1、浙江省杭州高级中学2015-2016学年高一新生分班模拟考试数学试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列结论正确的是（）A3a2ba2b=2B单项式x2的系数是1C使式子有意义的x的取值范围是x2D若分式的值等于0，则a=12在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD3如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（）ABCD4今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”某村小为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别
2、为10，15，10，17，18，20对于这组数据，下列说法错误的是（）A平均数是15B众数是10C中位数是17D方差是5如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ABC绕着点A逆时针旋转得到ACB，则tanB的值为（）ABCD6如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O的直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A点停止设运动时间为t，点B到直线OC的距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是（）ABCD7如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以A
3、B为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线（k0）上将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是（）A1B2C3D48如图，分别过点Pi（i，0）（i=1、2、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi则的值为（）AB2CD二、填空题9.如图，AB=AC，BAC=120，AB的垂直平分线交BC于点D，那么ADC=度10定义新运算“*”规则：a*b=，如1*2=2， *=，若x2+x1=0两根为x1，x2，则x1*x2=11二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：abc0；b2=4ac；4a+2b+c0；3a+c
4、0，其中正确的结论是（写出正确命题的序号）12已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若a=1，b=3，按上述规则操作三次，扩充所得的数是；（2）若pq0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n1（m，n为正整数），则m+n的值为三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13先化简，再求值：（ +），其中a=1（2）已知关于x，y的二元一次方程的解满足xy，求m的取值范围14 2015年1月，市教育局在全市
5、中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图根据上述信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生人数是；扇形统计图中的圆心角等于；补全统计直方图；（2）被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率15已知，如图，AB是O的直径，点C为O上一点，OFBC于点F，交O于点E，AE与BC交于点H，点D为O
6、E的延长线上一点，且ODB=AEC（1）求证：BD是O的切线；（2）求证：CE2=EHEA；（3）若O的半径为5，sinA=，求BH的长16大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x0即售价上涨，x0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使
7、月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？17如图，把两个全等的RtAOB和RtCOD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）若AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），AOB在平移过程中与COD重叠部
8、分面积记为S试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由浙江省杭州高级中学2015-2016学年高一新生分班模拟考试数学试题参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列结论正确的是（）A3a2ba2b=2B单项式x2的系数是1C使式子有意义的x的取值范围是x2D若分式的值等于0，则a=1【考点】二次根式有意义的条件；合并同类项；分式的值为零的条件菁优网版权所有【分析】根据二次根式有意义的条件、单项式、合并同类项、分式有意义的条件解答【解答】解：3a2ba2b=2a2b，A错误；单项式x2的系
9、数是1，B正确；使式子有意义的x的取值范围是x2，C错误；若分式的值等于0，则a=1，错误，故选：B2在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD【考点】中心对称图形；轴对称图形菁优网版权所有【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确故选D3如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（）ABCD【考点】剪纸问题菁优网版权所有【分析】根据题意直接动手
