1、四川省宜宾市第四中学 2021 届高三数学上学期开学考试试题 文 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合|14Axx，|(2)(4)0,BxxxxZ，则 AB A|24xx?B|14xx C2,3 D2,3,4 2若1izi ，则复数 z 在复平面内对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知一家便利店从 1 月份至 5 月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店 1 月份至 5 月份的下列描述中，正确的是 A各月的利润保持不变 B各月的利润随营业收入的增加而增加 C各月的利润
2、随成本支出的增加而增加 D各月的营业收入与成本支出呈正相关关系 4若 xxf xea e为奇函数，xR，则 f x 在 0,0f处的切线方程为 A0y B yx C2yx D2yex 5已知抛物线 C：24yx的焦点为 F，M 为 C 上一点，若4MF，则MOF（O 为坐标原点）的面积为 A 3 B2 3 C4 3 D6 3 6已知4cos45a，则sin 2a=A7-25 B 725 C 1-5 D 15 7已知向量,a b，2a，cos,sinbR，若22 3ab，则a 与b 夹角是 A 56 B 23 C 3 D 6 8在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（bi no）
3、.如图，网格纸上小正方形的边长 1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为 A6 B21 C27 D54 9已知,x y 满足,100 xyxyx，则23xy的取值范围为 A 3,42 B(1,2 C(,02,)D(,1)2,)10若双曲线2222:10,0 xyCabab的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为 2，则C 的离心率为 A 2 33 B2 C 3 D2 11已知双曲线2222:1(0,0)xyabab的右焦点为 F，过原点的直线l 与双曲线 的左、右两支分别交于,A B 两点，延长 BF 交右支于C 点，若,|3|AFFB CFFB，则双曲线 的离心率是 A173 B
4、 32 C 53 D102 12设函数()2xf xex，2()ln3g xxx若实数,a b 满足()0f a，()0g b 则 A()0()g af b B()0()f bg a C0()()g af b D()()0f bg a 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知正项等比数列 na的前n 项和为nS，若418a，3134Sa，则该数列的公比为_.14已知等差数列 na的前n 项和为nS，且1514aa，927S ，则使得nS 取最小值时的n 为_ 15在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆C：221216xy，若等腰直角 PAB的斜边 AB 为圆C 的一
5、条弦，则 PC 的最大值为_.16若三棱锥 SABC的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，2 3AB，7SASBSC，则该三棱锥的外接球的表面积为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）已知在 ABC中，120ACB，2BCAC.（1）求 tan A 的值；（2）若1AC，ACB的平分线CD 交 AB 于点 D，求CD 的长.18（12 分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了 2018 年下半年该
6、市100 名农民工(其中技术工、非技术工各50 名)的月工资，得到这100 名农民工的月工资均在25,55(百元)内，且月工资收入在45,50(百元)内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:(1)求n 的值；(2)已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19 名.完成如下所示 2 2列联表 技术工 非技术工 总计 月工资不高于平均数 50 月工资高于平均数 50 总计 50 50 100 则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?参考公式及数据:22n adbcKabcdacbd，其中nabcd.20
7、P Kk 0.05 0.01 0.005 0.001 0k 3.841 6.635 7.879 10.828 19（12 分）如图，在直棱柱 ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA14.（1）证明：面 ACD1面 BB1D；（2）求多面体 ABCA1B1C1D1的体积.20.（12 分）设12FF，分别是椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦 点，已知椭圆的长轴为 2 2,P 是椭圆C 上一动点，12PF PF的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点2,0 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，M 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA
8、 OBmOM+=，其中4 5 4 3,53m，求 AB 的取值范围.21（12 分）已知函数()ln(1)(0)f xaxa（1）当2a 时，若函数1()(1)F xf xx在1x，2x（12xx）处导数相等，证明：122F xF x；（2）是否存在a，使直线l 是曲线()yf x的切线，也是曲线()(1)1xg xxx 的切线，而且这样的直线l 是唯一的，如果存在，求出直线l 方程，如果不存在，请说明理由（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参
9、数方程为22xtyt（t 为参数），直线l 过点 1,0P且倾斜角为 4，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.（1）写出曲线 C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于,A B 两点，求11PAPB的值.23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数()243f xxx.（1）设在平面直角坐标系中作出()f x 的图象，并写出不等式()2f x 的解集 M （2）设函数()()g xf xax，xM，若()0g x，求a 的取值范围 2020 年四川省宜宾市第四中学高三开学考试 文科数学参考答案 1C 2A 3D 4C 5A
