1、 许 宝 禄（），北 京 人 其 兄 许 宝 驹、许 宝 均 为 专 家，姐 夫 俞 平 伯 是 著 名 的 文 学 家 他 文 学 修 养 很 深，用 语、写 作 都 很 精炼、准 确 入 清 华 大 学 数 学 系 学 习 时，老 师 有 熊 庆 来、孙 光 远、杨 武 之 等，一 起 学 习 的 有 华 罗 庚、柯 召 等 人 主 要 研 究 是 内 曼 皮 尔 逊 理 论、多元 统 计 分 析、概 率 论、组 合 数 学 等 领 域 许 宝 禄 被 公 认 为 在 数 理 统 计 和 概 率 论 方 面 是 第 一 个 具 有 国 际 声 望 的 中 国 数 学 家 许 宝 禄 还 被
2、世 界 公 认 为 多 元 统 计 分 析 的 奠 基 人 之 一 许 宝 禄 的 相 片 悬 挂 在 斯 坦 福 大 学 统 计 系 的 走 廊 上，与 世 界 著 名 的 统 计 学 家 并 列 实 验 操 作 题 题 型 特 点实 验 操 作 题 是 指 通 过 具 体 动 手 操 作 对 某 种 现 象 获 得 感 性 认识，再 利 用 数 学 知 识 进 行 思 考、探 索 和 解 决 的 一 类 问 题，这 类 问题 具 有 较 强 实 践 性 与 思 维 性，能 够 有 效 考 查 学 生 的 实 践 能 力、创新 意 识 和 直 觉 思 维 能 力、发 散 思 维 能 力 等
3、综 合 素 质 实 验 操 作 题 就 其 操 作 过 程 的 形 式 而 言，有 折 叠 与 剪 拼、平 移与 旋 转 等 多 种 变 换 操 作 在 操 作 中 观 察、探 索、发 现，手 脑 并 用 是这 类 题 的 基 本 特 征，让 学 生 在 动 手 做 的 过 程 中 体 验 数 学 结 论 与规 律 的 发 现 过 程，亲 自 体 验 问 题 情 境，研 究 问 题 情 趣，感 悟 数 学奥 妙 是 这 类 问 题 存 在 的 空 间 命 题 趋 势实 验 操 作 题 能 更 好 地 促 进 学 生 对 数 学 的 理 解，帮 助 他 们 提高 用 数 学 的 语 言、符 号
4、进 行 表 达 交 流 的 能 力 学 生 经 历“数 学 化”和“再 创 造”的 过 程，能 不 断 提 高 自 己 的 创 新 意 识 和 综 合 能 力，近年 来 备 受 中 考 命 题 者 的 青 睐 【例】（甘 肃 兰 州）如 图（），矩 形 纸 片 犃 犅 犆 犇，把 它沿 对 角 线 犅 犇 向 上 折 叠（）在 图（）中 用 实 线 画 出 折 叠 后 得 到 的 图 形；（要 求 尺 规 作图，保 留 作 图 痕 迹，不 写 作 法）（）折 叠 后 重 合 部 分 是 什 么 图 形？说 明 理 由【命 题 意 图 分 析】实 际 问 题 中 通 过 动 手 操 作，实 验
