1、2014-2015学年浙江省杭州市严州中学高三（下）4月段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知a，b为正实数，则“a1且b1”是“ab1”的（） A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件2下列函数中既是奇函数又是增函数的是（） A y=x3+x B y=logax C y=3x D y=3若l、m、n是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列结论正确的是（） A ，l，nln B ，ll C ln，mnlm D l，l4将函数y=cos（2x+）的图象沿x轴向右平
2、移后，得到的图象关于原点对称，则的一个可能取值为（） A B C D 5若直线axby+2=0（a0，b0）被圆x2+y2+4x4y1=0所截得的弦长为6，则的最小值为（） A 10 B C D 6在ABC中，若，则=（） A B C D 7已知aR，若函数f（x）=x2|x2a|有三个或者四个零点，则函数g（x）=ax2+4x+1的零点个数为（） A 1或2 B 2 C 1或0 D 0或1或28设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a0，b0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足，则a+b取值范围为（） A （0，2 B 1，2 C 1，+） D 2，+）二、填空题：本大题共7小题，第
3、9，10每题三空，每空2分，第11，12题每题两空，每空3分，第13，14，15每空4分，共36分9设全集U=R，集合A=x|x+10，B=x|x220，则AB=，AB=，RB=10设函数，则该函数的最小正周期为，值域为，单调递增区间为11某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积为cm3，外接球的表面积为cm212设不等式组所表示的平面区域为D，则区域D的面积为；若直线y=ax1与区域D有公共点，则a的取值范围是13F1，F2分别是双曲线=1的左右焦点，P为双曲线右支上的一点，A是PF1F2的内切圆，A与x轴相切于点M（m，0），则m的值为14定义在（，0）（0，+）上的函数f
4、（x），如果对于任意给定的等比数列an，f（an），仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”现有定义在（，0）（0，+）上的如下函数：f（x）=3x；f（x）=x3； f（x）=； f（x）=log2|x|则其中是“等比函数”的f（x）的序号为15在ABC中，点M在BC边上，且满足，则cosMAB的最小值为三、解答题：本大题共5小题，满分74分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC（）求角C的大小；（）当cosA+cosB取得最大值时，试判断ABC的形状17已知数列an是首项为2的等差数列，其前n项和Sn满足4
5、Sn=anan+1数列bn是以为首项的等比数列，且b1b2b3=（）求数列an，bn的通项公式；（）设数列bn的前n项和为Tn，若对任意nN*不等式恒成立，求的取值范围18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AD=2，AB=1，AC=（）证明：MN平面PCD；（）求直线MN与平面PAD所成角的正切值19如图，设抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，过点F的直线l1交抛物线C于A，B两点，且|AB|=8，线段AB的中点到y轴的距离为3（）求抛物线C的方程；（）若直线l2与圆x2+y2=切于点P，与抛物线C切于点Q，求
6、FPQ的面积20已知函数f（x）=ax2+2bx+c（xR，a0）（）若a=1，c=0，且y=f（x）在1，3上的最大值为g（b），求g（b）；（）若a0，函数f（x）在8，2上不单调，且它的图象与x轴相切，求的最小值2014-2015学年浙江省杭州市严州中学高三（下）4月段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知a，b为正实数，则“a1且b1”是“ab1”的（） A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：
7、简易逻辑分析： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答： 解：若a1且b1，则ab1成立，若a=4，b=，满足ab1，但a1且b1不成立，故“a1且b1”是“ab1”的充分不必要条件，故选：B点评： 本题主要考查充分条件和必要条件，根据不等式的关系是解决本题的关键2下列函数中既是奇函数又是增函数的是（） A y=x3+x B y=logax C y=3x D y=考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明专题： 函数的性质及应用分析： 运用奇偶性的定义和常见函数的奇偶性和单调性，即可得到既是奇函数又是增函数的函数解答： 解：对于A定义域为R，f（x）=x3x=f（x），即有f（x）
