1、湖北省武汉市武昌区2015届高三元月调考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知全集为R，集合A=x|x0，B=x|1x2，则AB=（）Ax|x0Bx|1x0Cx|0x2D2（5分）如果复数（a+i）（1i）的模为，则实数a的值为（）A2BC2D3（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A12B24C40D724（5分）根据如下样本数据 x34567y4.02.50.50.52.0得到的回归方程为若a=7.9，则b的值为（）A1.4B1.4C1.2D1.25（5分）已知正方形ABCD
2、的边长为2，E为CD的中点，F为AD的中点，则=（）A0B1C2D46（5分）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面上用一平行于平面的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）AS圆S圆环BS圆=S圆环CS圆S圆环D不确定7（5分）函数f（x）=若f（1）+f（a）=2，则a的所有可能值为（）A1BC1，D1，8（5分）函数f（x）=2sinx（0）在区间上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么=（）ABC2D49（5分）设斜率
3、为的直线l与双曲线=1（a0，b0）交于不同的两点P、Q，若点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是（）AB2CD310（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，若函数y=f（x）a在区间10，10上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（）ABCD二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况如表所示：年级人数近视率小学350010%初中450030%高中200050%为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查
4、，则：（）样本容量为；抽取的高中生中，近视人数为12（5分）=13（5分）已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，则xy的取值范围是14（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为15（5分）以（1，3）为圆心，并且与直线3x4y6=0相切的圆的方程为16（5分）给出以下数对序列：（1，1）（1，2）（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）记第i行的第j个数对为aij，如a43=（3，2），则（）a54=；（）anm=17（5分）已知函数f（x）=x3（a1）x2+b2x，其中a1，2，3，4，b1，2，3，则函数f
5、（x）在R上是增函数的概率是三、解答题：本大题共5小题，共65分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（12分）已知a，b，c分别为ABC三内角A，B，C的对边，B=，c=8，cosC=求：（1）求b的值；（2）求ABC的面积19（12分）已知数列an满足a1=1，an+1=2an；数列bn满足b1=3，b2=6，且bnan为等差数列（）求数列an和bn的通项公式；（）求数列bn的前n项和Tn20（13分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动（）证明：ACD1E；（）若三棱锥B1A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成
6、的角21（14分）已知函数f（x）=1（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m0，求f（x）在m，2m上的最大值；（3）证明：nN*，不等式ln（）e22（14分）已知椭圆C：=1（ab0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1（）求椭圆C的标准方程；（）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（tR，t2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q（）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（）在（）的条件下，当最小时，求点T的坐标湖北省武汉市武昌区2015届高三元月调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给
7、出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知全集为R，集合A=x|x0，B=x|1x2，则AB=（）Ax|x0Bx|1x0Cx|0x2D考点：交集及其运算 专题：集合分析：直接利用交集运算得答案解答：解：A=x|x0，B=x|1x2，则AB=x|x0x|1x2=x|1x0故选：B点评：本题考查了交集及其运算，是基础的会考题型2（5分）如果复数（a+i）（1i）的模为，则实数a的值为（）A2BC2D考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出解答：解：复数（a+i）（1i）=a+1+（1a）i的模为，=，化为a2=4，解得a=2故选：C点评：本
8、题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题3（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A12B24C40D72考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：先由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用棱锥和长方体的体积公式，可得答案解答：解：由三视图得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥和长方体的组合体，长方体的长宽高分别为3，4，2，故长方体的体积为342=24，四棱锥的底面积为：34=12，高为62=4，故四棱锥的体积为：124=16，故组合体的体积V=24+16=40，故选：C点评：解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用
