1、2020 年中考数学总复习四边形压轴题专题练习1如图，四边形 ABCD 是直角梯形，ADBC，ABAD，且 ABAD+BC，E 是 DC 的中点，连结 BE 并延长交 AD 的延长线于 G（1）求证：DGBC；（2）F 是 AB 边上的动点，当 F 点在什么位置时，FDBG；说明理由（3）在（2）的条件下，连结 AE 交 FD 于 H，FH 与 HD 长度关系如何？说明理由（1）证明：ADBC，DGECBE，GDEBCE，E 是 DC 的中点，即 DECE，DEGCEB（AAS），DGBC（2）解：当 F 运动到 AFAD 时，FDBG理由：由（1）知 DGBC，ABAD+BC，AFAD，BF
2、BCDG，ABAG，BAG90，AFDABG45，FDBG（3）解：结论：FHHD理由：由（1）知 GEBG，又由（2）知ABG 为等腰直角三角形，所以AEBG，FDBG，AEFD，AFD 为等腰直角三角形，FHHD2如图，在矩形 ABCD 中，过 BD 的中点 O 作 EFBD，分别与 AB、CD 交于点 E、F连接 DE、BF（1）求证：四边形 BEDF 是菱形；（2）若 M 是 AD 中点，联结 OM 与 DE 交于点 N，ADOM4，则 ON 的长是多少？（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，ABCD，DFOBEO，DOFEOB，ODOB，DOFBOE（AAS），DFBE，四边形 BE
3、DF 是平行四边形，EFBD，四边形 BEDF 是菱形（2）解：DMAM，DOOB，OMAB，AB2OM8，DNEN，ONBE，设 DEEBx，在 RtADE 中，则有 x242+（8x）2，解得 x5，ON3（1）如图 1，四边形 EFGH 中，FEEH，EFG+EHG180，点 A，B分别在边 FG，GH 上，且AEBFEH，求证：ABAF+BH（2）如图 2，四边形 EFGH 中，FEEH，点 M 在边 EH 上，连接 FM，EN平分FEH 交 FM 于点 N，ENM，FGH1802，连接 GN，HN找出图中与 NH 相等的线段，并加以证明；求NGH 的度数（用含的式子表示）（1）证明：
4、如图 1 中，延长 BH 到 M，使得 HMFA，连接 EMF+EHG180，EHG+EHM180，FEHM，AEHE，FAHM，EFAEHM（SAS），EAEM，FEAHEM，EABFEH，FEA+BEHHEM+BEHBEMFEH，AEBBEM，BEBE，EAEM，AEBMEB（SAS），ABBM，BMBH+HMBH+AF，ABAF+BH（2）解：如图 2 中，结论：NHFN理由：NE 平分FEH，FENHEN，EFEH，ENEN，ENFENH（SAS），NHFNENFENH，ENFENH，ENM，ENFENH180，MNH1801802，FGH1802，MNHFGH，MNH+FNH180，
5、FGH+FNH180，F，G，H，N 四点共圆，NHNF，NGHNGFFGH904如图，已知ABC 中，ACB90，AC4，BC3，点 M、N 分别是边 AC、AB 上的动点，连接 MN，将AMN 沿 MN 所在直线翻折，翻折后点 A 的对应点为 A（1）如图 1，若点 A恰好落在边 AB 上，且 ANAC，求 AM 的长；（2）如图 2，若点 A恰好落在边 BC 上，且 ANAC试判断四边形 AMAN 的形状并说明理由；求 AM、MN 的长；（3）如图 3，设线段 NM、BC 的延长线交于点 P，当且时，求CP 的长解：（1）如图 1 中，在 RtABC 中，C9 0，AC4，BC3，AB5
6、，AA，ANMC90，ANMACB，AM（2）如图 2 中，NAAC，AMNNMA，由翻折可知：MAMA，AMNNMA，MNAAMN，ANAM，AMAN，AMAN，四边形 AMAN 是平行四边形，MAMA，四边形 AMAN 是菱形连接 AA交 MN 于 O设 AMMAx，MAAB，解得 x，AM，CM，CA，AA，四边形 AMAN 是菱形，AAMN，OMON，OAOA，OM，MN2OM（3）如图 3 中，作 NHBC 于 HNHAC，NH，BH，CHBCBH3，AM AC，CMACAM4，CMNH，PC15如图，四边形 ABCD 为平行四边形，AD1，AB3，DAB60，点 E为边 CD 上一
7、动点，过点 C 作 AE 的垂线交 AE 的延长线于点 F（1）求D 的度数；（2）若点 E 为 CD 的中点，求 EF 的值；（3）当点 E 在线段 CD 上运动时，是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由解：（1）如图 1 中，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCB，ADC+DAB180，DAB60，ADC120（2）如图 1 中，作 AHCD 交 CD 的延长线于 H在 RtADH 中，H90，ADH60，AD2，AHADsin60，DHADcos60，DEEC，EHDH+DE2，AE，CFAF，FH90，AEHCEF，AEHCEF，EF（3）如图 2 中，作AFC