10、操作得出即可【解答】解：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：故选A4今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”某村小为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10，15，10，17，18，20对于这组数据，下列说法错误的是（）A平均数是15B众数是10C中位数是17D方差是【考点】方差；加权平均数；中位数；众数菁优网版权所有【分析】根据方差、众数、平均数和中位数的计算公式和定义分别进行解答即可【解答】解：平均数是：（10+15+10+17+18+20）6=15；10出现了2次，出现的次数最多，则众数是10；把
11、这组数据从小到大排列为10，10，15，17，18，20，最中间的数是（15+17）2=16，则中位数是16；方差是： 2（1015）2+（1515）2+（1715）2+（1815）2+（2015）2= =则下列说法错误的是C故选：C5如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ABC绕着点A逆时针旋转得到ACB，则tanB的值为（）ABCD【考点】锐角三角函数的定义；旋转的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】过C点作CDAB，垂足为D，根据旋转性质可知，B=B，把求tanB的问题，转化为在RtBCD中求tanB【解答】解：过C点作CDAB，垂足为D根据旋转性质可知，B=B在RtBCD
12、中，tanB=，tanB=tanB=故选B6如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O的直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A点停止设运动时间为t，点B到直线OC的距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是（）ABCD【考点】动点问题的函数图象菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】设运动员C的速度为v，则运动了t的路程为vt，设BOC=，当点C从运动到M时，当点C从M运动到A时，分别求出d与t之间的关系即可进行判断【解答】解：设运动员C的速度为v，则运动了t的路程为vt，设BOC=，当
13、点C从运动到M时，vt=，=，在直角三角形中，d=50sin=50sin=50sint，d与t之间的关系d=50sint，当点C从M运动到A时，d与t之间的关系d=50sin（180t），故选：C7如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线（k0）上将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是（）A1B2C3D4【考点】反比例函数综合题菁优网版权所有【分析】作CEy轴于点E，交双曲线于点G作DFx轴于点F，易证OABFDABEC，求得A、B的坐标，根据全等三角形的性质可以求得C、D的
14、坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得G的坐标，则a的值即可求解【解答】解：作CEy轴于点E，交双曲线于点G作DFx轴于点F在y=3x+3中，令x=0，解得：y=3，即B的坐标是（0，3）令y=0，解得：x=1，即A的坐标是（1，0）则OB=3，OA=1BAD=90，BAO+DAF=90，又直角ABO中，BAO+OBA=90，DAF=OBA，在OAB和FDA中，OABFDA（AAS），同理，OABFDABEC，AF=OB=EC=3，DF=OA=BE=1，故D的坐标是（4，1），C的坐标是（3，4）代入y=得：k=4，则函数的解析式是：y=OE=4，则C的纵坐标是4，把y=4代
15、入y=得：x=1即G的坐标是（1，4），CG=2故选：B8如图，分别过点Pi（i，0）（i=1、2、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi则的值为（）AB2CD【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题；规律型【分析】根据Ai的纵坐标与Bi纵坐标的绝对值之和为AiBi的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果【解答】解：根据题意得：AiBi=x2（x）=x（x+1），=2（），+=2（1+）=故选A二、填空题9.如图，AB=AC，BAC=120，AB的垂直平分线交BC于点D，那么ADC=60度【考点】线段垂直平分线的性质；三角形的外角性质菁优网版权所有【专题】计
16、算题【分析】由三角形的外角性质知ADC=BAD+B，又已知BAC=120，根据三角形内角和定理易得B，而AB的垂直平分线交BC于点D，根据垂直平分线的性质知BAD=B，从而得解【解答】解：由AB=AC，BAC=120，可得B=30，因为点D是AB的垂直平分线上的点，所以AD=BD，因而BAD=B=30，从而ADC=60度10定义新运算“*”规则：a*b=，如1*2=2， *=，若x2+x1=0两根为x1，x2，则x1*x2=【考点】根与系数的关系菁优网版权所有【专题】新定义【分析】根据公式法求得一元二次方程的两个根，然后根据新运算规则计算x1*x2的值则可【解答】解：在x2+x1=0中，a=1
17、，b=1，c=1，b24ac=50，所以x1=，x2=或x1=，x2=，x1*x2=*=，故答案为11二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：abc0；b2=4ac；4a+2b+c0；3a+c0，其中正确的结论是（写出正确命题的序号）【考点】二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数，以及x=1，x=2对应y值的正负判断即可【解答】解：由二次函数图象开口向上，得到a0；与y轴交于负半轴，得到c0，对称轴在y轴右侧，且=1，即2a+b=0，a与b异号，即b0，abc0，选项正确；二次函数图象与x轴有两个
