1、2016-2017学年福建省漳州市龙海二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A、B、C、D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号填到答题卷相应位置.）1高三（1）班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号，31号，44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是（）A8B13C15D182下列命题中，真命题的是（）AxR，x20BxR，1sinx1Cx0R，0Dx0R，tanx0=23双曲线y2=1的焦点坐标是（）A（，0）B（，0）C（0，）D（0，）4一组
2、数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A11.5和12B11.5和11.5C11和11.5D12和125“a2”是“函数f（x）=ax+3在区间1，2上存在零点x0”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分也非必要条件6如果执行右边的程序框图，那么输出的S=（）A10B22C46D947在区间1，5上随机取一个实数m，则方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为（）ABCD8在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的法向量为，O为坐标原点已知P（1，3，8），则P到平面OAB的距离等于（）A4B2C3D19如图，是函数y=f（x）的导函数f（x）的图象，则下面
3、判断正确的是（）A在区间（2，1）上f（x）是增函数B在（1，3）上f（x）是减函数C在（4，5）上f（x）是增函数D当x=4时，f（x）取极大值10函数f（x）是定义域为R的可导函数，且对任意实数x都有f（x）=f（2x）成立若当x1时，不等式（x1）f（x）0成立，设a=f（0.5），c=f（3），则a，b，c的大小关系是（）AbacBabcCcbaDacb11如图，在正三棱柱ABCABC中，若AA=2AB，则异面直线AB与BC所成角的余弦值为（）A0BCD12O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则POF的面积为（）A2B2C2D4二、填空题（本大题
4、共4个小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卷相应横线上.）13已知命题P：对任意的xR，有sinx1，则P是14正方体ABCDA1B1C1D1的 棱长为a，在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B1A1BC1内的概率为15已知O为原点，椭圆=1上一点P到左焦点F1的距离为4，M是PF1的中点则|OM|=16对于函数f（x）=（2xx2）ex（1）是f（x）的单调递减区间；（2）是f（x）的极小值，是f（x）的极大值；（3）f（x）有最大值，没有最小值；（4）f（x）没有最大值，也没有最小值其中判断正确的是三、解答题（本大题共6题，共70分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤.解答写在
5、答题卡上的指定区域内.）17某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组50，60），第二组60，70），第五组90，100如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图（）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（）从测试成绩在50，60）90，100内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|mn|10”概率18顶点在原点，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l：y=2x+1与抛物线相交于A，B两点，求AB的长度19已知函数f
6、（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c16（）求a，b的值；（）若f（x）有极大值28，求f（x）在3，3上的最小值20如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明：ABA1C；（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值21已知函数f（x）=+alnx2（a0）（）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（）若对于任意x（0，+）都有f（x）2（a1）成立，试求a的取值范围22如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（
7、点M在点N的左侧），且|MN|=3（）求圆C的方程；（）过点M任作一条直线与椭圆： =1相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：ANM=BNM2016-2017学年福建省漳州市龙海二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A、B、C、D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号填到答题卷相应位置.）1高三（1）班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号，31号，44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是（）A8B13C15D18【考点】系统抽样
8、方法【分析】根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号【解答】解：根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，已知其中三个个体的编号为5，31，44，故还有一个抽取的个体的编号为18，故选：D2下列命题中，真命题的是（）AxR，x20BxR，1sinx1Cx0R，0Dx0R，tanx0=2【考点】特称命题；全称命题【分析】根据含有量词的命题的判断方法即可得到结论【解答】解：A当x=0时，x20不成立，即A错误B当x=时，1sinx1不成立，即B错误CxR，2X0，即C错误Dtanx的值域为R，x0R，tanx0=2