8、的外接圆O，作 AHCD 交 CD 的郯城县于 H，作 OKCD 于 K，交O 于 M，作 FPCD 交 AD 的延长线于 P，作 MNCD 交 AD 的延长线于 M，作 NQCD 于 QDEPF，AD 是定值，PA 定值最大时，定值最大，观察图象可知，当点 F 与点 M 重合时，PA 定值最大，最大值AN 的长，由（2）可知，AH，CH，H90，AC，OMAC，OKAH，AOOC，KHKC，OK，MKNQ，在 RtNDQ 中，DN，ANAD+DN+，的最大值+6如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 P 是射线 BC 上 一动点（点 P 不与点 B 重合），连接 AP、DP，点 E
9、是线段 AP 上一点，且ADEAPD，连接 BE（1）求证：AD2AEAP；（2）求证 BEAP；（3）直接写出的最小值（1）证明：DAEPAD，ADEAPD，ADEAPD，AD2AEAP（2）证明：四边形 ABCD 是正方形，ADAB，ABC90，AB2AEAP，BAEPAB，ABEAPB，AEBABP90，BEAP（3）ADEAPD，AD2，DE 最小时，的值最小，如图，作ABE 的外接圆 O，连接 OD，OE，易知 OE1，OD，DEODOE1，DE 的最小值为1，的最小值7在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE（1）如图 1，点 F 为 AE 的中点，连接 CF
10、已知 tanFBE，BF5，求CF 的长；（2）如图 2，过点 E 作 AE 的垂线交 CD 于点 G，交 AB 的延长线于点 H，点 O 为对角线 AC 的中点，连接 GO 并延长交 AB 于点 M，求证：AM+BHBE解：（1）RtABE 中，BF 为中线，BF5，AE10，FE5，作 FPBC 于点 P，RtBFP 中，BP3，FP4，在等腰三角形BFE 中，BE2BP6，由勾股定理求得，CP835，；（2）ACDBAC45，AOCO，AOMCOG，证明AMOCGO（ASA），AMGC，过 G 作 GP 垂直 AB 于点 P，得矩形 BCGP，CGPB，ABPG，AEBH，ABEGPH，
11、ABEGPH（ASA），BEPHPB+BHCG+BHAM+BH8阅读理解：如图 1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形（1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图 1，试在垂美四边形 ABCD 中探究 AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图 3，分别以 RtABC 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连结 CE、BG、GE、CE 交 BG 于点 N，交 AB 于点 M已知 AC，AB2，求 GE 的
12、长解：（1）如图 2，四边形 ABCD 是垂美四边形；理由如下：连接 AC、BD 交于点 E，ABAD，点 A 在线段 BD 的垂直平分线上，CBCD，点 C 在线段 BD 的垂直平分线上，直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线，ACBD，即四边形 ABCD 是垂美四边形；（2）猜想结论：AB2+CD2AD2+BC2，证 明：如图 1，在四边形 ABCD 中，ACBD，AODAOBBOCCOD90，由 勾 股 定 理 得：AB2+CD2 AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2 AO2+BO2+OD2+OC2AB2+CD2AD2+BC2，（3）如图 3，连接 CG，BE，CAGBAE90，
13、CAG+BACBAE+BAC，即GABCAE，在GAB 和CAE 中，FMNG 图 3EDCABGABCAE（SSS），ABGAEC，AEC+AME90，ABG+BMN90，BNC90，即 BGCE，四边形 CGEB 是垂美四边形，由（2）得：EG2+BC2CG2+BE2，AB2，BC1，EG2CG2+BE2BC26+8213，9已知：如图，长方形 ABCD 中，ABBD90，ABCD4米，ADBC8 米，点 M 是 BC 边的中点，点 P 从点 A 出发，以 1 米/秒的速度沿 AB 方向运动再过点 B 沿 BM 方向运动，到点 M 停止运动，点 O 以同样的速度同时从点 D 出发沿着 DA
