1、第三章 3.2 3.2.1 第 2 课时A 组素养自测一、选择题1函数 y 1x1的单调减区间是(A)A(，1)，(1，)B(，1)(1，)CxR|x1DR解析 单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故 C，D 不对，B 表述不当2函数 f(x)x21，x0，x2，x0的单调递增区间为(A)A(，0)，0，)B(，0)C0，)D(，)解析 分段函数求单调区间可借助图象来求，图象不熟悉就借助定义分段求3若函数 f(x)|x2|在4,0上的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm(B)A1B2C3D4解析 作出函数 f(x)|x2|x22x0 x24x0 时，最大值为 4ab，最小值为 2ab，
2、差为 2a，a1；当 a0 时，最大值为 2ab，最小值为 4ab，差为2a，a1.5已知函数 f(x)x24xa，x0,1，若 f(x)有最小值2，则 f(x)的最大值为(C)A1B0C1D2解析 f(x)(x24x4)a4(x2)24a，函数 f(x)图象的对称轴为直线 x2，f(x)在0,1上单调递增又f(x)minf(0)a2，f(x)maxf(1)1421.6若 f(x)x22ax 与 g(x)ax1在区间1,2上都是减函数，则 a 的取值范围是(D)A(1,0)(0,1)B(1,0)(0,1C(0,1)D(0,1解析 f(x)x22ax(xa)2a2，f(x)在区间1,2上为减函数
3、，a1.g(x)ax1在区间1,2上为减函数，a0，0a1.二、填空题7函数 f(x)x2x在1,2上的最大值是_1_.解析 函数 f(x)x2x在1,2上是增函数，当 x2 时，f(x)取最大值 f(2)211.8函数 yx22x1 的值域是_2，)_.解析 因为二次函数图象开口向上，所以它的最小值为4112242.故值域为2，)9已知函数 f(x)在区间2，)上是增函数，则 f(2)_f(x24x6)(填“”“”或“”)解析 x24x6(x2)222，且 f(x)在区间2，)上是增函数，f(2)f(x24x6)三、解答题10已知函数 f(x)xx1.(1)求 f(x)的定义域和值域；(2)
4、判断函数 f(x)在区间(2,5)上的单调性，并用定义来证明所得结论解析(1)f(x)xx1x11x1 1 1x1，定义域为x|x1，值域为y|y1(2)由函数解析式可知该函数在(2,5)上是减函数，下面证明此结论证明：任取 x1，x2(2,5)，设 x1x2，则 f(x1)f(x2)x1x11 x2x21x2x1x11x21.因为 2x1x20，x110，x210，所以 f(x1)f(x2)故函数在(2,5)上为减函数11已知函数 f(x)x 12x2，其中 x1，)(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值解析(1)f(x)在1，)上单调递增，理由如下：设 1x1x2，则f(x1)f(x
5、2)(x1x2)(12x1 12x2)(x1x2)(1 12x1x2)(x1x2)2x1x212x1x2，1x1x2，x1x20，x1x21，2x1x210，f(x1)f(x2)0.即 f(x1)f(x2)，所以 f(x)在区间1，)上单调递增(2)由(1)知，f(x)在1，)上是增函数，当 x1 时，f(x)有最小值72.B 组素养提升一、选择题1下列函数在1,4上最大值为 3 的是(A)Ay1x2By3x2Cyx2Dy1x解析 B、C 在1,4上均为增函数，A、D 在1,4上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选 A2某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为 L15.
6、06x0.15x2 和L22x，其中 x 为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的最大利润为(B)A45.606 万元B45.6 万元C45.56 万元D45.51 万元解析 设在甲地销售量为 a 辆，则在乙地销售量为 15a 辆，设利润为 y 万元，则 y5.06a0.15a22(15a)(0a15 且 aN)，则 y0.15a23.06a30，可求 ymax45.6 万元3(多选题)已知 f(x)x 1x，则(AD)A定义域为0,1Bf(x)max 2，f(x)无最小值Cf(x)min1,f(x)无最大值Df(x)max1,f(x)min1解析 要使 f(x)有意
7、义，应满足x01x0，0 x1，显然 f(x)在0,1上单调递增，所f(x)max1，f(x)min1.故选 AD4(多选题)已知函数 f(x)x22x2，关于 f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是(BCD)Af(x)在区间1,0上的最小值为 1Bf(x)在区间1,2上既有最小值，又有最大值Cf(x)在区间2,3上有最小值，最大值 5D当 0a1 时，f(x)在区间0，a上的最小值为 1解析 函数 f(x)x22x2(x1)21 的图象开口向上，对称轴为直线 x1.在选项 A中，因为 f(x)在区间1,0上单调递减，所以 f(x)在区间1,0上的最小值为 f(0)2，A 错误；在选项
8、 B 中，因为 f(x)在区间1,1上单调递减，在1,2上单调递增，所以 f(x)在区间1,2上的最小值为 f(1)1，又因为 f(1)5，f(2)2，f(1)f(2)，所以 f(x)在区间1,2上的最大值为 f(1)5，B 正确；在选项 C 中，因为 f(x)在区间2,3上单调递增，所以 f(x)在区间2,3上的最小值为 f(2)2，最大值为 f(3)5，C 正确；在选项 D 中，当 0a1 时，由图象知 f(x)在区间0，a上的最小值为 1，D正确二、填空题5已知函数 f(x)2x3，当 x1 时，恒有 f(x)m 成立，则实数 m 的取值范围是_(，1_.解析 f(x)2x3 在1，)上
9、单调递增，f(x)f(1)1.mf(x)恒成立，m1.6已知函数 f(x)在区间1,1上是单调函数且 f(0)f(1)，则满足 f(x)f(12)的实数 x 的取值范围为_1，12 _.解析 由题意知函数 f(x)在区间1,1上是单调增函数，所以不等式 f(x)f 12 等价于1x1，x12，即1x12.7已知函数 f(x)x26x8，x1，a，并且 f(x)的最小值为 f(a)，则实数 a 的取值范围是_1a3_.解析 画 f(x)x26x8 的图象，f(x)的单调递减区间为(，3，1a3.三、解答题8.已知函数 f(x)|x|(x1)，试画出函数 f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题
10、(1)写出函数 f(x)的单调区间；(2)求函数 f(x)在区间1，12的最大值解析 f(x)|x|(x1)x2xx0 x2xx0的图象如图所示(1)f(x)在(，12和0，)上是增函数，在12，0上是减函数，因此 f(x)的单调增区间为(，12，0，)，单调减区间12，0(2)f(12)14，f(12)34，f(x)在区间1，12的最大值为34.9(2019北京海淀区联考)已知函数 f(x)x22ax2，x1,1，求函数 f(x)的最小值解析 f(x)x22ax2(xa)22a2，x1,1当 a1 时，函数 f(x)的图象如图(1)中实线所示，函数 f(x)在区间1,1上是减函数，最小值为 f(1)32a；当1a1 时，函数 f(x)的图象如图(2)中实线所示，函数 f(x)在区间1，a)上单调递减，在区间(a,1上单调递增，最小值为 f(a)2a2；当 a1 时，函数 f(x)的图象如图(3)中实线所示，函数 f(x)在区间1,1上是增函数，最小值为 f(1)32a.综上所述，f(x)min32a，a1，2a2，1a1，32a，a1.