9、几何体的面积及体积公式解决4（5分）根据如下样本数据 x34567y4.02.50.50.52.0得到的回归方程为若a=7.9，则b的值为（）A1.4B1.4C1.2D1.2考点：线性回归方程 专题：概率与统计分析：利用公式求出b，a，即可得出结论解答：解：样本平均数=5，=1.9，样本数据中心点必在回归直线上，将=5，=1.9，代入得：1.9=5b+7.9，解得：b=1.2，故选：D点评：本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题5（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，F为AD的中点，则=（）A0B1C2D4考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用
10、分析：运用向量的加减运算及向量垂直的条件，即为数量积为0，即可得到所求值解答：解：=（）（）=（+）（）=0=0，故选A点评：本题考查平面向量的加减运算和数量积的性质，考查运算能力，属于基础题6（5分）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面上用一平行于平面的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）AS圆S圆环BS圆=S圆环CS圆S圆环D不确定考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据图形得出，S截面圆=（R
11、2d2），r=d，S圆环=（R2d2），即可判断解答：解：根据题意：半球的截面圆：r=，S截面圆=（R2d2），取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，r=d，S圆环=（R2d2），根据得出：S截面圆=S圆环，故选：B点评：本题考查了球有关的截面问题，判断图形结构，求出半径即可，属于中档题7（5分）函数f（x）=若f（1）+f（a）=2，则a的所有可能值为（）A1BC1，D1，考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法 专题：计算题分析：由分段函数的解析式容易得出，f（1）=e11=1，f（a）=1，然后在每一段上求函数的值为1时对应的a的值
12、即可解答：解：由题意知，当1x0时，f（x）=sin（x2）；当x0时，f（x）=ex1；f（1）=e11=1若f（1）+f（a）=2，则f（a）=1；当a0时，ea1=1，a=1；当1a0时，sin（x2）=1，x=（不满足条件，舍去），或x=所以a的所有可能值为：1，故答案为：C点评：本题考查分段函数中由函数值求对应的自变量的值的问题，需要在每一段上讨论函数的解析式，然后求出对应的自变量的值8（5分）函数f（x）=2sinx（0）在区间上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么=（）ABC2D4考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：由题意可得，sin（）=，故有=，从而求得
13、 的值解答：解：由题意可得y=sinx（0）在区间上单调递增，且在这个区间上的最大值是，sin（）=，=，=，故选：B点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，属于基础题9（5分）设斜率为的直线l与双曲线=1（a0，b0）交于不同的两点P、Q，若点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是（）AB2CD3考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设斜率为的直线l：y=x+t，代入双曲线方程，消去y，由题意可得，方程的两根分别为c，c则有t=0，代入c，得到方程，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求解答：解：设斜率为的直线l：
14、y=x+t，代入双曲线方程，消去y，可得，（b2a2）x2a2txa2t2a2b2=0，由于点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则有上式的两根分别为c，c则t=0，即有（b2a2）c2=a2b2，由于b2=c2a2，则有2c45a2c2+2a4=0，由e=，则2e45e2+2=0，解得e2=2（舍去），则e=故选：A点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题10（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，若函数y=f（x）a在区间10，10上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（）ABCD考点：函数零点的判
15、定定理 专题：函数的性质及应用分析：可采用数形结合的方法解决问题，因为f（x）是奇函数，只需判断a0时的满足题意的a的范围，然后即可解决问题解答：解：y=f（x）a在区间10，10上有10个零点（互不相同），即函数y=f（x）与y=g（x）=的图象在10，10上有10个不同的交点先研究a0时的情况，如图，当a=0时，g（x）=恰好与y=f（x）产生10个交点；当a0时，y=的图象是将y=向上平移a个单位，则在y轴右边，当g（9）1时，右边产生4个交点；同时y轴左边满足g（10）0时，左边产生6个交点这样共产生10个交点，即，解得0a同理，根据函数图象的对称性可知，当a0时，只需时满足题意综上，
16、当时，函数y=f（x）a在区间10，10上有10个零点（互不相同）故选C点评：本题考查了数形结合的方法研究函数的零点个数的问题，要注意参数变化时函数图象的变化规律属于中档题二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况如表所示：年级人数近视率小学350010%初中450030%高中200050%为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则：（）样本容量为200；抽取的高中生中，近视人数为20考点：分层抽样方法 专题：概率与统计分析：（）求出学