18、交点，=b24ac0，即b24ac，选项错误；原点O与对称轴的对应点为（2，0），x=2时，y0，即4a+2b+c0，选项错误；x=1时，y0，ab+c0，把b=2a代入得：3a+c0，选项正确，故答案是：12已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若a=1，b=3，按上述规则操作三次，扩充所得的数是255；（2）若pq0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n1（m，n为正整数），则m+n的值为21【考点】推理与论证菁优网版权所有【分析】（1
19、）a=1，b=3，按规则操作三次，第一次：c=7；第二次c=31；第三次c=255；（2）pq0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）1；第二次得：c2=（p+1）2（q+1）1；所得新数大于任意旧数，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）131，故可得结论【解答】解：（1）a=1，b=3，按规则操作三次，第一次：c=ab+a+b=13+1+3=7；第二次，731所以有：c=37+3+7=31；第三次：3173所以有：c=731+7+31=255；（2）pq0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）1；因为cpq，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）1
20、=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）1；所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）1=（p+1）3（q+1）21第四次可得：c4=（c3+1）（c21）1=（p+1）5（q+1）31；第五次可得：c5=（p+1）8（q+1）51；故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）131m=8，n=13，m+n=21故答案为：255；21三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13（1）先化简，再求值：（ +），其中a=1（2）已知关于x，y的二元一次方程的解满足xy，求m的取值范围【考点】分式的化简求值
21、；二元一次方程组的解；解一元一次不等式菁优网版权所有【分析】（1）先将括号内通分，计算加法、同时将除法转化为乘法，再约分即可得；（2）先将m看做已知的常数解方程组，再根据xy得出关于m的不等式，解之可得【解答】解：（1）原式=+=，当a=1时，原式=；（2）解方程组得：，xy，m，解得：m14 2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图根据上述信息，解答下列问题：（1）本次抽
22、取的学生人数是30；扇形统计图中的圆心角等于144；补全统计直方图；（2）被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；利用频率估计概率菁优网版权所有【分析】（1）根据题意列式求值，根据相应数据画图即可；（2）根据题意列表，然后根据表中数据求出概率即可【解答】解：（1）620%=30，（303762）30360=123026=144，答：本次抽取的学生人数是30人；扇形统计图中的圆心角等于144；故答案为：30，144；补全统计图如图所示：（2）
23、根据题意列表如下：设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道，小红 小花123451（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）2（1，2）（3，2）（4，2）（5，2）3（1，3）（2，3）（4，3）（5，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（5，4）5（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A，15已知，如图，AB是O的直径，点C为O上一点，OFBC于点F，交O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且ODB=AEC（1）求证：BD是O的切线；（2）求证：CE2=EHEA；（3）若O的半径为5，sinA=，求BH的长【考点】圆的综合题菁优网版权
24、所有【专题】证明题【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出ODB=ABC，再证出ABC+DBF=90，即OBD=90，即可得出BD是O的切线；（2）连接AC，由垂径定理得出，得出CAE=ECB，再由公共角CEA=HEC，证明CEHAEC，得出对应边成比例，即可得出结论；（3）连接BE，由圆周角定理得出AEB=90，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可【解答】（1）证明：ODB=AEC，AEC=ABC，ODB=ABC，OFBC，BFD=90，ODB+DBF=90，ABC+DBF=90，即OBD=90，BDOB，BD是
25、O的切线；（2）证明：连接AC，如图1所示：OFBC，CAE=ECB，CEA=HEC，CEHAEC，CE2=EHEA；（3）解：连接BE，如图2所示：AB是O的直径，AEB=90，O的半径为5，sinBAE=，AB=10，BE=ABsinBAE=10=6，EA=8，BE=CE=6，CE2=EHEA，EH=，在RtBEH中，BH=16大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件为了
