1、3.3几何概型3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生选题明细表知识点、方法题号几何概型的概念1与长度、角度有关的几何概型5,6,8,9,11,12与面积有关的几何概型2,13,14,15与体积有关的几何概型4,7,10随机数的产生3基础巩固1.下列关于几何概型的说法中,错误的是(A)(A)几何概型是古典概型的一种,基本事件都具有等可能性(B)几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关(C)几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个(D)几何概型中每个结果的发生都具有等可能性解析:几何概型和古典概型是两种不同的概率模型.A错;B,C,D都正确.2.(2018滨州期末)如图,正方形ABC
2、D的内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点的连线对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(A)(A)(B)(C)(D)4解析:设正方形的边长为2,根据几何概型概率计算公式,此点取自黑色部分的概率P=.故选A.3.用均匀随机数进行随机模拟,可以解决(C)(A)只能求几何概型的概率,不能解决其他问题(B)不仅能求几何概型的概率,还能计算图形的面积(C)不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积(D)最适合估计古典概型的概率解析:很明显用均匀随机数进行随机模拟,不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积,但得到的是近似值,不是精确值,用均匀随机数进行随机模拟,不适合估计古典概
3、型的概率.故选C.4.在半径为2的球O内任取一点P,则|OP|1的概率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:问题相当于在以O为球心,1为半径的球外,且在以O为球心,2为半径的球内任取一点,所以P=.5.如图,A是圆O上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A,连接AA,它是一条弦,它的长度小于或等于半径长度的概率为(C)(A)(B)(C)(D)解析:如图,当AA的长度等于半径长度时AOA=,由圆的对称性及几何概型得P=.故选C.6.已知地铁列车每10 min一班,在车站停1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是(A)(A)(B)(C)(D)解析:试验的所有结果构成的区域长度为10 min,而构
4、成事件A的区域长度为1 min,故P(A)=.故选A.7.在正方体ABCDA1B1C1D1内随机抽取一点,则该点在三棱锥A1ABC内的概率是.解析:P=.答案:8.在区间-1,2上随机取一个数x,则x0,1的概率为.解析:-1,2的长度为3,0,1的长度为1,所以概率是.答案:9.某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论,他任意时间打开电视机看该台节目时,看不到广告的概率为,那么该台每小时约有分钟的广告.解析:60(1-)=6(分钟).答案:6能力提升10.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安
5、全飞行”的概率为(B)(A)(B)(C)(D)解析:根据题意,安全飞行的区域为棱长为1的正方体,所以P=.故选B.11.已知方程x2+3x+1=0,若p在0,10中随机取值,则方程有实数根的概率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为总的基本事件是0,10内的全部实数,所以基本事件总数为无限个,符合几何概型的条件,事件对应的测度为区间的长度,总的基本事件对应区间0,10,长度为10,而事件“方程有实数根”应满足0,即9-41(+1)0,得p5,所以对应区间0,5,长度为5,所以所求概率为=.12.在区间0,2上随机地取一个数x,则事件“-1lo（x+）1”发生的概率为.解析:由-1lo(x+
6、)1得x+2,即0x,故所求概率为=.答案:13.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于,则去打篮球;否则,在家看书.则小波周末不在家看书的概率为.解析:记“小波周末去看电影”为事件A,则P(A)=1-=,记“小波周末去打篮球”为事件B,则P(B)=,点到圆心的距离大于与点到圆心的距离小于不可能同时发生,所以事件A与事件B互斥,则小波周末不在家看书为事件A+B,P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.答案:14.已知函数f(x)=-x2+ax-b.(1)若a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,
7、求上述函数有零点的概率;(2)若a,b都是从区间0,4任取的一个数,求f(1)0成立时的概率.解:(1)a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N=55=25(个).函数有零点的条件为=a2-4b0,即a24b.因为事件“a24b”包含(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共12个,所以函数f(x)有零点的概率为P=.(2)因为a,b都是从区间0,4上任取的一个数,f(1)=-1+a-b0,所以a-b1,此为几何概型,所以事件“f(1)0”的概率为P=.探究创新1
8、5.如图所示,已知AB是半圆O的直径,AB=8,M,N,P是将半圆圆周四等分的三个分点.(1)从A,B,M,N,P这5个点中任取3个点,求这3个点组成直角三角形的概率;(2)在半圆内任取一点S,求SAB的面积大于8的概率.解:(1)从A,B,M,N,P这5个点中任取3个点,一共可以组成10个三角形:ABM,ABN,ABP,AMN,AMP,ANP,BMN,BMP,BNP,MNP,其中是直角三角形的只有ABM,ABN,ABP,共3个,所以组成直角三角形的概率为.(2)如图所示,连接MP,取线段MP的中点D,则ODMP.易求得OD=2.当点S在线段MP上时,SABS=28=8,所以只有当点S落在阴影部分时,SAB的面积才能大于8,而S阴影=S扇形MOP-SOMP=42-42=4-8,所以由几何概型的概率公式得SAB的面积大于8的概率为=.