1、安徽省五校2021届高三数学上学期12月联考试题 理 考试时间： 2020年12月4日考生注意：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；第卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。3本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数、导数及其应用（含定积分），三角函数、解三角形，平面向量，复数，数列。第卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每
2、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则A B C D2.已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数为 A B C D3.设,则是的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4.已知点是圆上两点，的平分线交圆于点，则 A B C D5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车转动的角速度为，如图2所示，盛水桶在处距水面
3、的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为 A B C D 图1 图26.记是等差数列的前项和，已知，则A B C DOxyOxyxyO7.函数的部分图象可能是xyOA B C D 8.已知，则的大小关系为A B C D9.已知是边长为的等边三角形，点为内一点，且，则 A B C. D10.已知函数，则不等式的解集为 A B C D11.已知函数，是的零点，直线是图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为 A B C D12.若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为A B C D第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量为单位向量，其夹角为，则 .
4、14.函数的极小值为 .15.已知复数满足，其中为虚数单位，则的最大值为 .16.已知是等比数列的前项和，为的公比且.若，则下列命题中所有正确的序号是 .；.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17题满分为10分，第1822题每题满分为12分.17.（10分）已知函数.（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若，都有成立，求实数的取值范围.18.（12分）已知向量，设函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.19.（12分）设数列满足，.（1）计算，猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列的前
5、项和.20.（12分）的内角的对边分别是.设.（1）判断的形状；（2）若的外接圆半径为，求周长的最大值.21.（12分）第二届阜阳花博会2020年9月28日在颍上八里河开幕，其主题为“花漾水上，花开颍上”据调研获悉，某花卉基地培育有水生与水陆两生花卉30余种，计划在花博会期间举行展销活动经分析预算，投入展销费万元时，销售量为万个单位，且（，为正实数）假定销售量与基地的培育量相等，已知该基地每培育万个单位还需要投入成本万元（不含展销费），花卉的销售价定为万元/万个单位（1）写出该花卉基地的销售利润万元与展销费万元的函数关系；（2）展销费为多少万元时，该花卉基地可以获得最大利润？（注：）22.（1
6、2分）已知函数，.（1）若曲线在点处的切线过点，求实数的值；（2）当时，证明：.2021届高三“五校”联考理数答案 2020年12月4日一、选择题：题号123456789101112选项BCADDCBDCACB11.【解析】由对称轴和零点可知，得到 由在区间上单调可知，得到 由可知可能取3.当时，可得，满足在上单调，所以满足题意，故的最大值为3.12.【解析】解法一：易知在时恒成立，从而可知满足题意； 当时，原不等式可化为.记，则.而，因此，时；时；所以，.又也满足题意，所以的取值范围为，故选D.解法二：原不等式可化为，令，则.从而在恒成立，由切线法知，.二、填空题：13题. 14题. 15题
7、. 16题.15.【解析】由复数的几何意义可知，复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上，对应的点为定点，则表示，两点间距离，由解析几何知识得最大值为.16.【解析】，进而得.三、解答题：共70分. 17.【解析】（1）由题意可知在上恒成立，故2分可得，解得 4分（2）由题意可得，也即时恒成立可化为， 6分设，只要即可 8分，所以，所以10分18.【解析】（1） 2分 周期 3分 由 4分解得 5分所以，函数的单调递增区间为.6分 （2）由方程在上有两个不同的实数解 可得在上有两个不同的实数解 即函数与函数的图象有两个交点 8分 令，则 即函数与函数，的图象有两个交点 函数在上单调递增，
8、在上单调递减，草图如下且 10分 故. 12分19.【解析】（1） 2分猜想： 3分证明：由已知可得. 6分.（2） 7分 8分- 可得 10分 12分20.【解析】（1）解法一：中，由及正弦定理得，. 2分又，进而，从而即得为等腰三角形. 5分解法二：中，由及正弦定理得，进而. . 2分由余弦定理，化简得，即.所以，为等腰三角形. 5分（2）由正弦定理（为的外接圆直径）及题意， 7分由（1）知，且， 9分令，则，易知，当时，为递增的；当时，为递减的. 11分所以，当时有最大值，也即周长的最大值为. 12分21.【解析】（1）由题意得， 2分 4分， 所以（，为正实数） 5分（2）由（1）得，
9、 7分 易知，函数递增，函数递减 8分又，为正实数，故 9分所以，当，即时，时，函数取得最大值； 10分当，即时，时，函数取得最大值 11分综上所述，当时，展销费为万元时，该花卉基地可以获得最大利润；当时，展销费为万元时，该花卉基地可以获得最大利润. 12分22.【解析】（1）解法一：由题意， 1分 2分从而，曲线在点处切线方程为， 3分又该切线过点，则有， 4分解得. 5分解法二：由题意， 1分 2分由曲线在点处切线过点，则有， 4分即，解得. 5分（2）解法一：由题意，则. 7分易知，记，则可知在上递减，且，.使得. 9分从而，当时，即；当时，即.在递增，在递减. 10分由可得及，.(注：此处或者处理为“由可得，”）从而，. 12分解法二：记，则 6分易知， 所以，在递增，在递减，则.7分从而有9分由题意及上述结果， . 12分解法三：由题意， 欲证 ，只需证. 6分记 则从而易知在处有极大值也是最大值. 8分记则易知在递增，且，因此，有最小值.而 11分从而即证，也即. 12分
