1、31.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)学习目标 1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法知识点一 两角和的余弦公式思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？答案 用 代换 cos()cos cos sin sin 中的 便可得到梳理公式cos()cos cos sin sin 简记符号C()使用条件，都是任意角记忆口决：“余余正正，符号相反”知识点二 两角和与差的正弦公式思考 1 如何利
2、用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？答案 sin()cos2cos2 cos2 cos sin2 sin sin cos cos sin.思考 2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？答案 用 代换，即可得 sin()sin cos cos sin.梳理内容两角和的正弦两角差的正弦简记符号S()S()公式形式sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin 记忆口诀：“正余余正，符号相同”1不存在角，使得 cos()cos cos sin sin.()提示 如 0，cos()cos 01，cos cos sin sin 1.2任意角，都有
3、 sin()sin cos cos sin.()提示 由两角和的正弦公式知结论正确3存在角，使 sin()sin cos cos sin.()提示 由两角差的正弦公式知不存在角，使 sin()sin cos cos sin.4存在角，使 sin()sin cos cos sin.()提示 如 0 时，sin()0，sin cos cos sin 0.类型一 给角求值例 1(1)(2017衡水高一检测)已知角 的终边经过点(3,4)，则 sin4 的值为()A.25B 25C.210D 210考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值答案 C解析 因为角 的终边经过点(3,4)
4、，则 sin 45，cos 35，所以 sin4 sin cos 4cos sin 445 22 35 22 210.(2)计算：sin 14cos 16sin 76cos 74.考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值解 原式sin 14cos 16sin(9014)cos(9016)sin 14cos 16cos 14sin 16sin(1416)sin 3012.反思与感悟 解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和
5、或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式跟踪训练 1 求值：sin 7cos 15sin 8cos 7sin 15sin 8.考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值答案 2 3解析 原式sin158cos 15sin 8cos158sin 15sin 8sin 15cos 8cos 15sin 8cos 15sin 8cos 15cos 8sin 15sin 8sin 15sin 8sin 15cos 8cos 15cos 8sin 15cos 15sin4530cos45306 246 242 3.类型二 给值求值例 2 已
6、知 sin34 513，cos4 35，且 0434，求 cos()考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值解 0434，34 34，240.又sin34 513，cos4 35，cos34 1213，sin4 45.cos()sin2sin34 4sin34 cos4 cos34 sin4 513351213 45 3365.反思与感悟(1)给值(式)求值的策略当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(2)给值求角本质上为给值求值
7、问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解跟踪训练 2 已知 cosx6 35，x(0，)，则 sin x 的值为()A.4 3310B.4 3310C.12D.32考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值答案 B解析 由题意得 x66，2，所以 sinx6 45，所以 sin xsinx6 6 sinx6 cos 6cosx6 sin 645 32 35124 3310.类型三 辅助角公式例 3(1)求值：cos 12 3sin 12.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用辅助角公式化简求值答案 2解析 原式212cos 12 32 sin 12 2
8、sin 4 2.(2)当函数 ysin x 3cos x(0 x2)取得最大值时，x.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用辅助角公式化简求值答案 56解析 y2sinx3，0 x2，3x353，当 x32，即 x56 时，ymax2.反思与感悟 一般地，对于 asin bcos 形式的代数式，可以提取 a2b2，化为 Asin(x)的形式，公式 asin bcos a2b2sin()(或 asin bcos a2b2cos()称为辅助角公式利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值跟踪训练 3 sin 12 3cos 12.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用辅助角公式化简求值
9、答案 2解析 原式212sin 12 32 cos 122cos3sin 12sin 3cos 122sin 12cos 3cos 12sin32sin123 2sin4 2.1sin 7cos 37sin 83sin 37的值为()A 32B12C.12D.32考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式化简答案 B解析 原式sin 7cos 37cos 7sin 37sin(30)sin 3012.2计算 2cos 12 6sin 12的值是()A.2B2C2 2D.22考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式化简答案 B解析 2cos 12 6sin 122
10、212cos 12 32 sin 122 2sin 6cos 12cos 6sin 122 2sin6 12 2 2sin 42.3已知锐角，满足 sin 2 55，cos 1010，则.考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求角答案 34解析，为锐角，sin 2 55，cos 1010，cos 55，sin 3 1010.sin()sin cos cos sin 2 55 1010 55 3 1010 22.又04，34.4.sin 50sin 20cos 30cos 20.考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式化简答案 12解析 原式sin2030sin