5、得 出 结 论，可 以 培 养 创 新 意 识，提 高 学 生 的 自 主 学 习 能 力 本 题 通 过 翻 折 变 换（折 叠 问 题）得 出 全 等 形，最 终 判 断 出 犅 犇 犉 是 等 腰 三 角 形【解 答】（）做 法 参 考：方 法 ：作 犅 犇 犌 犅 犇 犆，在 射 线 犇 犌 上 截 取 犇 犈 犇 犆，连结 犅 犈；方 法 ：作 犇 犅 犎 犇 犅 犆，在 射 线 犅 犎上 截 取 犅 犈 犅 犆，连 结 犇 犈；方 法 ：作 犅 犇 犌 犅 犇 犆，过 点 犅 作 犅 犎 犇 犌，垂 足 为 犈；方 法 ：作 犇 犅 犎 犇 犅犆，过 点 犇 作 犇 犌 犅 犎，垂
6、 足 为 犈；方 法 ：分 别 以 犇、犅 为 圆 心，犇 犆、犅 犆 的 长 为 半 径 画 弧，两 弧交 于 点 犈，连 结 犇 犈、犅 犈（做 法 合 理 均 可 得 分）犇 犈 犅 为 所 求 做 的 图 形 （）等 腰 三 角 形 证 明：犅 犇 犈 是 犅 犇 犆 沿 犅 犇 折 叠 而 成 的，犅 犇 犈 犅 犇 犆 犉 犇 犅 犆 犇 犅 四 边 形 犃 犅 犆 犇 是 矩 形，犃 犅 犆 犇 犃 犅 犇 犅 犇 犆 犉 犇 犅 犃 犅 犇 犅 犇 犉 是 等 腰 三 角 形【方 法 点 拨】（）根 据 折 叠 的 性 质，可 以 作 犅 犇 犉 犅 犇 犆，犈 犅 犇 犆 犅
7、 犇，则 可 求 得 折 叠 后 的 图 形（）由 折 叠 的 性 质，易 得 犉 犇 犅 犆 犇 犅，又 由 四 边 形 犃 犅犆 犇 是 矩 形，可 得 犃 犅 犆 犇，即 可 证 得 犉 犇 犅 犉 犅 犇，即 可 证 得 犉 犅 犇 是 等 腰 三 角 形【误 区 警 示】此 题 考 查 了 矩 形 的 性 质、等 腰 三 角 形 的 判 定，折 叠 的 性 质 以 及 尺 规 作 图，要 注 意 数 形 结 合 思 想 的 应 用 折 叠 后两 图 形 完 全 重 合，所 以 是 全 等 形一、选 择 题（第 题）（湖 北 武 汉）如 图，矩 形 犃 犅犆 犇 中，点 犈在 边 犃
8、犅 上，将 矩 形 犃 犅犆 犇 沿 直 线 犇 犈 折 叠，点 犃 恰 好 落 在 边 犅犆 的 点 犉 处 若 犃 犈 ，犅 犉 ，则 犆 犇 的 长 是（）（贵 州 遵 义）把 一 张 正 方 形 纸 片 如 图（）、图（）对 折 两次 后，再 如 图（）挖 去 一 个 三 角 形 小 孔，则 展 开 后 的 图 形是（）（第 题）陈 省 身 数 学 奖 为 我 国 数 学 界 最 高 奖，授 予 做 出 突 出 数 学 成 就 的 我 国 数 学 工 作 者，以 中 青 年 为 主 从 年 开 始，每 年 颁 发 一 次，奖 金额 为 人 民 币 万 元，由 香 港 亿 利 达 工 业
9、 发 展 集 团 有 限 公 司 提 供 陈 省 身 数 学 奖 评 选 委 员 会 主 任 与 委 员 都 是 知 名 数 学 家 根 据 陈 省 身 数 学 奖 奖 励 条 例，得 奖 人 限 于 在 国 内 从 事 数 学 研 究 或 数 学 工 作 的 数 学 工 作 者，对 数 学 的 基 础 理 论 或 应 用 研 究 做 出 了 主 要的 创 造 性 贡 献 各 研 究 单 位、高 等 院 校、全 国 性 学 术 团 体 或 由 五 名 教 授 联 名 均 可 推 荐 报 奖 人 （上 海）如 图，在 犃 犅犆 中，犆 ，犃 ，犅犆 ，点 犇 在 犃犆 上，将 犃 犇 犅 沿 直