10、6B 7C 8C 9A 10D 11D 12A 13 21 146 154 2 16 494 17（1）因为2BCAC，所以sin2sin2sin3ABA.sin3cossinAAA，可得3tan2A.（2）因为CD 是角平分线，所以60ACD，由3tan2A，可得321sin77A，22 7cos77A，所以3 21sinsinsincoscossin14ADCAACDAACDAACD ，由 sinsinACCDADCA可得21sin27sin33 2114ACAADADC.18(1)月工资收入在45,50(百元)内的人数为15 月工资收入在45,50(百元)内的频率为:150.15100；
11、由频率分布直方图得:0.020.0420.0150.151n 0.05n(2)根据题意得到列联表:技术工 非技术工 总计 月工资不高于平均数 19 31 50 月工资高于平均数 31 19 50 总计 50 50 100 210019 1931 315.7610.82850 50 50 50K 不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关 19（1）证明：在直棱柱 ABCDA1B1C1D1中，1BB 平面 ABCD，因为 AC 平面 ABCD，所以1BBAC，又 ACBD，1BDBBB，所以 AC 平面1BB D，因为 AC 平面1ACD，所以平面1A
12、CD 平面1BB D；（2）单独画出底面 ABCD，以 B 为坐标原点，BC、BA 为 x 轴、y 轴，建立直角坐标系，如图：设 ABm，则 0,Am，1,0C，4,Dm，所以1,ACm，4,BDm，由 ACBD可得240AC BDm，解得2m 或2m （舍去），所以2AB，所以多面体1111ABC ABC D-的体积1 1 111 1 111ABC A B C DABCD A B C DDACDVVV-11111144142 44 2 432323ABCDACDSSAADD .20（1）因为椭圆的长轴为 2 2,所以 22 22aa，设 P 的坐标为：00(,)x y，所以有 2222200
13、0021(1)22xyxybb，两焦点坐标为：12(,0),(,0)FcF c，因此 100200(,),(,)PFcxyPFcxy ，所以 222222200222212000000()()(1)22PF PFcxcxyxxxbbcyxcc ，显然当202x时，12PF PF有最大值，最大值为2222221121bcbcabcb ，因此椭圆方程为：2212xy；（2）AB 的取值范围为8(0,5.21（1）当2a 时，1()2ln(0)F xxxx，所以222121()xFxxxx，由题意，得1222122121xxxx，因为12xx，所以121 22xxx x，所以12121222x xx
14、xx x，所以121x x，所以12121212122ln2ln22xxF xF xx xx xx x（2）曲线()ln(1)f xax在点33,ln1x ax 处的切线方程为：31333:ln111aaxlyxaxxx，函数()1xg xx在点441,1xx处的切线方程24222441:11xlyxxx，要存在直线l，使l 是曲线()yf x的切线，也是曲线g()yx的切线，只需在34,(1,)x x 处使 1l 与 2l 重合，所以2342343234111ln111axxaxxaxxx 由得23411xa x 代入整理得4422 ln1ln101axaaax，设2()2 ln(1)ln1
15、1xaxaaax，则22222(1)1()1(1)(1)aa xxxxx，当111xa 时，()0 x，()x单调递减；当11xa 时，()0 x，()x单调递增，则min1()1ln1xaaaa，设()ln1h aaaa，()lnh aa，当01a 时，()0h a，()h a 单调递增；当1a 时，()0h a，()h a 单调递减 所以max()(1)0hah（）当1a 时，ln10aaa，所以min1()1ln10 xaaaa ，此时110 xa，所以方程22 ln(1)ln101axaaax 有唯一解0 x，即340 xx，此时切线方程为 yx；（）当0a 且1a 时，ln10aaa
16、，当0 x 时，1ln1h xxx，则 22111xhxxxx，故1x 函数单调递增，当01x 时，函数单调递减，故 min10h xh，故1ln1xx，同理可证1xex，21xex成立 因为1111aea ，则 2122ln1aaeeaaaa 212211aeaaaa221aea222110aa.又由当0 x 时，exx，可得1111aea，则111112ln12(ln1)20aaaaeeaaaeaaae，所以函数2()2 ln(1)ln11xaxaaax有两个零点，即方程22 ln(1)ln101axaaax 有两个根4x，4x ，即 440 xx，此时44xx，44,(1,)x x ，则
17、442 xx ，所以 224411a xa x，因为23411xa x，23411xa x，所以33xx，所以直线l 不唯一 综上所述，存在1a ，使:l yx是曲线()yf x的切线，也是曲线g()yx的切线，而且这样的直线l 是唯一的 22（1）曲线:C22xtyt（t 为参数），化为直角坐标方程为24yx，再化为极坐标方程为2sin4cos，直线l 的参数方程为21222xtyt （t 为参数）；（2）将直线l 的参数方程代入曲线 C，得24 280tt，所以 124 2tt，128t t ，点 P 在 AB 之间，所以2121 2|48PAPBABttt t，1 2|8PAPBt t，
18、所以11|81|8PAPBPAPBPA PB.23（1）函数图象如下图：不等式()2f x 的解集13Mxx；（2）122a .（1）1,3()24337,231,2xxf xxxxxxx，画出图象，如下图所示：当3x 时，()21233f xxxx ；当 23x时，()2372323;f xxxx 当2x 时，()212112f xxxx ，所以 不等式()2f x 的解集13Mxx.（2）当 1,2x 时，()1(1)1g xxaxax 当1a 时，()10g x ，显然成立；当1a 时，要想()0g x ，只需max()0g x即可，也就是 max11()020122g xgaa （）；当1a 时，要想()0g x ，只需min()010221g xgaa （），所以当 1,2x 时，当()0g x ，a 的取值范围122a ；当(2,3x时，()37(3)7g xxaxa x，当3a 时，显然()0g x 不成立；当3a 时，要想()0g x ，只需max2()0303g xga（）不存在这样的a；当3a 时，要想()0g x ，只需112022gaa （），所以当 1,2x 时，当()0g x ，a 的取值范围是12a ，综上所述 a 的取值范围122a .