9、成立故选：D3双曲线y2=1的焦点坐标是（）A（，0）B（，0）C（0，）D（0，）【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的a，b，再由c=，即可得到c，进而得到焦点坐标【解答】解：双曲线y2=1的a=2，b=1，则c=，又焦点在x轴上，则焦点坐标为（，0）故选B4一组数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A11.5和12B11.5和11.5C11和11.5D12和12【考点】茎叶图【分析】先从茎叶图中读取数据，然后将这组数据从小到大排序，个数是偶数个取最中间两个数取平均数即为中位数，最后利用平均数公式可求出所求【解答】解：根据茎叶图可知这组数据为9，7，17，11，16，
10、14，10，12，将这组数据从小到大排序得7，9，10，11，12，14，16，17，这组数据的中位数为=11.5，平均数为（7+9+10+11+12+14+16+17）=12故选：A5“a2”是“函数f（x）=ax+3在区间1，2上存在零点x0”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的零点与方程根的关系【分析】我们可以根据充分、充要条件的定义进行判断若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命
11、题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件【解答】解：a2，f（x）=ax+3，f（0）=30，f（2）=2a+32（2）+3=10，f（0）f（2）0函数f（x）=ax+3在区间1，2上存在零点x0a2”是“函数f（x）=ax+3在区间1，2上存在零点x0”的充分条件；反之，若函数f（x）=ax+3在区间1，2上存在零点，则f（1）f（2）0，即（a+3）（2a+3）0，a2不是“函数f（x）=ax+3在区间1，2上存在零点的必要条件故选A6如果执行右边的程序框图，那么输出的S=（）A10B22C46D94【考点】循环结构【分析】本题是一个直
12、到型循环结构，循环体被执行4次，每次执行时都是对S加一再乘以2，由此即可计算出最后的结果【解答】解：由图循环体被执行四次，其运算规律是对S+1的和乘以2再记到S中，每次执行后的结果依次是4，10，22，46故选C7在区间1，5上随机取一个实数m，则方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则4mm0，可得区间长度，求出在区间1，5上随机取一个实数m的区间长度，即可得出结论【解答】解：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则4mm0，0m2，区间的长度为2，在区间1，5上随机取一个实数m，区间长度为6，方程+=1表示焦点在y轴上的椭
13、圆的概率为=故选：A8在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的法向量为，O为坐标原点已知P（1，3，8），则P到平面OAB的距离等于（）A4B2C3D1【考点】点、线、面间的距离计算【分析】直接利用空间点到平面的距离公式d=求解即可【解答】解：平面OAB的一个法向量为=（2，2，1），已知点P（1，3，8），则点P到平面OAB的距离d=4故选：A9如图，是函数y=f（x）的导函数f（x）的图象，则下面判断正确的是（）A在区间（2，1）上f（x）是增函数B在（1，3）上f（x）是减函数C在（4，5）上f（x）是增函数D当x=4时，f（x）取极大值【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性【
14、分析】由于f（x）0函数f（x）d单调递增；f（x）0单调f（x）单调递减，观察f（x）的图象可知，通过观察f（x）的符号判定函数的单调性即可【解答】解：由于f（x）0函数f（x）d单调递增；f（x）0单调f（x）单调递减观察f（x）的图象可知，当x（2，1）时，函数先递减，后递增，故A错误当x（1，3）时，函数先增后减，故B错误当x（4，5）时函数递增，故C正确由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误故选：C10函数f（x）是定义域为R的可导函数，且对任意实数x都有f（x）=f（2x）成立若当x1时，不等式（x1）f（x）0成立，设a=f（0.5），c=f（3），则a，b，c的大
15、小关系是（）AbacBabcCcbaDacb【考点】不等关系与不等式；导数的运算【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，f（x）在（1，+）上是减函数，在（，1）上是增函数再由|31|0.51|1|，故 f（）f（0.5）f（3），由此得出结论【解答】解：由f（x）=f（2x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=1对称再由 （x1）f（x）0成立可得，当x1，f（x）0，故函数f（x）在（1，+）上是减函数；当x1，f（x）0，故函数f（x）在（，1）上是增函数由于|31|0.51|1|，故 f（）f（0.5）f（3），即 bac，故选：A11如图，在正三棱柱ABCABC中，若
16、AA=2AB，则异面直线AB与BC所成角的余弦值为（）A0BCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】以A为原点，在平面ABC中作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与BC所成角的余弦值【解答】解：以A为原点，在平面ABC中作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA为z轴，建立空间直角坐标系，设AA=2AB=2，则A（0，0，0），B（，2），B（，0），C（0，1，2），=（，2），=（，2），设异面直线AB与BC所成角为，则cos=异面直线AB与BC所成角的余弦值为故选：D12O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF
17、|=4，则POF的面积为（）A2B2C2D4【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到POF的边OF上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出POF的面积【解答】解：抛物线C的方程为y2=4x2p=4，可得=，得焦点F（）设P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即m+=4，解得m=3点P在抛物线C上，得n2=43=24n=|OF|=POF的面积为S=|OF|n|=2故选：C二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卷相应横线上.）13已知命题P：对任
18、意的xR，有sinx1，则P是xR，有sinx1【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可得命题的否定【解答】解：命题P为全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，得P：xR，有sinx1故答案为：xR，有sinx114正方体ABCDA1B1C1D1的 棱长为a，在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B1A1BC1内的概率为【考点】几何概型【分析】由题意，本题是几何概型，以体积为测度，求出三棱锥B1A1BC1的体积、正方体ABCDA1B1C1D1的体积，即可求得概率【解答】解：由题意，本题是几何概型，以体积为测度正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，三棱锥B1A1BC1的体
19、积=，正方体ABCDA1B1C1D1的体积为a3，在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B1A1BC1内的概率为=故答案为：15已知O为原点，椭圆=1上一点P到左焦点F1的距离为4，M是PF1的中点则|OM|=3【考点】椭圆的简单性质【分析】根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a，可得|PF2|=2a|PF1|=6，在PF1F2中利用中位线定理，即可得到的|OM|值【解答】解：椭圆=1中，a=5，|PF1|+|PF2|=2a=10，结合|PF1|=4，得|PF2|=2a|PF1|=104=6，OM是PF1F2的中位线，|OM|=|PF2|=6=3故答案为：316对于函数f（x）=（2
20、xx2）ex（1）是f（x）的单调递减区间；（2）是f（x）的极小值，是f（x）的极大值；（3）f（x）有最大值，没有最小值；（4）f（x）没有最大值，也没有最小值其中判断正确的是（2）（3）【考点】利用导数研究函数的极值【分析】对函数f（x）进行求导，然后令f（x）=0求出x，在根据f（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定（1）不正确，（2）正确，根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，（3）正确，（4）不正确，从而得到答案【解答】解：f（x）=ex（2x2），由f（x）=0得x=，由f（x）0得x或x，由f（x）0得x，f（x）的单调减区间为（，），（，+），单调增区间
21、为（，），故（1）不正确；f（x）的极大值为f（），极小值为f（），故（2）正确x时，f（x）0恒成立，在（，）单调递增，在（，+）上单调递减，当x=时取极大值，也是最大值，而当x+时，f（x）f（x）无最小值，但有最大值f（）则（3）正确从而f（x）没有最大值，也没有最小值，则（4）不正确故答案为：（2）（3）三、解答题（本大题共6题，共70分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）17某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组50，60），第二组60，70），第五组90，100如图所示是按上述分组方法得到
22、的频率分布直方图（）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（）从测试成绩在50，60）90，100内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|mn|10”概率【考点】频率分布直方图【分析】（1）先算出频率分布直方图成绩大于或等于60且小于80的频率，再利用频数等于频率样本总数即可解得全班学生中成绩合格的人数（2）欲求事件“|mn|10”概率，根据古典概型，算出基本事件的总个数n和算出事件事件“|mn|10”中包含的基本事件的个数m；最后 算出事件A的概率，即P（A）=【解答】解：（I）由直方图知，成绩在60，80）内的人数为：5
23、010（0.18+0.040）=29所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人（II）由直方图知，成绩在50，60）内的人数为：50100.004=2，设成绩为x、y成绩在90，100的人数为50100.006=3，设成绩为a、b、c，若m，n50，60）时，只有xy一种情况，若m，n90，100时，有ab，bc，ac三种情况，若m，n分别在50，60）和90，100内时，有 a b c x xa xb xc y ya yb yc共有6种情况，所以基本事件总数为10种，事件“|mn|10”所包含的基本事件个数有6种18顶点在原点，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2（1）求抛物线的
24、标准方程；（2）若直线l：y=2x+1与抛物线相交于A，B两点，求AB的长度【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线的标准方程；（2）直线l：y=2x+1与抛物线联立，利用韦达定理及抛物线的定义，即可求AB的长度【解答】解：（1）由题意，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2，可知p=2抛物线标准方程为：x2=4y（2）直线l：y=2x+l过抛物线的焦点F（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2）|AB|=y1+y2+p=y1+y2+2联立得x28x4=0x1+x2=8|AB|=y1+y2+2=2x1+1+2x2+1+2=2（x1+x2）+4