26、获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x0即售价上涨，x0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？【考点】二次函数的应用菁优网版权所有【分析】（1）直接根据题意售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件，进而得出等量关系；（2）利用每件利润销量=总利润，进而利用配方法求出即可；（3）利用函数图象结合一元二次方程的解法得出符合题意的答案【解答】解：（1）由题意可得：y=；（2）由题意可得：w=，化简得：
27、w=，即w=，由题意可知x应取整数，故当x=2或x=3时，w6125，x=5时，W=6250，故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；（3）由题意w6000，如图，令w=6000，将w=6000带入20x0时对应的抛物线方程，即6000=20（x+）2+6125，解得：x1=5，将w=6000带入0x30时对应的抛物线方程，即6000=10（x5）2+6250，解得x2=0，x3=10，综上可得，5x10，故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元17如图，把两个全等的RtAOB和RtCOD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD
28、在x轴上已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）若AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），AOB在平移过程中与COD重叠部分面积记为S试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】方法一：（1）抛物线y=ax2+
29、bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解结论：存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形；（3）本问关键是求得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值解答中提供了三种求解面积S表达式的方法，殊途同归，可仔细体味方法二：（1）略（2）因为四边形ABPM为等腰梯形，只需AM=BP，且AM与BP不平行，利用两点间距离公式可求解（3）设A参数坐标，利用直线方程分别求出R，Q，K，T的参数坐标，根据S=SQOTSROK，求出S的面积函数，并求出S的最大值【解答】
30、方法一：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，可得c=0，解得a=，b=，抛物线解析式为y=x2+x（2）设点P的横坐标为t，PNCD，OPNOCD，可得PN=P（t，），点M在抛物线上，M（t， t2+t）如解答图1，过M点作MGAB于G，过P点作PHAB于H，AG=yAyM=2（t2+t）=t2t+2，BH=PN=当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，t2t+2=，化简得3t28t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，点P的坐标为（，）存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形（3）如解答图2，AOB沿AC方向平移至AOB，AB交x轴于T，交OC于Q，AO
31、交x轴于K，交OC于R求得过A、C的直线为yAC=x+3，可设点A的横坐标为a，则点A（a，a+3），易知OQTOCD，可得QT=，点Q的坐标为（a，）解法一：设AB与OC相交于点J，ARQAOJ，相似三角形对应高的比等于相似比， =HT=2a，KT=AT=（3a），AQ=yAyQ=（a+3）=3aS四边形RKTQ=SAKTSARQ=KTATAQHT=（3a）（3a）（a+2）=a2+a=（a）2+由于0，当a=时，S四边形RKTQ最大=，在线段AC上存在点A（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为解法二：过点R作RHx轴于H，则由ORHOCD，得由RKHAOB，得由，得KH=OH，OK
32、=OH，KT=OTOK=aOH 由AKTAOB，得，则KT=由，得=aOH，即OH=2a2，RH=a1，所以点R的坐标为R（2a2，a1）S四边形RKTQ=SQOTSROK=OTQTOKRH=aa（1+a）（a1）=a2+a=（a）2+由于0，当a=时，S四边形RKTQ最大=，在线段AC上存在点A（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为解法三：AB=2，OB=1，tanOAB=tanOAB=，KT=ATtanOAB=（a+3）=a+，OK=OTKT=a（a+）=a，过点R作RHx轴于H，cotOAB=tanRKH=2，RH=2KH又tanOAB=tanROH=，2RH=OK+KH=a+R
33、H，RH=a1，OH=2（a1），点R坐标R（2a2，a1）S四边形RKTQ=SAKTSARQ=KTATAQ（xQxR）=（3a）（3a）（a+2）=a2+a=（a）2+由于0，当a=时，S四边形RKTQ最大=，在线段AC上存在点A（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为方法二：（1）略（2）C（2，1），lOC：y=x，设P（t，），M（t，），四边形ABPM为等腰梯形，AM=BP且AM不平行BP，（t1）2+（2+）2=（t1）2+（）2，2+=（无解）或2+=，t1=2（舍），t2=，P（，）（3）A（1，2），C（2，1），lAC：y=x+3，设A（t，3t），Q（t，），T（t，0），OAOA，KOA=KOA=2，lOA：y=2x+33t，lOC：y=x，R（2t2，t1），K（，0），S=SQOTSROK=，t=时，S有最大值