11、 20cos 30cos 20sin 20cos 30cos 20sin 30sin 20cos 30cos 20cos 20sin 30cos 20sin 3012.5求函数 f(x)sin xcosx6 的值域考点 两角和与差的正弦公式题点 两角和与差的正弦公式的综合应用解 f(x)sin x32 cos x12sin x32sin x 32 cos x 3sinx6，故函数 f(x)的值域为 3，31公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C()以代换C()诱导公式S()以代换S()(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式 C()，C()可记为“同名相乘，符号反”；对于公式 S()，
12、S()可记为“异名相乘，符号同”(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式 C()，C()，S()，且公式 sin()sin cos cos sin，角，的“地位”不同也要特别注意2应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如 1sin2cos2，1sin 90，12cos 60，32 sin 60等，再如：0，12，22
13、，32 等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.一、选择题1sin 20cos 10cos 160sin 10等于()A 32B.32C12D.12考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式化简答案 D解析 sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 3012.2已知 2，sin4 35，则 sin 等于()A.210B.7 210C 210或7 210D7 210考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值答案 B解析 由 2，得34 454，所以 cos4 1sin241 3524
14、5.所以 sin sin 4 4sin4 cos 4cos4 sin 4 22 3545 7 210，故选 B.3(2017江西上饶高一期末考试)已知 cos()35，sin 513，且 0，2，2，0，则 sin 等于()A.3365B.5665C3365D5665考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值答案 A解析 02，20，0.又 cos()35，sin()1cos245.20，cos 0，由(sin cos)212sin cos 169.可得 sin cos 43.解得 sin 4 26，cos 246.因为 cos 12cos34 cos 3cos 4sin 3
15、sin 4 2 64，sin 12sin34 sin 3cos 4cos3sin4 6 24，则 sin 12 sin cos 12cos sin 124 26 6 24 246 6 242 2 36.6(2017安徽马鞍山模考)函数 f(x)sinx4 sinx4 是()A周期为 的偶函数B周期为 2 的偶函数C周期为 的奇函数D周期为 2 的奇函数考点 两角和与差的正弦公式题点 两角和与差的正弦公式的综合应用答案 B解析 因为 f(x)sinx4 sinx4 sin xcos 4cos xsin 4sin xcos 4cos xsin 4 2cos x，所以函数 f(x)的最小正周期为21
16、 2.又 f(x)2cos(x)2cos xf(x)，所以函数 f(x)为偶函数7已知 cos6 sin 4 35，则 sin76 的值为()A2 35B.2 35C45D.45考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值答案 C解析 cos6 sin 4 35，cos cos 6sin sin 6sin 4 35，32 cos 32sin 4 35，即12cos 32 sin 45，sin6 45.sin76 sin6 45.二、填空题8(2017全国)函数 f(x)2cos xsin x 的最大值为考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用辅助角公式化简求值答案 5解析
17、 f(x)2cos xsin x 52 55 cos x 55 sin x，设 sin 2 55，cos 55，则 f(x)5sin(x)，函数 f(x)2cos xsin x 的最大值为 5.9sin 15sin 75的值是考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值答案 62解析 sin 15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos 30 62.10.sin 27cos 45sin 18cos 27sin 45sin 18.考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式化简答案 1解析 原式sin4518cos 45sin 18cos4
18、518sin 45sin 18sin 45cos 18cos 45sin 18cos 45sin 18cos 45cos 18sin 45sin 18sin 45sin 18tan 451.11已知 sinx3 33，则 cos xcosx3.考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值答案 1解析 因为 sinx3 33，所以 cos xcosx3 cos x12cos x 32 sin x32cos x 32 sin x 332 cos x12sin x 3sinx3 1.三、解答题12已知234，cos()1213，sin()35，求 sin 2 的值考点 两角和与差的正
19、弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值解 因为234，所以 04，0，所以 02.所以 sin 1cos22 55，cos()1sin23 1010，sin(2)sin()sin cos()cos sin()2 55 3 1010 55 1010 7 210.(2)sin sin()sin cos()cos sin()2 55 3 1010 55 1010 22.又因为 0，2，所以 4.四、探究与拓展14定义运算a bc d adbc.若cos 17，sin sin cos cos 3 314，02，则.考点 两角和与差的正弦公式题点 两角和与差的正弦公式的综合应用答案 3解析 由题意，得
20、 sin cos cos sin 3 314，sin()3 314.02，cos()1 27196 1314.又由 cos 17，得 sin 4 37.cos cos()cos cos()sin sin()1713144 37 3 314 12，3.15已知函数 f(x)Asinx3，xR，且 f512 3 22.(1)求 A 的值；(2)若 f()f()3，0，2，求 f6.考点 两角和与差的正弦公式题点 两角和与差的正弦公式的综合应用解(1)由 f512 Asin5123Asin 34 22 A3 22，可得 A3.(2)f()f()3，则 3sin3 3sin3 3，即 312sin 32 cos 332 cos 12sin 3，故 sin 33.因为 0，2，所以 cos 63，所以 f6 3sin633sin2 3cos 6.