17、生总人数，利用抽样比求出样本容量（）利用学生的近视率直接求解高中学生近视人数解答：解：由题意可知学生总人数为：3500+4500+2000=10000，（）样本容量为：100002%=200；（）20002%=404050%=20故答案为：200；20点评：本题考查分层抽样的实际应用，基本知识的考查12（5分）=4考点：三角函数的化简求值 专题：计算题分析：由已知可得，利用二倍角正弦公式及两角差的正弦公式化简可得结果解答：解：=故答案为：4点评：本题主要基础知识的考查，考查了在三角函数的化简与求值中，综合运用二倍角正弦公式、两角和的正弦公式，要求考生熟练运用公式对三角函数化简13（5分）已知点
18、M的坐标（x，y）满足不等式组，则xy的取值范围是3，4考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可解答：解：作作出不等式组对应的平面区域如图：设z=xy，得y=xz表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，平移直线y=xz，当直线y=xz经过点C（4，0）时，直线y=xz的截距最小，此时z最大，此时zmax=4，当直线经过点A（0，3）时，此时直线y=xz截距最大，z最小此时zmin=03=33z4，故答案为：3，4点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决14（5分）阅读
19、如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为5050考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解答：解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=1222+3242+9921002的值，S=1222+3242+9921002=（12）（1+2）+（34）（3+4）+（99100）（99+100）=（1+2+3+4+99+100）=5050，故答案为：5050点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的
20、运行过程，以便得出正确的结论，是基础题15（5分）以（1，3）为圆心，并且与直线3x4y6=0相切的圆的方程为（x1）2+（y3）2=9考点：圆的切线方程 专题：直线与圆分析：以（1，3）为圆心，与直线3x4y6=0相切的圆的方程的半径r等于圆心到直线的距离d，由此能求出圆的方程解答：解：以（1，3）为圆心，与直线3x4y6=0相切的圆的方程的半径r等于圆心到直线的距离d，r=d=3，圆的方程为：（x1）2+（y3）2=9故答案为：（x1）2+（y3）2=9点评：本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用16（5分）给出以下数对序列：（1，1）（1，2
21、）（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）记第i行的第j个数对为aij，如a43=（3，2），则（）a54=（4，2）；（）anm=（m，nm+1）考点：归纳推理 专题：推理和证明分析：由前4行得到，每一行的第一个数对是（1，n），n为行数，接着的每一个数对前一个数是连续的自然数，后一个是依次减1的数，由此推出第n行的数对，即可得到（）、（）的结论，注意每一行中，第一个数是列数，两个数之和减1是行数解答：解：由前4行的特点，归纳可得：若anm=（a，b），则a=m，b=nm+1，a54=（4，54+1）=（4，2），anm=（m，nm+1），故答案为：（
22、） （4，2）；（）（m，nm+1）点评：本题主要考查归纳推理的思想方法，注意观察和分析数对的特点，是解决该类问题的关键17（5分）已知函数f（x）=x3（a1）x2+b2x，其中a1，2，3，4，b1，2，3，则函数f（x）在R上是增函数的概率是考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：函数f（x）在R上是增函数转化为f（x）0恒成立，即0解得a，b的一个关系式，一一列举出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可解答：解：f（x）=x22（a1）x+b2若函数f（x）在R上是增函数，则对于任意xR，f（x）0恒成立所以，=4（a1）24b20，即（a+b1）（ab1）0因为a+b
23、11，所以ab10，即ab1，则满足的条件有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，3），（3，2），（4，3）9个基本事件，总的基本事件有12种故函数f（x）在R上是增函数的概率P=故答案为：点评：考查利用导数研究函数的单调性，转化为恒成立问题求解，是导数与古典概型相结合的题目，新颖，体现了数形结合的思想，属中档题三、解答题：本大题共5小题，共65分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（12分）已知a，b，c分别为ABC三内角A，B，C的对边，B=，c=8，cosC=求：（1）求b的值；（2）求ABC的面积考点：余弦定理 专题：解三角形分析：（1
24、）首先，求解sinC=，然后，根据正弦定理，求解b的值即可；（2）首先，求解sinA，然后，利用三角形的面积公式求解即可解答：解：（1）cosC=，sinC=，sinC=，根据正弦定理，得，b=7，b的值为7（2）sinA=sin（B+C）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=，sinA=，S=bcsinA=6ABC的面积6点评：本题重点考查了余弦定理、正弦定理和三角形的面积公式等知识综合应用，属于中档题19（12分）已知数列an满足a1=1，an+1=2an；数列bn满足b1=3，b2=6，且bnan为等差数列（）求数列an和bn的通项公式；（）求数列bn的前n项和Tn考点