10、 线 犅 犇 翻 折 后，将 点 犃 落 在 点 犈处，如 果 犃 犇 犈 犇，那 么 线 段 犇 犈 的 长 为（）槡 槡 槡 （第 题）（第 题）（四 川 资 阳）如 图，在 犃 犅 犆 中，犆 ，将 犃 犅 犆 沿直 线 犕 犖翻 折 后，顶 点 犆 恰 好 落 在 犃 犅边 上 的 点 犇处，已 知犕 犖 犃 犅，犕 犆 ，犖 犆 槡，则 四 边 形 犕 犃 犅 犖的 面 积 是（）槡 槡 槡 槡 （江 苏 常 州）如 图 所 示，如 果 将 矩 形 纸 沿 虚 线 对 折 后，沿 虚 线 剪 开，剪 出 一 个 直 角 三 角 形，展 开 后 得 到 一 个 等 腰 三角 形 则 展
11、 开 后 三 角 形 的 周 长 是（）（第 题）槡 槡 （陕 西）如 下 图，把 一 个 边 长 为 的 正 方 形 经 过 三 次 对折 后 沿 图（）中 平 行 于 犕 犖 的 虚 线 剪 下，得 图（），它 展 开 后得 到 的 图 形 的 面 积 为 ，则 犃 犖 的 长 为（）（第 题）二、填 空 题 （四 川 达 州）将 矩 形 纸 片 犃 犅 犆 犇，按 如 图 所 示 的 方 式 折叠，点 犃、点 犆 恰 好 落 在 对 角 线 犅 犇上，得 到 菱 形 犅 犈 犇 犉 若犅 犆 ，则 犃 犅 的 长 为 （第 题）（江 苏 南 京）如 图，将 的 犃 犗 犅 按 图 摆 放
12、 在 一 把 刻 度尺 上，顶 点 犗 与 尺 下 沿 的 端 点 重 合，犗 犃 与 尺 下 沿 重 合，犗 犅 与 尺上 沿 的 交 点 犅 在 尺 上 的 读 数 为 ，若 按 相 同 的 方 式 将 的 犃 犗犆 放 置 在 该 尺 上，则 犗犆 与 尺 上 沿 的 交 点 犆 在 尺 上 的 读 数约 为 （结 果 精 确 到 ，参 考 数 据：，）（第 题）（福 建 福 州）如 图，将 一 张 正 方 形 纸 片 剪 成 四 个 小 正 方 形，得 到 个 小 正 方 形，称 为 第 一 次 操 作；然 后，将 其 中 的 一 个 正 方 形再 剪 成 四 个 小 正 方 形，共
13、得 到 个 小 正 方 形，称 为 第 二 次 操 作；再将 其 中 的 一 个 正 方 形 再 剪 成 四 个 小 正 方 形，共 得 到 个 小 正 方形，称 为 第 三 次 操 作 根 据 以 上 操 作，若 要 得 到 个 小 正 方形，则 需 要 操 作 的 次 数 是 （第 题）（第 题）（山 西 模 拟）如 图，把 一 张 长 方 形 的 纸 片 按 如 图 所 示 的方 式 折 叠，犈 犕、犉 犕为 折 痕，折 叠 后 的 点 犆 落 在 犕 犅 上 或犕 犅 的 延 长 线 上，那 么 犈 犕 犉 的 度 数 是 三、解 答 题 （山 西）实 践 与 操 作：如 图（）是 以