8、为奇函数，又f（x）=3x2+10，则f（x）在R上递增，故A满足条件；对于B则为对数函数，定义域为（0，+），则函数没有奇偶性，故B不满足条件；对于C则为指数函数，f（x）f（x），则不为奇函数，故C不满足条件；对于D则为反比例函数，定义域为（，0）（0，+），f（x）=f（x），则f（x）为奇函数，且在（，0）和（0，+）均为增函数，故D不满足条件故选A点评： 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法和常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题和易错题3若l、m、n是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列结论正确的是（） A ，l，nln B ，ll C ln，mnlm D l，
9、l考点： 空间中直线与平面之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离分析： A根据面面平行的性质进行判断 B根据面面平行的性质以及线面垂直的判定定理进行判断C根据直线垂直的性质进行判断 D根据线面垂直和平行的性质进行判断解答： 解：对于A，l，n，l，n平行或 异面，所以错误；对于B，l，l 与 可能相交可能平行，所以错误；对于C，ln，mn，在空间，l与m还可能异面或相交，所以错误故选D点评： 本题考查了空间直线和平面，平面和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的定义和判断条件，比较基础4将函数y=cos（2x+）的图象沿x轴向右平移后，得到的图象关于原点对称，则的一个可能取值为（） A B
10、C D 考点： 函数y=Asin（x+）的图象变换专题： 三角函数的图像与性质分析： 由条件根据y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，求得的值，可得结论解答： 解：将函数y=cos（2x+）的图象沿x轴向右平移后，得到的图象对应的解析式为y=cos2（x）+=cos（2x+）再根据得到的图象关于原点对称，则+=k+，kz，即=k+，kz结合所给的选项，故选：D点评： 本题主要考查y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题5若直线axby+2=0（a0，b0）被圆x2+y2+4x4y1=0所截得的弦长为6，则的最小值为（） A
11、 10 B C D 考点： 直线与圆相交的性质专题： 直线与圆；不等式分析： 由已知中圆的方程x2+y2+4x4y1=0我们可以求出圆心坐标，及圆的半径，结合直线axby+2=0（a0，b0）被圆x2+y2+4x4y1=0所截得的弦长为6，我们易得到a，b的关系式，再根据基本不等式中1的活用，即可得到答案解答： 解：圆x2+y2+4x4y1=（x+2）2+（y2）2=9是以（2，2）为圆心，以3为半径的圆，又直线axby+2=0（a0，b0）被圆x2+y2+4x4y1=0所截得的弦长为6，直线过圆心，a+b=1，=（）（a+b）=5+5+2=5+2，当且仅当a=2，b=3时取等号，的最小值为4
12、+2，故选：C点评： 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，基本不等式，其中根据已知条件，分析出圆心在已知直线上，进而得到a，b的关系式，是解答本题的关键6在ABC中，若，则=（） A B C D 考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 运用向量的三角形法则和向量垂直的条件，以及向量的数量积的定义，结合直角三角形的勾股定理和锐角三角函数的定义，计算即可得到解答： 解：由于，=，即有|+|=|，两边平方可得=0，即有，由勾股定理得|=2，则=|cosABC=1=故选B点评： 本题考查向量的三角形法则和向量垂直的条件，同时考查向量的数量积的定义，属于基础题和易错题7已知aR，若函
13、数f（x）=x2|x2a|有三个或者四个零点，则函数g（x）=ax2+4x+1的零点个数为（） A 1或2 B 2 C 1或0 D 0或1或2考点： 根的存在性及根的个数判断专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用分析： 函数f（x）=x2|x2a|有三个或者四个零点可化为函数m（x）=x2与函数h（x）=|x2a|有三个或者四个不同的交点，作图象确定a的取值范围，从而确定函数g（x）=ax2+4x+1的零点个数解答： 解：函数f（x）=x2|x2a|有三个或者四个零点，函数m（x）=x2与函数h（x）=|x2a|有三个或者四个不同的交点，作函数m（x）=x2与函数h（x）=|