14、 方向运动，到点 A 停止运动，设点 P 运动的时间为 x 秒（1）当 x2 秒时，线段 AQ 的长是6米；（2）当点 P 在线段 AB 上运动时，图中阴影部分的面积发生改变吗？请你作出判断并说明理由（3）在点 P，Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得 BPDQ？若存在，求出点 P 的运动时间 x 的值；若不存在，请说明理由解：（1）四边形 ABCD 是矩形，ADBC8，DQ2，AQADDQ826，故答案为 6（2）结论：阴影部分的面积不会发生改变理由：连结 AM，作 MHAD 于 H则四边形 ABMH 是矩形，MHAB4S 阴SAPM+SAQMx4+（8x）416，阴影面积不变；（3）当
15、点 P 在线段 AB 上时，BP4x，DQxBPDQ，4xx，x3当点 P 在线段 BM 上时，BPx4，DQxBPDQ，x4x，x6所以当 x3 或 6 时，BPDQ10A，B，C，D 是长方形纸片的四个顶点，点 E、F、H 分别 是边 AB、BC、AD 上的三点，连结 EF、FH（1）将长方形纸片 ABCD 按图所示的方式折叠，FE、FH 为折痕，点 B、C、D 折叠后的对应点分别为 B、C、D，点 B在 FC上，则EFH 的度数为90；（2）将长方形纸片 ABCD 按图所示的方式折叠，FE、FH 为折痕，点 B、C、D 折叠后的对应点分别为 B、C、D，若BFC18，求EFH 的度数；（
16、3）将长方形纸片 ABCD 按图所示的方式折叠，FE、FH 为折痕，点 B、C、D 折叠后的对应点分别为 B、C、D，若EFHm，求BFC的度数为1802m解：（1）沿 EF，FH 折叠，BFEBFE，CFHCFH，点 B在 FC上，EFH（BFB+CFC）18090，故答案为：90；（2）沿 EF，FH 折叠，可设BFEBFEx，CFHCFHy，2x+18+2y180，x+y81，EFHx+18+y99；（3）沿 EF，FH 折叠，可设BFEBFEx，CFHCFHy，EFH180BFECFH180（x+y），即 x+y180m，又EFHEFBBFC+CFHxBFC+y，BFC（x+y）EFH
17、180mm1802m，故答案为：1802m11勾股定理是数学史上非常重要的一个定理早在 2000 多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法在欧几里得编的原本中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以 RtABC 的三边为边长，向外作正方形 ABDE、BCFG、ACHI（1）连接 BI、CE，求证：ABIAEC；（2）过点 B 作 AC 的垂线，交 AC 于点 M，交 IH 于点 N试说明四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等；请直接写出图中与正方形 BCFG 的面积相等的四边形（3）由第（2）题可得：正方形 ABDE 的面积+正方形 BCF
18、G 的面积正方形 ACHI的面积，即在RtABC 中，AB2+BC2AC2（1）证明：四边形 ABDE、四边形 ACHI 是正方形，ABAE，ACAI，BAECAI90，EACBAI，在ABI 和AEC 中，ABIAEC（SAS）；（2）证明：BMAC，AIAC，BMAI，四边形 AMNI 的面积2ABI 的面积，同理：正方形 ABDE 的面积2AEC 的面积，又ABIAEC，四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等解：四边形 CMNH 与正方形 BCFG 的面积相等，理由如下：RtABC 中，AB2+BC2AC2，正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积正方形 ACHI 的
19、面积，由得：四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等，四边形 CMNH 与正方形 BCFG 的面积相等；（3）解：由（2）得：正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积正方形ACHI 的面积；即在 RtABC 中，AB2+BC2AC2；故答案为：正方形 ACHI，AC212在长方形纸片 ABCD 中，点 E 是边 CD 上的一点，将AED 沿 AE 所在的直线折叠，使点 D 落在点 F 处（1）如图 1，若点 F 落在对角线 AC 上，且BAC54，则DAE 的度数为18（2）如图 2，若点 F 落在边 BC 上，且 AB6，AD10，求 CE 的长（3）如图 3，若点 E 是