14、 正 方 形 两 顶 点 为 圆心，边 长 为 半 径，画 两 段 相 等 的 圆 弧 而 成 的 轴 对 称 图 形，图（）是 以 图（）为 基 本 图 案 经 过 图 形 变 换 拼 成 的 一 个 中 心对 称 图 形（）请 你 仿 照 图（），用 两 段 相 等 圆 弧（小 于 或 等 于 半 圆），在图（）中 重 新 设 计 一 个 不 同 的 轴 对 称 图 形（）以 你 在 图（）中 所 画 的 图 形 为 基 本 图 案，经 过 图 形 变 换 在图（）中 拼 成 一 个 中 心 对 称 图 形（）（）（）（）（第 题）（四 川 巴 中）（）如 图（），在 每 个 小 方 格
15、都 是 边 长 为 个 单 位 长 度 的 正 方 形 方 格 纸 中 有 犗 犃 犅，请 将 犗 犃 犅 绕 点犗 顺 时 针 旋 转 ，画 出 旋 转 后 的 犗 犃犅；（）折 纸：有 一 张 矩 形 纸 片 犃 犅 犆 犇（如 图（），要 将 点 犇 沿 某条 直 线 翻 折 ，恰 好 落 在 犅 犆 边 上 的 点 犇 处，请 在 图 中作 出 该 直 线 年 高 斯 发 表 算 术 研 究，这 部 象 征 近 代 数 论 起 点 的 巨 著 同 时 也 打 开 了 数 学 新 世 纪 的 大 门 世 纪 前 的 数 论 主 要 是 一 些 漂 亮但 却 孤 立 的 成 果，高 斯 一
16、 方 面 将 这 些 成 果 系 统 化、对 问 题 及 方 法 加 以 分 类，同 时 开 辟 了 全 新 的 课 题 及 方 法 他 树 立 了 严 格 证 明 的 典 范，认 为 找 出 简 单 漂 亮 的 证 明 有 助 于 掌 握 问 题 的 实 质 并 发 现 不 同 问 题 的 联 系（典 型 的 是 他 给 出 了 二 次 互 反 律 的 七 个 证 明）高 斯 的 观 点 代 表 了 世 纪 对 数 学 严 密 性 追 求 的 时 代 精 神，也 指 出 了 纯 粹 数 学 发 展 的 一 条 途 径 同 年 高 斯 依 据 少 量 观 测 数 据，运用 误 差 分 析 等
17、方 法 计 算 出 谷 神 星 的 轨 道，准 确 地 预 报 了 这 颗 小 行 星 在 天 空 出 现 的 时 刻，轰 动 了 科 学 界（）（）（第 题）（湖 南 怀 化）如 图（），四 边 形 犃 犅 犆 犇 是 边 长 为 槡 的正 方 形，长 方 形 犃 犈 犉 犌 的 宽 犃 犈 ，长 犈 犉 槡 将 长 方形 犃 犈 犉 犌 绕 点 犃 顺 时 针 旋 转 得 到 长 方 形 犃 犕 犖 犎（如 图（），这 时 犅 犇 与 犕 犖相 交 于 点 犗（）求 犇 犗 犕 的 度 数；（）在 图（）中，求 犇、犖 两 点 间 的 距 离；（）若 把 长 方 形 犃 犕 犖 犎 绕 点
18、 犃再 顺 时 针 旋 转 得 到 长 方形 犃 犚 犜 犣，请 问 此 时 点 犅 在 矩 形 犃 犚 犜 犣 的 内 部、外 部、还是 边 上？并 说 明 理 由（）（）（第 题）（四 川 成 都）如 图，长 方 形 纸 片 犃 犅 犆 犇 中，犃 犅 ，犃 犇 ，按 下 列 步 骤 进 行 裁 剪 和 拼 图：第 一 步：如 图（），在 线 段 犃 犇 上 任 意 取 一 点 犈，沿 犈 犅、犈 犆 剪下 一 个 三 角 形 纸 片 犈 犅 犆（余 下 部 分 不 再 使 用）；第 二 步：如 图（），沿 三 角 形 犈 犅 犆 的 中 位 线 犌 犎将 纸 片 剪 成两 部 分，并 在
