1、3.4基本不等式第一课时基本不等式 选题明细表知识点、方法题号对基本不等式的理解及简单应用1,2,4,5,7,9利用基本不等式比较大小3,6,10利用基本不等式证明不等式8,11,12基础巩固1.下列结论正确的是(B)(A)当x0且x1时,lg x+2(B)当x0时,+2(C)当x2时,x+的最小值为2(D)当0x2时,x-无最大值解析:A中,当0x1时,lg x2x(C)1 (D)x+4解析:对于A,当x0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不成立;对于D,当x(B)2,故.故选A.4.设a,b为正数,且a+b4,则下列各式中正确的一个是(B)(A)+1(B)+
2、1(C)+0,所以a,b中至少有一个为正数.故当a,b中有一个是负数或0时,显然有ab00成立,若t0,则logatloga(填“”“”“”或“0,所以a1,又a0,所以a1,所以函数y=logax单调递增.因为t0,所以,所以logaloga=logat.答案:7.(2019长春高二检测)若a0,b0,a+b=2,则下列不等式ab1;+;a2+b22;+2,对满足条件的a,b恒成立的是(填写序号).解析:因为ab()2=1,所以正确;因为(+)2=a+b+2=2+22+a+b=4,故不正确;a2+b2=2,所以正确;+=2,所以正确.答案:8.(2019无锡高二检测)已知a,b,c是不全相等
3、的正数,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.证明:由b2+c22bc,a0,得a(b2+c2)2abc.同理b(c2+a2)2abc,c(a2+b2)2abc.因为a,b,c不全相等,所以b2+c22bc,c2+a22ac,a2+b22ab三式不能全取“=”,从而a(b2+c2)2abc,b(c2+a2)2abc,c(a2+b2)2abc三式也不能全取“=”.所以a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.能力提升9.下列函数中,最小值为4的函数是(C)(A)y=x+(B)y=sin x+(C)y=ex+4e-x(D)y=log3x+logx8
4、1解析:A,D不能保证是两正数之和,sin x取不到2,只有C项满足两项均为正,当且仅当x=ln 2时等号成立.故选C.10.已知a,b,c都是非负实数,试比较+与(a+b+c)的大小.解:因为a2+b22ab,所以2(a2+b2)(a+b)2,所以(a+b),同理(b+c),(c+a),所以+(a+b)+(b+c)+(c+a),即+(a+b+c),当且仅当a=b=c时,等号成立.11.已知a,b(0,+),a+b=1.求证:(a+)2+(b+)2.证明:因为a0,b0,a+b=1,所以1=a+b2,所以4.因为,所以()2.所以(a+)2+(b+)222=.所以(a+)2+(b+)2.当且仅当a=b=时,等号成立.探究创新12.已知abc,求证:+.证明:因为abc,所以a-b0,b-c0,a-c=a-b+b-c0,所以所证不等式等价于(+)(a-c)4.又(+)(a-c)=+=+=2+2+2=4.当且仅当=时,等号成立,所以+.