20、 CD 的中点，AF 的沿长线交 BC 于点 G，且 AB6，AD10，求 CG 的长解：（1）四边形 ABCD 是矩形，BAD90，BAC54，DAC905436，由折叠的性质得：DAEFAE，DAEDAC18；故答案为：18；（2）四边形 ABCD 是矩形，BC90，BCAD10，CDAB6，由折叠的性质得：AFAD10，EFED，BF8，CFBCBF1082，设 CEx，则 EFED6x，在 RtCEF 中，由勾股定理得：22+x2（6x）2，解得：x，即 CE 的长为；（3）连接 EG，如图 3 所示：点 E 是 CD 的中点，DECE，由折叠的性质得：AFAD10，AFED90，FE
21、DE，EFG90C，在 RtCEG 和FEG 中，RtCEGFEG（HL），CGFG，设 CGFGy，则 AGAF+FG10+y，BGBCCG10y，在 RtABG 中，由勾股定理得：62+（10y）2（10+y）2，解 得：y，即 CG 的长为13如图，矩形 ABCD 中，AB6cm，AD8cm，点 P 从点 A 出发，以每秒一个单位的速度沿 ABC 的方向运动；同时点 Q 从点 B 出发，以每秒 2个单位的速度沿 BCD 的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动设两点运动的时间为 t 秒（1）当 t7时，两点停止运动；（2）设BPQ 的面积面积为 S（平方单位）求 S 与 t 之间的
22、函数关系式；求 t 为何值时，BPQ 面积最大，最大面积是多少？解：（1）四边形 ABCD 是矩形，ADBC8cm，ABCD6cm，BC+AD14cm，t1427，故答案为 7（2）当 0t4 时，S（6t）2tt2+6t当 4t6 时，S（6t）84t+24当 6t7 时，S（t6）（2t8）t210t+24当 0t4 时，S（6t）2tt2+6t（t3）2+9，10，t3 时，PBQ 的面积最大，最小值为 9当 4t6 时，S（6t）84t+24，40，t4 时，PBQ 的面积最大，最大值为 8，当 6t7 时，S（t6）（2t8）t210t+24（t5）21，t7 时，PBQ 的面积最大
23、，最大值为 3，综上所述，t3 时，PBQ 的面积最大，最大值为 914综合实践：问题情境数学活动课上，老师和同学们在正方形中利用旋转变换探究线段之间的关系探究过程如下所示：如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 为边 BC 的中点将DCE 以点 D 为旋转中心，顺时针方向旋转，当点 E 的对应点 E落在边 AB上时，连接 CE“兴趣小组”发现的结论是：AECE；“卓越小组”发现的结论是：DECE，DECE解决问题（1）请你证明“兴趣小组”和“卓越小组”发现的结论；拓展探究证明完“兴趣小组”和“卓越小组”发现的结论后，“智慧小组”提出如下问题：如图 2，连接 CC，若正方形 ABCD 的边长
24、为 2，求出 CC的长度（2）请你帮助智慧小组写出线段 CC的长度（直接写出结论即可）（1）证明：DEC由DEC 旋转得到，DCDC，CDCE90又四边形 ABCD 是正方形，DADC，A90，DADC，DEDE，RtDAERtDCE（HL），AECE点 E 为 BC 中点，CEAECE，点 E为 AB 的中点BECE，又DCBC，DCECBE90，DCECBE（SAS），DECE，CDEECB，CDE+DEC90，ECB+CED90，DECE（2）解：如图 2 中，作 CMCD 于 M，交 AB 于 NABCD，CMCD，CMAB，DMCCNEDCE90，MDC+DCM90，DCM+ECN9
25、0，MDCECN，DMCCNE，2，设 NEx，则 AMAN1+x，CM2x，CN（1+x），MNAD2，2x+（1+x）2，解得 x，CM2（1+），MC，CC15在ABC 中，AD 平分BAC 交 BC 于 D，MDN 的两边分别与 AB，AC相交于 M，N 两点，且 DMDN（1）如图甲，若C90，BAC60，AC9，MDN120，NDAB写出MDA90，AB 的长是18求四边形 AMDN 的周长（2）如图乙，过 D 作 DFAC 于 F，先补全图乙再证明 AM+AN2AF解：（1）AD 平分BAC，BADCADBAC30，NDAB，NDABAD30，MDAMDNNDA1203090，C
26、90，BAC60，ABC30，AC AB，AB2AC18，故答案为：90，18；ABC30，NDAB，NDC30，又MDN120，MDB30，MADNADADNMBD30，BMMD，DNAN，DMDN，BMMDDNAN，在 RtADM 中，设 MDx，则 AM2x，BMMDDNANx，AB18，3x18，x6，AM12，MDDNAN6，四边形 AMDN 的周长AM+MD+DN+AN12+6+6+630；（2）补全图如图乙所示：证明：过点 D 作 DEAB 于 E，如图丙所示：DEAB，DFAC，AD 平分BAC，DEMDFN90，DEDF，在 RtDEA 和 RtDFA 中，RtDEARtDFA（HL），AEAF，在 RtDEM 和 RtDFN 中，RtDEMRtDFN（HL），EMFN，AM+ANAE+EM+AFNF2AF