19、 线 段 犌 犎上 任 意 取 一 点 犕，线 段 犅 犆 上 任 意 取一 点 犖，沿 犕 犖 将 梯 形 纸 片 犌 犅 犆 犎剪 成 两 部 分；第 三 步：如 图（），将 犕 犖左 侧 纸 片 绕 点 犌按 顺 时 针 方 向 旋转 ，使 线 段 犌 犅 与 犌 犈 重 合，将 犕 犖 右 侧 纸 片 绕 点 犎按逆 时 针 方 向 旋 转 ，使 线 段 犎 犆 与 犎 犈 重 合，拼 成 一 个 与三 角 形 纸 片 犈 犅 犆 面 积 相 等 的 四 边 形 纸 片（注：裁 剪 和 拼 图 过 程 均 无 缝 且 不 重 叠）求 拼 成 的 这 个 四 边 形 纸 片 的 周 长
20、的 最 小 值 与 最 大 值（第 题）（四 川 南 充）在 犘 犗 犙 中，犗 犘 犗 犙 ，犕是 犘 犙中 点，把 一 三 角 尺 的 直 角 顶 点 放 在 点 犕处，以 犕为 旋 转 中心 旋 转 三 角 尺，三 角 尺 的 两 直 角 边 与 犘 犗 犙 的 两 直 角 边 分别 交 于 点 犃、犅，（）求 证：犕 犃 犕 犅；（）连 结 犃 犅，探 究：在 旋 转 三 角 尺 的 过 程 中，犃 犗 犅 的 周 长是 否 存 在 最 小 值，若 存 在，求 出 最 小 值；若 不 存 在 请 说 明理 由（第 题）（贵 州 铜 仁）某 市 计 划 在 新 竣 工 的 矩 形 广 场
21、 的 内 部 修建 一 个 音 乐 喷 泉，要 求 音 乐 喷 泉 犕到 广 场 的 两 个 入 口 犃、犅的 距 离 相 等，且 到 广 场 管 理 处 犆 的 距 离 等 于 犃和 犅 之 间 距离 的 一 半，犃、犅、犆 的 位 置 如 图 所 示，请 在 原 图 上 利 用 尺 规 作图 作 出 音 乐 喷 泉 犕的 位 置（要 求：不 写 已 知、求 作、作 法 和结 论，保 留 作 图 痕 迹，必 须 用 铅 笔 作 图）（第 题）（浙 江 湖 州 长 兴 实 验 中 学 模 拟）某 公 司 销 售 一 种 新 型节 能 产 品，现 准 备 从 国 内 和 国 外 两 种 销 售
22、方 案 中 选 择 一 种 进行 销 售 若 只 在 国 内 销 售，销 售 价 格 狔（元 件）与 月 销 量 狓（件）的 函 数关 系 式 为 狔 狓 ，成 本 为 元 件，无 论 销 售 多少，每 月 还 需 支 出 广 告 费 元，设 月 利 润 为 狑 内（元）（利 润 销 售 额 成 本 广 告 费）若 只 在 国 外 销 售，销 售 价 格 为 元 件，受 各 种 不 确 定 因 素影 响，成 本 为 犪 元 件（犪 为 常 数，犪 ），当 月 销 量 为狓（件）时，每 月 还 需 缴 纳 狓 元 的 附 加 费，设 月 利 润 为狑 外（元）（利 润 销 售 额 成 本 附 加
