1、专题强化练(十四)1(2020东北三省四市教研联合体模拟)点P(1，t)(t0)是抛物线C：y24x上一点，F为C的焦点(1)若直线OP与抛物线的准线l交于点Q，求QFP的面积；(2)过点P作两条倾斜角互补的直线分别与C交于M，N两点，证明：直线MN的斜率是定值(1)解：将P(1，t)代入y24x得t2，则lOP：y2x，准线l：x1，所以Q(1，2)所以SQFP|OF|yPyQ|2.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题可知，kMPkNP0，所以0，所以0，所以0，所以y1y24，所以kMN1为定值2(2020太原模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，一个顶点为M(0，1
2、)，直线l交椭圆于A，B两点，且MAMB.(1)求椭圆C的方程；(2)证明：直线l过定点(1)解：由题意得解得a24，b21，所以椭圆的方程为y21.(2)证明：依题意，直线l斜率存在，设方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(14k2)x28kmx4m240，得x1x2，x1x2，所以y1y2k(x1x2)2m，y1y2k2x1x2mk(x1x2)m2，因为MAMB，所以0，即x1x2(y11)(y21)0，代入整理得10，即5m22m30，解得m，m1(舍)，所以直线l过定点.3(2020宝鸡模拟)已知定点S(2，0)，T(2，0)，动点P为平面上一个动点，且直线SP，TP
3、的斜率之积为.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)设点B为轨迹E与y轴正半轴的交点，是否存在斜率为的直线l，使得l交轨迹E于M，N两点，且Q(，0)恰是BMN的重心？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由解：(1)设P(x，y)，由已知有，整理得动点P的轨迹E的方程为1(x2)(2)由(1)知，E的方程为1(x2)，所以B(0，)，设存在直线l符合题意，并设l的方程为yxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得13x28mx12(m23)0，由(8m)241312(m23)0，得m，x1x2.因为点Q为BMN的重心，所以x1x2xB3xQ，03，解得m.当m时，不满足m，所以不存在直线l，使
4、得Q是BMN的重心4(2020济宁6月模拟)已知点F为椭圆1的右焦点，点A为椭圆的右顶点(1)求过点F、A且和直线x9相切的圆C的方程；(2)过点F任作一条不与x轴重合的直线l，直线l与椭圆交于P，Q两点，直线PA，QA分别与直线x9相交于点M，N.试证明：以线段MN为直径的圆恒过点F.(1)解：由已知得：a3，b2，c1，所以A(3，0)，F(1，0)，所以圆C的圆心一定在线段AF中垂线x2上，由圆C与直线x9相切，得：圆C的半径r927，设圆C的圆心坐标为C(2，m)，则有：r|AC|7，m4，即圆心C(2，4)，所以圆C的方程为：(x2)2(y4)249.(2)证明：当直线l斜率不存在时
5、，其方程为x1，联立解得又因为A(3，0)所以直线PM、QA为y(x3)可求得M，N两点坐标分别为M(9，8)，N(9，8)或M(9，8)，N(9，8)，又F(1，0)，所以FM，FN的斜率之积为：kFMkFN1，所以FMFN.当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：yk(x1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)联立方程组：消去y整理得：(89k2)x218k2x9k2720所以x1x2，x1x2，y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1，又设M(9，yM)，N(9，yN)由P，A，M共线得：，yM，由Q，A，N共线得：，yN， 所以FM，FN的斜率之积为：kFMkFN1，所以FMFN，综上可知，恒有FMFN，所以以线段MN为直径的圆恒过点F.
