由直线l与椭圆相交于两个不同的点,得=,整理,得,即.(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2).由,得y1+y2=,由,得y1=-2y2,代入,得y2=.于是OAB的面积.其中,上
15、式取等号的条件是3k2=1,即.由,可得.将这两组值分别代入,均可解出a2=5.所以OAB的面积取得最大值时椭圆的方程是x2+3y2=5.22.(本小题满分12分)(理)如图,设抛物线方程为x2=2py(p0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A、B.(1)求证:A、M、B三点的横坐标成等差数列;(2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=,求此时抛物线的方程;(3)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py(p0)上,其中,点C满足(O为坐标原点)?若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由.(1)证明:由题意,设A(
16、x1,),B(x2,),x1x2,M(x0,-2p).由x2=2py,得,则y=,所以kMA=.因此直线MA的方程为y+2p=(x-x0),直线MB的方程为y+2p=(x-x0).所以,.由-,得,因此,即2x0=x1+x2.所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.(2)解:由(1)知,当x0=2时,将其代入并整理,得x12-4x1-4p2=0,x22-4x2-4p2=0,所以x1、x2是方程x2-4x-4p2=0的两根.因此x1+x2=4,x1x2=-4p2.又,所以kAB=.由弦长公式,得.又|AB|=4,所以p=1或p=2.因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.(3)解:存在.设D(
17、x3,y3),由题意,得C(x1+x2,y1+y2),则CD的中点坐标为.设直线AB的方程为,由点Q在直线AB上,并注意到点也在直线AB上,代入,得.若D(x3,y3)在抛物线上,则x32=2py3=2x0x3,因此x3=0或x3=2x0,即D(0,0)或D(2x0,).当x0=0时,则x1+x2=2x0=0,此时,点M(0,-2p)适合题意.当x00,对于D(0,0),此时,又,ABCD,所以,即x12+x22=-4p2,矛盾.对于,因为C(2x0,),此时直线CD平行于y轴,又,所以直线AB与直线CD不垂直,与题设矛盾.所以x00时,不存在符合题意的M点.综上所述,仅存在一点M(0,-2p
18、)适合题意.(文)如图,直线y= x与抛物线y=x2-4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于点Q.(1)求点Q的坐标;(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时,求OPQ面积的最大值.解:(1)解方程组得或即A(-4,-2),B(8,4).从而AB的中点为M(2,1).由,得线段AB的垂直平分线方程为y-1=(-2)(x-2).令y=-5,得x=5,Q(5,-5).(2)直线OQ的方程为x+y=0,设P(x,x2-4).点P到直线OQ的距离SOPQ=|OQ|d=|x2+8x-32|.P为抛物线上位于线段AB下方的点,且P不在直线OQ上,-4x4-4或4-4x8.函数y=x2+8x-32在区间-4,8上单调递增,当x=8时,OPQ的面积取到最大值30.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