23、 费）（）当 狓 时，狔 元 件，狑 内 元；（）求 出 狑 外 与 狓 间 的 函 数 关 系 式（用 含 犪 的 式 子 表 示，不 必写 狓 的 取 值 范 围）；（）当 狓 为 何 值 时，在 国 内 销 售 的 月 利 润 最 大？（）如 果 某 月 要 将 件 产 品 全 部 销 售 完，请 你 通 过 分 析 犪的 取 值，帮 公 司 决 策 选 择 在 国 内 还 是 在 国 外 销 售 才 能 使所 获 月 利 润 较 大？（北 京 怀 柔 一 模）等 腰 犃 犅 犆，犃 犅 犃 犆 ，犅 犃 犆 ，犘 为 犅 犆 的 中 点，小 亮 拿 着 角 的 透 明 三 角 板，使
24、角 的 顶 点 落 在 点 犘，三 角 板 绕 点 犘 旋 转（）如 图（），当 三 角 板 的 两 边 分 别 交 犃 犅、犃 犆 于 点 犈、犉 时，求 证：犅 犘 犈 犆 犉 犘；（）操 作：将 三 角 板 绕 点 犘 旋 转 到 图（）情 形 时，三 角 板 的 两边 分 别 交 犅 犃 的 延 长 线、边 犃 犆 于 点 犈、犉 探 究 ：犅 犘 犈 与 犆 犉 犘 还 相 似 吗？探 究 ：连 结 犈 犉，犅 犘 犈 与 犘 犉 犈 是 否 相 似？请 说 明理 由 设 犈 犉 犿，犈 犘 犉 的 面 积 为 犛，试 用 犿 的 代 数 式 表 示 犛（）（）（第 题）（北 京 大
25、 兴 区 模 拟）平 面 内 有 一 等 腰 直 角 三 角 板（犃 犆 犅 ）和 一 直 线 犕 犖 过 点 犆 作 犆 犈 犕 犖 于 点 犈，过点 犅 作 犅 犉 犕 犖 于 点 犉 当 点 犈 与 点 犃 重 合 时（如 图（），易证：犃 犉 犅 犉 犆 犈（）当 三 角 板 绕 点 犆 顺 时 针 旋 转 至 图（）的 位 置 时，上 述 结论 是 否 仍 然 成 立？若 成 立，请 给 予 证 明；若 不 成 立，请 说明 理 由；（）当 三 角 板 绕 点 犃顺 时 针 旋 转 至 图（）的 位 置 时，线 段犃 犉、犅 犉、犆 犈 之 间 又 有 怎 样 的 数 量 关 系，请
26、 直 接 写 出 你 的猜 想，不 需 证 明（）（）（）（第 题）实 验 操 作 题 解 析 犇 犈 犉 由 犇 犈 犃 翻 折 而 成，犈 犉 犃 犈 在 犅 犈 犉 中，犈 犉 ，犅 犉 ，犅 犈 犈 犉 犅 犉槡 槡 犃 犅 犃 犈 犅 犈 四 边 形 犃 犅 犆 犇 是 矩 形，犆 犇 犃 犅 解 析 动 手 操 作 一 下 即 可 解 析 在 犃 犅 犆 中，犆 ，犃 ，犅 犆 ，犃 犆 犅 犆 犃 槡 将 犃 犇 犅 沿 直 线 犅 犇翻 折 后，将 点 犃 落 在 点 犈 处，犃 犇 犅 犈 犇 犅，犇 犈 犃 犇 犃 犇 犈 犇，犆 犇 犈 犃 犇 犈 犈 犇 犅 犃 犇 犅
27、 犆 犇 犅 犈 犇 犅 犆 犇 犈 犆 ，犆 犅 犇 犆 犇 犅 犆 犇 犅 犆 犇 犈 犃 犇 犃 犆 犆 犇槡 解 析 首 先 连 结 犆 犇，交 犕 犖 于 犈，由 将 犃 犅 犆 沿 直 线犕 犖 翻 折 后，顶 点 犆 恰 好 落 在 犃 犅边 上 的 点 犇处，即 可 得犕 犖 犆 犇，且 犆 犈 犇 犈，又 由 犕 犖 犃 犅，易 得 犆 犕 犖 犆 犃 犅，根 据 相 似 三 角 形 的 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方，相似 三 角 形 对 应 高 的 比 等 于 相 似 比，即 可 得 犛 犆 犕 犖犛 犆犃 犅犆 犈（）犆 犇 ，又 由 犕 犆 ，犖 犆槡 ，