14、x2a|的图象如下，结合图象可知，0.52a0.5，故a，当a=0时，函数g（x）=ax2+4x+1有一个零点，当a0时，=164a0，故函数g（x）=ax2+4x+1有两个零点，故选A点评： 本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题8设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a0，b0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足，则a+b取值范围为（） A （0，2 B 1，2 C 1，+） D 2，+）考点： 抛物线的简单性质专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： 曲线a|x|+b|y|=1（a0，b0），对x，y分类讨论画出图象：表示菱形ABCD由，即+设M
15、（1，0），N（1，0），可得：2|PM|2，|BD|2，解出即可解答： 解：曲线a|x|+b|y|=1（a0，b0），当x，y0时，化为ax+by=1；当x0，y0时，化为axby=1；当x0，y0时，化为ax+by=1；当x0，y0时，化为axby=1画出图象：表示菱形ABCD由，即+设M（1，0），N（1，0），则2|PM|2，|BD|2，解得b1，a+b1+1=2a+b取值范围为2，+）故选：D点评： 本题考查了直线方程、分类讨论思想方法、两点之间的距离公式，考查了数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题：本大题共7小题，第9，10每题三空，每空2分，第11，12
16、题每题两空，每空3分，第13，14，15每空4分，共36分9设全集U=R，集合A=x|x+10，B=x|x220，则AB=（，1，AB=（，），RB=（，+）考点： 交集及其运算；并集及其运算专题： 集合分析： 分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集，并集，B的补集即可解答： 解：由A中不等式解得：x1，即A=（，1，由B中不等式解得：x，即B=（，），则AB=（，1，AB=（，），RB=（，+），故答案为：（，1；（，）；（，+）点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键10设函数，则该函数的最小正周期为4，值域为2，2，单调递增区间为4k，4k，k
17、z考点： 余弦函数的图象专题： 三角函数的图像与性质分析： 由条件根据函数y=Asin（x+）的周期性、值域和单调性，可得结论解答： 解：函数的该函数的最小正周期为=4，值域为2，2令2kx+2k，求得4kx4k，故函数的减区间为4k，4k，kz故答案为：Z点评： 本题主要考查函数y=Asin（x+）的周期性、值域和单调性，属于基础题11某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积为cm3，外接球的表面积为12cm2考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题；作图题；空间位置关系与距离分析： 三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为
18、正方体截去一角解答： 解：该几何体为正方体截去一角，如图原正方体的体积为222=8；而截去部分是原正方体的，故该几何体的体积V=（1）8=，故其外接球是原正方体的外接球，其直径长为=2，故其半径r=；故外接球的表面积为4r2=12；故答案为：；12点评： 三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力12设不等式组所表示的平面区域为D，则区域D的面积为；若直线y=ax1与区域D有公共点，则a的取值范围是，+）考点： 简单线性规划；二元一次不等式（组）与平面区域专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面
19、区域，根据线性规划的性质即可得到结论解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的区域为三角形ABC，其中A（0，2），B（0，4），由，解得，即C（，），则ABC的面积S=，直线y=ax1过定点E（0，1），要使线y=ax1与区域D有公共点，则满足C在直线的下方或通过点C，此时=a1，解得a=则满足a，故答案为：点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键13F1，F2分别是双曲线=1的左右焦点，P为双曲线右支上的一点，A是PF1F2的内切圆，A与x轴相切于点M（m，0），则m的值为4考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据题意
