1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。32.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念1对于函数yf(x)，若存在x，使f(x)f(x)，则函数yf(x)一定是奇函数()2不存在既是奇函数，又是偶函数的函数()3奇函数f(x)的定义域为R，且f(2)5，则f(2)5.()4若函数f(x)是奇函数，则f(0)0.()5若f(0)0，则函数f(x)是奇函数()【解析】1.提示：.反例：f(x)x2，存在x0，f(0)f(0)0，但函数f(x)x2不是奇函数2提示：.函数f(x)0，xR既是奇函数，又是偶函数34提示：.比如
2、：f(x)是奇函数，但是f(0)不存在5提示：.比如：f(x)满足f(0)0，但是f(x)是非奇非偶函数题组一利用定义判断函数的奇偶性1已知函数f(x)3x(x0)，则函数()A是奇函数，且在(0，)上是减函数B是偶函数，且在(0，)上是减函数C是奇函数，且在(0，)上是增函数D是偶函数，且在(0，)上是增函数【解析】选C.因为f(x)3xf(x)，又因为f(x)在(0，)上是增函数，所以f(x)是奇函数，且在(0，)上是增函数2如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是()Ayxf(x) Byxf(x)Cyx2f(x) Dyx2f(x)【解析】选B.因为f(x)是奇函
3、数，所以f(x)f(x).令yg(x).对于A，g(x)xf(x)xf(x)g(x)，所以yxf(x)是奇函数；对于B，g(x)xf(x)xf(x)g(x)，所以yxf(x)是偶函数；对于C，g(x)(x)2f(x)x2f(x)，由于g(x)g(x)，g(x)g(x)，所以yx2f(x)既不是奇函数也不是偶函数；对于D，g(x)(x)2f(x)x2f(x)g(x)，所以yx2f(x)是奇函数3下列函数为偶函数的是_(填序号).yx2(x0)；y(x1)；y2；y|x|(x0).【解析】对于，其定义域显然不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；又中，由得定义域为1，1)，不关于原点对称，故也是非奇非
4、偶函数；对于，其定义域为R，且对xR都满足f(x)f(x)2，故是偶函数答案：题组二函数的奇偶性的图象特征1已知奇函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，且不等式0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，则下列不等式中，正确的是()Af(5)f(3) Bf(5)f(5) Df(3)f(5)【解析】选C.设0x1x2，则x1x20，得f(x1)f(x2)0，即f(x1)5，可得f(3)f(5).2已知f(x)ax2bx1是定义在上的偶函数，则5a3b等于()A B C0 D【解析】选A.因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)，即ax2bx1ax2bx1，所以b0.又f(x)的定义域为，所以
5、3a22a0，所以a.故5a3b.3(1)若f(x)为奇函数，且在a，b上有最大值M，则f(x)在b，a上有最_(填“大”或“小”)值_(2)若f(x)为奇函数，f(x)2在xa，b上有最大值M，则f(x)2在xb，a上有最_(填“大”或“小”)值_【解析】(1)设xb，a，则xa，b，所以f(x)M且存在x0a，b，使f(x0)M.因为f(x)为奇函数，所以f(x)M，f(x)M，且存在x0b，a，使f(x0)M.所以f(x)在b，a上有最小值M.(2)由(1)知，f(x)在a，b上有最大值M2时，f(x)在b，a上有最小值M2.所以f(x)2在b，a上有最小值M4.答案：(1)小M(2)小
6、M4题组三利用函数的奇偶性求函数的解析式、函数值1已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于()A4 B3 C2 D1【解析】选B.因为f(x)是奇函数，所以f(1)f(1).又g(x)是偶函数，所以g(1)g(1).因为f(1)g(1)2，所以g(1)f(1)2.又f(1)g(1)4，所以f(1)g(1)4.由得g(1)3.2奇函数f(x)在(0，)上的解析式是f(x)x(1x)，则在(，0)上f(x)的函数解析式是()Af(x)x(1x) Bf(x)x(1x)Cf(x)x(1x) Df(x)x(x1)【解析】选B.设x0，因为函数f(x
7、)在(0，)上的解析式是f(x)x(1x)，所以f(x)x(1x)，又函数f(x)是奇函数，即f(x)f(x)，则当x0时，f(x)f(x)x(1x).3已知函数f(x)，若f(a)，则f(a)_【解析】根据题意，f(x)1，而h(x)是奇函数；故f(a)1h(a)1h(a)21h(a)2f(a)2.答案：易错点一忽略定义域而出错1若函数f(x)ax2(a2b)xa1是定义在(a，0)(0，2a2)上的偶函数，则f(1)等于()A1 B3 C D【解析】选B.因为偶函数的定义域关于原点对称，则a2a20，解得a2.又偶函数不含奇次项，所以a2b0，即b1，所以f(x)2x21.于是f(1)3.