25、：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（）由题意知数列an是首项a1=1，公比q=2的等比数列，数列bnan的公差为d=2，由此能求出数列an和bn的通项公式（）由，利用分组求和法能求出数列bn的前n项和Tn解答：解：（）由题意知数列an是首项a1=1，公比q=2的等比数列，所以；因为b1a1=2，b2a2=4，所以数列bnan的公差为d=2所以bnan=（b1a1）+（n1）d=2+2（n1）=2n所以（6分）（），Tn=b1+b2+b3+bn=（2+4+6+2n）+（1+2+4+2n1）=n（n+1）+2n1（12分）点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中
26、档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用20（13分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动（）证明：ACD1E；（）若三棱锥B1A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角考点：异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：（）首先，连结BD，可以首先，证明AC平面B1BDD1，然后，得到ACD1E；（）首先，可以得到A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角，然后，根据，求解得到，A1D1E=60解答：解：（）如下图所示：连接BD，四边形ABCD是正方形，ACBD，四棱柱ABC
27、DA1B1C1D1是直棱柱，B1B平面ABCD，AC平面ABCD，B1BAC，AC平面B1BDD1D1E平面B1BDD1，ACD1E（），EB1平面A1B1C1D1，EB1=2ADA1D1，A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角在RtEB1D1中，求得D1A1平面A1ABB1，D1A1A1E在RtEB1D1中，得，A1D1E=60异面直线AD，D1E所成的角为60点评：本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题21（14分）已知函数f（x）=1（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m0，求f（x）在m，2m上的最大值；（3）证明：nN*，不等式ln（
28、）e考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题；综合题；分类讨论；转化思想分析：（1）利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；（2）利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；（3）利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质解答：解：（1）函数f（x）的定义域是：（0，+）由已知 令f（x）=0得，1lnx=0，x=e当0xe时，当xe时，函数f（x）在（0，e上单调递增，在e，+）上单调递减，（2）由（1）知函数f（x）在（0，e上单调递增，在e，+）上单调递减故当02
29、me即 时，f（x）在m，2m上单调递增，当me时，f（x）在m，2m上单调递减，当me2m，即 时（3）由（1）知，当x（0，+）时，在（0，+）上恒有 ，即 且当x=e时“=”成立，对x（0，+）恒有 ，即对nN*，不等式 恒成立点评：此题是个中档题本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，体现了等价转化的数学思想和分类讨论的思想，同时考查了学生的计算能力22（14分）已知椭圆C：=1（ab0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1（）求椭圆C的标准方程；（）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（tR，t2
30、）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q（）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（）在（）的条件下，当最小时，求点T的坐标考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由已知可得，由此能求出椭圆C的标准方程（）（）设直线PQ的方程为x=my+2将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得（m2+3）y2+4my2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出t=3（）T点的坐标为（3，m），|PQ|=由此能求出当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，1）解答：解：（）由已知可得，解得a2=6，b2=2所以椭圆C的标
31、准方程是（）（）由（）可得，F点的坐标为（2，0）由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为x=my+2将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得（m2+3）y2+4my2=0，其判别式=16m2+8（m2+3）0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，于是设M为PQ的中点，则M点的坐标为因为TFPQ，所以直线FT的斜率为m，其方程为y=m（x2）当x=t时，y=m（t2），所以点T的坐标为（t，m（t2），此时直线OT的斜率为，其方程为将M点的坐标为代入，得解得t=3（）由（）知T点的坐标为（3，m）于是，=所以=当且仅当，即m=1时，等号成立，此时取得最小值故当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，1）点评：本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，查满足条件的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、弦长公式的合理运用