20、，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF1|PF2|=8，转化为|AF1|HF2|=8，从而求得点A的横坐标解答： 解：如图所示：F1（5，0）、F2（5，0），内切圆与x轴的切点是点M，PF1、PF2与内切圆的切点分别为N、H，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|=2a=8由圆的切线长定理知，|PN|=|PH|，故|NF1|HF2 |=8，即|MF1|HF2|=8，设内切圆的圆心横坐标为x，则点M的横坐标为x，故（x+5）（5x）=8，x=4故答案为：4点评： 本题考查双曲线的定义、切线长定理，体现了转化的数学思想以及数形结合的数学思想，正确运用双曲线的定义是关键14定义在（，0）（0
21、，+）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列an，f（an），仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”现有定义在（，0）（0，+）上的如下函数：f（x）=3x；f（x）=x3； f（x）=； f（x）=log2|x|则其中是“等比函数”的f（x）的序号为考点： 等比数列的性质专题： 综合题；等差数列与等比数列分析： 根据新定义，结合等比数列中项的定义anan+2=an+12，逐一判断四个函数，即可得到结论解答： 解：由等比数列性质知anan+2=an+12，当f（x）=3x时，f（an）f（an+2）=3an3an+2=3an+an+232an+1=f2（an+1），故不正确；当f（x）
22、=x3时，f（an）f（an+2）=an3an+23=（an+13）2=f2（an+1），故正确；当f（x）=时，f（an）f（an+2）=f2（an+1），故正确；f（an）f（an+2）=log2|an|log2|an+2|log2|an+1|2=f2（an+1），故不正确故答案为：点评： 本题考查等比数列性质及命题的真假判断与应用，正确运算，理解新定义是解题的关键，属中档题15在ABC中，点M在BC边上，且满足，则cosMAB的最小值为考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 根据已知条件知ACBC，并且，MAB是向量的夹角，所以根据向量夹角的余弦公式即可得到cosMAB
23、=，而根据，设|=，带入上式即可得到cosMAB=，所以由基本不等式即可求得cosMAB的最小值解答： 解：如图，；ACBC；，；MAB是向量的夹角；cosMAB=；设，（）；cosMAB=，当时取“=”cosMAB的最小值为故答案为：点评： 考查两非零向量垂直的充要条件，直角三角形边的关系，向量加法的几何意义，数乘的几何意义，数量积的运算，求向量的长度：，两向量夹角的余弦公式，以及基本不等式求最值三、解答题：本大题共5小题，满分74分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC（）求角C的大小；（）当cosA+co
24、sB取得最大值时，试判断ABC的形状考点： 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用专题： 解三角形分析： （）由正弦定理化简已知等式可得，结合角C的范围即可得解（）由（1）知，则化简可得，结合A的范围可求取得最大值1时A，B，C的值，从而得解解答： 解：（）由结合正弦定理变形得：（3分）从而，（6分）0C，； （7分）（）由（1）知（8分）则=（11分），（12分）当时，取得最大值1，（13分）此时，（14分）故此时ABC为等腰三角形（15分）点评： 本题主要考查了正弦定理，三角函数中的恒等变换应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查17已知数列an是首项为2的等差数列，其前n项和Sn满足
25、4Sn=anan+1数列bn是以为首项的等比数列，且b1b2b3=（）求数列an，bn的通项公式；（）设数列bn的前n项和为Tn，若对任意nN*不等式恒成立，求的取值范围考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“裂项求和”可得，利用等比数列的前n项和公式可得Tn，利用数列的单调性即可得出解答： 解：（）设等差数列an的公差为d，由题意得， 4a1=a1（a1+d），解得d=2，an=2n，由，从而公比，（）由（）知，又，对任意nN*，等价于，对nN*递增，即的取值范围为（，3点评：
26、本题考查了递推式的应用、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AD=2，AB=1，AC=（）证明：MN平面PCD；（）求直线MN与平面PAD所成角的正切值考点： 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定专题： 证明题；空间位置关系与距离分析： （）取PD中点E，连结NE，CE，可证MNEC为平行四边形，由MNCE即可判定MN平面PCD（其它证法酌情给分）（）方法一：可证平面PAD平面ABCD，过M作MFAD，
