1、考前冲刺三多选题、开放探究型解答题突破2020年新高考山东、海南卷及北京卷数学试题均出现了两种新题型：多选题与开放探究型解答题，体现了“破定势，考真功”的命题理念，为了使广大考生更快、更好地适应新高考的这种变化趋势，精选若干实例，供同学们学习体会.类型一多选题突破多选题更能全面考查学生的知识、能力和数学核心素养，有利于选拔合格考生.【例1】 关于函数f(x)sin|x|sin x|的下列结论，正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)在区间单调递增C.f(x)在，有4个零点D.f(x)的最大值为2解析f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，又xR，f(x)为偶函数
2、，故A正确；当x时，f(x)sin xsin x2sin x，f(x)在单调递减，故B不正确；f(x)在，的图象如图所示，由图可知函数f(x)在，只有3个零点，故C不正确；ysin|x|与y|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，f(x)可以取到最大值2，故D正确.故选AD.答案AD点评(1)本题利用函数的解析式研究函数的单一性质，将单调性、奇偶性、最值综合，并与函数的零点、图象交汇，全面考查三角函数的图象和性质，提高试题的选拔功能.(2)对于多项选择题，根据给分标准，务必对各选项正确推断，才能得全分；把握不准的选项不能选，才能多得分.【例2】 (2020长沙雅礼中学检测)已知数列an是等
3、差数列，前n项和为Sn，满足a15a3S8，下列结论一定正确的是()A.a100 B.S10最小C.S7S12 D.S200解析设数列an的公差为d，又a15a3S8，所以a15(a12d)8a128d，则a19d.所以ana1(n1)d(n10)d，所以a100，故A一定正确.Snna19nd(n219n)，所以S1045d，不一定最小，故B不一定正确；由Sn(n219n)的对称性知S7S12，故C一定正确，S2010d，不一定等于0，故D不一定正确.一定正确为AC.答案AC【例3】 (2020荆门模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是空间中任意一点，下列说法正确的是()A
4、.若点P为棱CC1的中点，则异面直线AP与CD所成角的正切值为B.若点P在线段A1B上运动，则APPD1的最小值为C.若点P在半圆弧CD上运动，当三棱锥PABC的体积最大时，三棱锥PABC的外接球的表面积为2D.若过点P的平面与正方体每条棱所成的角都相等，则平面截此正方体所得截面的面积的最大值为解析对于A，如图(1)，连接AP，BP.由ABCD，知BAP即为异面直线AP与CD所成的角.在RtABP中，AB1，BP，则tan BAP，A正确.对于B，如图(2)，将三角形AA1B与四边形A1BCD1沿A1B展开到同一个平面上，连接AD1.由图可知，线段AD1的长度即为APPD1的最小值.在AA1D
5、1中，利用余弦定理，得AD1，B错误.对于C，如图(3)，当P为半圆弧CD的中点时，三棱锥PABC的体积最大.连接AC，此时，三棱锥PABC的外接球球心是AC的中点O，连接OP，半径OP的长为，所以球的表面积为42，C正确.对于D，如图(4)，点P，R，Q分别在棱A1D1，A1B1，AA1上，连接QP，QR，PR.平面与正方体的每条棱所成的角都相等，只需与过同一顶点的三条棱所成的角都相等，即A1PA1RA1Q，则平面PQR与正方体过点A1的三条棱所成的角相等.若点E，F，G，H，M，N分别为棱D1C1，B1C1，BB1，AB，AD，DD1的中点，连接EF，FG，GH，MH，MN，NE，可得平面
6、EFGHMN平行于平面PQR，且六边形EFGHMN为正六边形，因为正方体的棱长为1，所以正六边形EFGHMN的边长为，可得此正六边形的面积为，为截面的最大面积，D正确.故选ACD.答案ACD【例4】 (2020湖北联考)已知椭圆1的左、右焦点分别为F，E，直线xm(1m1)与椭圆相交于点A，B，则()A.当m0时，FAB的面积为B.不存在m使FAB为直角三角形C.存在m使四边形FBEA的面积最大D.存在m使FAB的周长最大解析根据题意作出图形，如图.对于A，由题意，得a2，b，则c1.当m0时，SFAB2bc21，A正确.对于B，当m0时，可以得出AFE，当m1时，AFE，则存在m使FAB为直
7、角三角形，B错误；对于C，根据椭圆的对称性可知，当m0时，四边形FBEA的面积最大，C正确.对于D，由椭圆的定义，得FAB的周长为|AB|AF|BF|AB|(2a|AE|)(2a|BE|)4a|AB|AE|BE|.|AE|BE|AB|，|AB|AE|BE|0，当AB过点E时取等号，|AB|AF|BF|4aABAEBE4a，即当直线xm过椭圆的右焦点E时，FAB的周长最大.此时直线xmc1，但1m1，不存在m使FAB的周长最大，D错误.故选AC.答案AC【例5】 (2020长沙模拟)已知函数f(x)x3ax2bxc，x2，2表示的曲线过原点，且此曲线在x1处的切线的斜率均为1，则以下命题正确的是()A.f(x)x34x，x2，2B.f(x)的极值点有且仅有一个C.f(x)的极大值为D.f(x)的最大值与最小值之和等于零解析f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22axb.由题意可得解得f(x)x34x，f(x)3x24，x2，2.令f(x)0，得x2，2.当2x或0，当x时，f(x)Sk1且Sk1Sk1且Sk1Sk，可得即解得kSk1且Sk1Sk1且Sk1Sk，可得即解得kSk1且Sk1Sk1且Sk1Sk，可得即解得kSk1且Sk1Sk.