28、即 可 求 得 四 边 形犕 犃 犅 犖 的 面 积 解 析 此 直 角 三 角 形 斜 边 为 槡槡，等 腰 三 角 形 周 长 为 （槡 ）槡 解 析 设 沿 犕 犖 平 行 的 虚 线 长 为 狓，则 犃 犖 狓 所以 狓 ，得 狓 ，即 犃 犖 槡 解 析 由 折 叠 知 犇 犅 犆 ，犆 犇犅 犆 犇 犅 犆 犃 犅 犆 犇 槡槡 解 析 过 点 犅、犆 分 别 向 犗 犃作 垂 线 犅 犈、犆 犉，则 犅 犈 犗 犅 ，犆 犉 犅 犈 又 犆 犉犗 犉 ，犗 犉 解 析 第 一 次 ，第 二 次 ，第 三 次 ，则 第 狀 次 有（狀 ）个 正 方 形，令 狀 ，得 狀 解 析 犅
29、 犕 犈 犅 犕 犈，犆 犕 犉 犅 犕 犉，又 犅 犕 犈 犅 犕 犈 犆 犕 犉 犅 犕 犉 ，犈 犕 犉 此 题 为 开 放 性 试 题，答 案 不 唯 一，只 要 符 合 题 目 要 求 即 可给 分 如 图：（）（）（第 题）如 图，犗 犃犅 和 直 线 犕 犖为 所 求 图 形（）（）（第 题）（）设 犕 犖 与 犃 犅 的 交 点 为 犙 犕 犃 犙 ，犃 犕 犙 ，犃 犙 犕 犗 犙 犅 又 犗 犅 犙 ，犇 犗 犕 犗 犙 犅 犗 犅 犙 （）正 方 形 犃 犅 犆 犇 的 边 长 为槡 ，犇 犅 如 图，连 结 犇 犖、犃 犖，设 犃 犖 与 犅 犇的 交 点 为 犓 长
30、方 形 犃 犕 犖 犎 宽 犃 犕 ，长 犕 犖 槡，犃 犖 ，故 犃 犖 犕 犇 犗 犕 ，犓 犗 犖 犗 犓 犖 ，犃 犖 犇 犅 犃 犓 是 等 腰 三 角 形 犃 犅 犇斜 边 犇 犅 上 的 中 线 犃 犓 犇 犓 犇 犅 在 犇 犖 犓 中，犇 犖 犇 犓 犓 犖槡 槡 故 犇、犖 两 点 间 的 距 离 为 （）点 犅 在 矩 形 犃 犚 犜 犣 的 外 部 理 由 如 下：由 题 意 知 犃 犚 ，设 犃 犅 与 犚 犜 的 交 点 为 犘，如 图（），则 犘 犃 犚 ，在 犃 犚 犘 中，犘 犃 犚 犃 犚犃 犘，犃 犘 槡 犃 犅槡槡 槡，即 犃 犅 犃 犘，点 犅 在 矩
31、 形 犃 犚 犜 犣 的 外 部（）（）（第 题）画 出 第 三 步 剪 拼 之 后 的 四 边 形 犕 犖 犖 犕 的 示 意 图，如图（）所 示 图 中，犖 犖 犈 犖 犈 犖 犖 犅 犖 犆 犅 犆，犕 犕 犕 犌 犌 犕 犕 犎 犕 犎 （犌 犕 犕 犎）犌 犎 犅 犆（三 角 形 中 位 线 定 理），又 犕 犕 犖 犖 ，四 边 形 犕 犖 犖 犕 是 一 个 平 行 四 边 形，其 周 长 为 犖 犖 犕 犖 犅 犆 犕 犖 犅 犆 为 定 值，四 边 形 的 周 长 取 决 于 犕 犖 的 大 小 如 图（）所 示，是 剪 拼 之 前 的 完 整 示 意 图 过 点 犌、犎 作