27、则MF平面PAD，连结NF则MNF为直线MN与平面PAD所成的角，解三角形可得解；方法二：PAAB，PAAC，又可证ABAC，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，设平面PAD的一个法向量为，则设MN与平面PAD所成的角为，则由夹角公式即可求得MN与平面PAD所成角的正切值解答： 解：（）证明：取PD中点E，连结NE，CEN为PA中点，NE，又M为BC中点，底面ABCD为平行四边形，MCNEMC，即MNEC为平行四边形，（4分）MNCEEC平面PCD，且MN平面PCD，MN平面PCD （7分）（其它证法酌情给分）（）方法一：PA平面ABCD，PA平面ABCD，平
28、面PAD平面ABCD，过M作MFAD，则MF平面PAD，连结NF则MNF为直线MN与平面PAD所成的角，（10分）由AB=1，AD=2，得ACCD，由ACCD=ADMF，得，在RtAMN中，AM=AN=1，得在RtMNF中，直线MN与平面PAD所成角的正切值为 （15分）方法二：PA平面ABCD，PAAB，PAAC，又AB=1，BC=AD=2，AB2+AC2=BC2，ABAC （9分）如图，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则，N（0，0，1），P（0，0，2），（11分）设平面PAD的一个法向量为，则由，令y=1得，（13分）设MN与平面PAD所成的角为，
29、则，MN与平面PAD所成角的正切值为（15分）点评： 本题主要考查了线与平面平行的判定，求直线MN与平面PAD所成角的正切值，关键在于熟练掌握平面垂直的性质与直线与平面平行的判定定理及其应用，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题19如图，设抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，过点F的直线l1交抛物线C于A，B两点，且|AB|=8，线段AB的中点到y轴的距离为3（）求抛物线C的方程；（）若直线l2与圆x2+y2=切于点P，与抛物线C切于点Q，求FPQ的面积考点： 抛物线的简单性质专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （I）利用中点坐标公式、焦点弦长公式即可得出；（）设l2：y=kx
30、+m，由l2与O相切可得2m2=1+k2，直线与抛物线方程联立可得k2x2+（2km4）x+m2=0，利用直线l2与抛物线相切，可得=0可得km=1，联立解出k，m得出Q坐标，|PQ|，直线l2方程，利用点到直线l2的距离公式可得F（1，0）到的距离解答： 解：（）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB中点坐标为，由题意知，x1+x2=6，又|AB|=x1+x2+p=8，p=2，故抛物线C的方程为y2=4x；（）设l2：y=kx+m，由l2与O相切得，由k2x2+（2km4）x+m2=0，（*）直线l2与抛物线相切，=（2km4）24k2m2=0km=1由 ，得k=1，方程（*）为x22
31、x+1=0，解得x=1，Q（1，2），|PQ|=；此时直线l2方程为y=x+1或y=x1，令F（1，0）到l2的距离为，SPQF=点评： 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦点弦长公式、直线与圆及其抛物线相切转化为方程联立可得=0、弦长公式、三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题20已知函数f（x）=ax2+2bx+c（xR，a0）（）若a=1，c=0，且y=f（x）在1，3上的最大值为g（b），求g（b）；（）若a0，函数f（x）在8，2上不单调，且它的图象与x轴相切，求的最小值考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质专题： 分类讨论；函
32、数的性质及应用；不等式的解法及应用分析： （）求出a=1，c=0时的f（x）解析式，配方求出对称轴，讨论区间1，3与对称轴的关系，运用单调性即可得到最大值g（b）；（）由图象与x轴相切，可得判别式为0，由f（x）在8，2上不单调，可得对称轴介于8和2之间，再对所求式子整理变形，令t=2，8，结合基本不等式，即可得到最小值12解答： 解：（）a=1，c=0时，f（x）=x2+2bx=（xb）2+b2，对称轴是直线x=b，b1时，1，3为减区间，即有f（x）max=f（1）=12b；当1b3时，即有；当b3时，1，3为增区间，即有f（x）max=f（3）=9+6b综上所述，； （）函数f（x）的图象和x轴相切，=0即为4b24ac=0即为=（）2，f（x）在8，2上不单调，对称轴，即有=，设，即有=（t2）+62+6=12的最小值为12，此时当且仅当t2=3（0，6）t=5点评： 本题考查二次函数的最值求法，主要考查函数的单调性的运用，注意分类讨论的思想方法的运用和基本不等式的运用，同时考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题