25、=2019已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c16（）求a，b的值；（）若f（x）有极大值28，求f（x）在3，3上的最小值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件【分析】（）由题设f（x）=ax3+bx+c，可得f（x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c16，可得解此方程组即可得出a，b的值；（II）结合（I）判断出f（x）有极大值，利用f（x）有极大值28建立方程求出参数c的值，进而可求出函数f（x）在3，3上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出f（x）在3，3上的最小值即可【解答】解：（）由题f（x）=ax3+bx+c，可得f（x
26、）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c16，即，化简得解得a=1，b=12（II）由（I）知f（x）=x312x+c，f（x）=3x212=3（x+2）（x2）令f（x）=3x212=3（x+2）（x2）=0，解得x1=2，x2=2当x（，2）时，f（x）0，故f（x）在（，2）上为增函数；当x（2，2）时，f（x）0，故f（x）在（2，2）上为减函数；当x（2，+）时，f（x）0，故f（x）在（2，+）上为增函数；由此可知f（x）在x1=2处取得极大值f（2）=16+c，f（x）在x2=2处取得极小值f（2）=c16，由题设条件知16+c=28得，c=12此时f（3）=9+c=21，
27、f（3）=9+c=3，f（2）=16+c=4因此f（x）在3，3上的最小值f（2）=420如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明：ABA1C；（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（）取AB中点，连接OC，OA1，得出OCAB，OA1AB，运用AB平面OCA1，即可证明（）易证OA，OA1，OC两两垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正向建立坐标系，可向量的坐标，求出平面BB1C1C的法向量，代入向量夹角公式，可得答案【解答】（）证明：
28、取AB中点，连接OC，OA1，CA=CB，AB=A1A，BAA1=60OCAB，OA1AB，OCOA1=O，AB平面OCA1，CA1平面OCA1，ABA1C；（）解：由（）知OCAB，OA1AB，又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，0），C（0，0，），B（1，0，0），则=（1，0，），=（1，0），=（0，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可取y=1，可得 =（，1，1），故cos，=，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等
29、于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：21已知函数f（x）=+alnx2（a0）（）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（）若对于任意x（0，+）都有f（x）2（a1）成立，试求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）确定函数的定义域，再求导函数，利用曲线y=f（x）在点P（1，f（1）处的切线与直线y=x+2垂直，求出a的值，从而可得函数y=f（x）的单调区间；（）对于任意x（0，+）都有f（x）2（a1）成立，即f（x）
30、min2（a1）成立，求导函数确定函数y=f（x）的单调区间，从而可得函数的最小值，进而可建立不等式，由此可求a的取值范围【解答】解：（）函数的定义域为（0，+）求导函数可得f（1）=2+a曲线y=f（x）在点P（1，f（1）处的切线与直线y=x+2垂直，2+a=1a=1令f（x）0，可得x2；令f（x）0，x0，可得0x2函数y=f（x）的单调增区间为（2，+），单调减区间为（0，2）；（）对于任意x（0，+）都有f（x）2（a1）成立，即f（x）min2（a1）成立（a0）令f（x）0，可得；令f（x）0，x0，可得0x函数y=f（x）的单调增区间为（，+），单调减区间为（0，）；x=时，
31、函数取得极小值且为最小值f（）2（a1）a的取值范围为22如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧），且|MN|=3（）求圆C的方程；（）过点M任作一条直线与椭圆： =1相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：ANM=BNM【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（）设圆C的半径为r（r0），由|MN|=3可得，从而求圆C的方程；（）求出点M（1，0），N（4，0），讨论当ABx轴时与AB与x轴不垂直时ANM是否相等BNM，从而证明【解答】解：（）设圆C的半径为r（r0），则圆心坐标为（r，2）|MN|=3，解得圆C的方程为（）证明：把y=0代入方程，解得x=1，或x=4，即点M（1，0），N（4，0）（1）当ABx轴时，由椭圆对称性可知ANM=BNM（2）当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=k（x1）联立方程，消去y得，（k2+2）x22k2x+k28=0设直线AB交椭圆于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则，y1=k（x11），y2=k（x21），=，kAN+kBN=0，ANM=BNM综上所述，ANM=BNM2017年2月25日