32、 边 犅 犆 的 平 行 线，分 别 交 犃 犅、犆 犇 于 点 犘、犙，则 四 边 形 犘 犅 犆 犙 是 一 个 矩 形，这 个 矩 形 是 矩 形 犃 犅 犆 犇 的一 半 犕是 线 段 犘 犙上 的 任 意 一 点，犖是 线 段 犅 犆 上 的 任意 一 点，根 据 垂 线 段 最 短，得 到 犕 犖的 最 小 值 为 犘 犙与 犅 犆平 行线 之 间 的 距 离，即 犕 犖 最 小 值 为 ；而 犕 犖 的 最 大 值 等 于 矩 形 对 角 线 的 长 度，即犘 犅 犅 犆槡 槡槡 （）四 边 形 犕 犖 犖 犕 的 周 长 犅犆 犕 犖 犕 犖，四 边 形犕 犖 犖 犕 周 长
33、的 最 小 值 为 （）最 大 值 为槡 （槡 ）（）（）（第 题）（）连 结 犗 犕 犘 犗 犙 中，犗 犘 犗 犙 ，犕 是 犘 犙 的 中 点，犗 犕 犘 犕 犘 犙槡 ，犘 犗 犕 犅 犗 犕 犘 犘 犕 犃 犃 犕 犗 犗 犕 犅 犃 犕 犗，犘 犕 犃 犗 犕 犅，犘 犕 犃 犗 犕 犅 犕 犃 犕 犅（）犃 犗 犅 的 周 长 存 在 最 小 值，理 由：犘 犕 犃 犗 犕 犅，犘 犃 犗 犅 犗 犃 犗 犅 犗 犃 犘 犃 犗 犘 令 犗 犃 狓，犃 犅 狔，则 狔 狓 （狓）狓 狓 （狓 ）当 狓 时，狔 有 最 小 值 ，从 而 狔 槡 故 犃 犗 犅 的 周 长 存 在
34、最 小 值，其 最 小 值 是槡 如 图：（第 题）（）（）狑 外 狓 （犪）狓（）当 狓 （）时，狑 内 最 大（）当 狓 时，狑 内 ，狑 外 犪 若 狑 内 狑 外，则 犪 ；若 狑 内 狑 外，则 犪 ；若 狑 内 狑 外，则 犪 所 以，当 犪 时，选 择 在 国 外 销 售；当 犪 时，在 国 外 和 国 内 销 售 都 一 样；当 犪 时，选 择 在 国 内 销 售 （）因 为 犅 犅 犈 犘 犈 犘 犆，而 犈 犘 犆 犈 犘 犉 犉 犘 犆，犅 犈 犘 犉 ，所 以 犅 犈 犘 犉 犘 犆 又 犅 犆 ，所 以 犅 犘 犈 犆 犉 犘（）相 似 相 似 理 由：由 犅 犘 犈
35、 与 犆 犉 犘 相 似 可 得犅 犈犘 犆 犘 犈犘 犉，即 犅 犈犘 犅 犘 犈犘 犉，而 犅 犈 犘 犉 ，所 以 犅 犘 犈 犘 犉 犈 由 犅 犘 犈 与 犘 犉 犈 相 似，得 犅 犘犘 犉 犘 犈犈犉，即 犘 犈 犘 犉 槡 犿 过 犉 作 犘 犈 垂 线，可 知 垂 线 段 长 为 犘 犉 所 以 犛 犘 犉 犘 犈槡 犿（犿 ）（）上 述 结 论 仍 然 成 立 如 图，过 点 犅 作 犅 犇 犆 犈 于 点 犇（第 题）犆 犈 犕 犖，犆 犇 犅 犃 犈 犆 犃 犆 犈 犆 犃 犈 ，犃 犆 犈 犅 犆 犇 ，犆 犃 犈 犅 犆 犇 又 犃 犆 犅 犆，犃 犆 犈 犆 犅 犇 犆 犈 犅 犇 犅 犇 犈 犇 犈 犉 犅 犉 犈 ，四 边 形 犅 犇 犈 犉 是 矩 形 犈 犉 犅 犇 犆 犈，犅 犉 犇 犈 犃 犉 犅 犉 犃 犈 犈 犉 犇 犈 犆 犇 犆 犈 犇 犈 犆 犈（）线 段 犃 犉、犅 犉、犆 犈 之 间 的 数 量 关 系 为：犃 犉 犅 犉 犆 犈