8、2下列函数中是奇函数的为()Af(x)x3x5Bf(x)|x1|x1|Cf(x)Df(x)【解析】选A.对于A，函数的定义域为R.因为f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)，所以f(x)是奇函数；对于B，f(x)的定义域是R.因为f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，所以f(x)是偶函数；对于C.函数f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数；对于D，f(x)的定义域为R，当x0，f(x)(x)3x3，而f(x)x2，所以当xD()0，所以D(x)不是增函数所以D错误【易错误区】用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，需要判断定义域内的“任意一个x”，
9、都有f(x)f(x)或f(x)f(x)，不是只验证某一个或某几个限时30分钟分值60分战报得分_一、选择题(每小题5分，共30分)1下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的是()Ayx3 By|x|1Cyx21 Dyx【解析】选B.因为yx3在定义域R上是奇函数，故A不对；yx21在定义域R上是偶函数，但在(0，)上是减函数，故C不对；yx是奇函数，在(0，)上是增函数，故D不对；B中y|x|1是偶函数，且在(0，)上是增函数2已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)等于()A3 B1 C1 D3【解析】选C.令x1可得f(
10、1)g(1)1，因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(1)f(1)，g(1)g(1)，即f(1)g(1)1f(1)g(1)1.3已知f(x)x5ax3bx2，且f(5)17，则f(5)的值为()A13 B13 C19 D19【解析】选A.设g(x)x5ax3bx，则g(x)为奇函数f(x)g(x)2，f(5)g(5)217.所以g(5)15，故g(5)15.所以f(5)g(5)215213.4若函数f(x)为奇函数，则a等于()A1 B2 C D【解析】选C.由题意得f(x)f(x)，则，当x0时，2x2(2a1)xa2x2(12a)xa，所以2a112a，所以a
11、.当x0时，也符合所以a.5(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)xx2，则下列说法正确的是()Af(1)0Bf(x)的最大值为Cf(x)在(1，0)上是增函数Df(x)0的解集为(1，1)【解析】选AB.f(1)f(1)0，A正确；当x0时，f(x)xx2，所以f(x)的最大值为，B正确；f(x)在上是减函数，C错误；f(x)0的解集为(1，0)(0，1)，D错误6(金榜原创题)(多选)设a是实数，关于函数f(x)2x2的性质正确的为()A当a0时，f(x)是偶函数B当a0时，f(x)是非奇非偶函数C当a1时，f(x)在(，0)上是增函数D当a2时，f(x)在(0，
12、)上的最小值为12【解析】选AB.因为当a0时，f(x)2x2，所以f(x)是偶函数当a0时，f(1)23a，f(1)23a，所以f(1)f(1)6a0，即f(1)f(1)，所以f(x)不是偶函数，因为f(1)f(1)4，所以f(1)f(1)，所以f(x)不是奇函数，所以f(x)是非奇非偶函数当a1时，在(，0)上2x2是减函数，也是减函数，所以f(x)在(，0)上是减函数当a2时，f(1)812，所以f(x)在(0，)上的最小值为12是错误的二、填空题(每小题5分，共20分)7若f(x)(m1)x26mx2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(2)从小到大的排列是_【解析】因为f(x)是偶函数
13、，所以f(x)f(x)恒成立，即(m1)x26mx2(m1)x26mx2恒成立，所以m0，即f(x)x22.因为f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在x0，)上单调递减，所以f(2)f(1)f(0)，即f(2)f(1)f(0).答案：f(2)f(1)f(0)8已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0，2)时，f(x)2x2，则f(7)_【解析】f(7)f(34)f(3)f(14)f(1)，因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)，因为1(0，2)，所以f(1)2122，所以f(7)f(1)2.答案：29已知函数f(x)是定义在R上的奇函数当x0时，f(x)的解析式为_
14、，不等式f(x)0时，x0时，f(x)x24.当x0时，f(x)0，即x240，解得2x2，又因为x0，所以2x0时，f(x)0，即4x20，解得x2，又因为x0，所以x2.综上可得，f(x)0时，f(x)0，又f(1)2.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求证：f(x)是R上的减函数；(3)求f(x)在区间3，3上的值域；(4)若对任意xR，不等式f(ax2)2f(x)f(x)4恒成立，求a的取值范围【解析】(1)取xy0，则f(00)2f(0)，所以f(0)0.取yx，则f(xx)f(x)f(x)f(0)0，所以f(x)f(x)对任意xR恒成立，所以f(x)为奇函数(2)任取x1，x2(，
15、)，且x10，f(x2)f(x1)f(x2x1)0，所以f(x2)f(x2)，所以f(x)是R上的减函数(3)由(2)知f(x)在R上为减函数，所以对任意x3，3，恒有f(3)f(x)f(3)，因为f(3)f(2)f(1)f(1)f(1)f(1)236，所以f(3)f(3)6，f(x)在3，3上的值域为6，6.(4)f(x)为奇函数，整理原式得f(ax2)f(2x)f(x)f(2)，则f(ax22x)x2，当a0时，2xx2在R上不是恒成立，与题意矛盾；当a0时，ax22xx20，要使不等式恒成立，则98a；当a0在R上不是恒成立，不合题意综上所述，a的取值范围为.已知函数f(x)mx2nx3
16、mn是偶函数，且其定义域为m1，2m.(1)求m，n的值；(2)求函数f(x)在其定义域上的最大值【解析】(1)因为函数f(x)mx2nx3mn是偶函数，所以函数的定义域关于原点对称，又因为函数f(x)的定义域为m1，2m.所以m12m0，解得m，又由f(x)mx2nx3mnf(x)mx2nx3mn，可得n0.(2)由(1)得函数的解析式为f(x)x21，定义域为.其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线，当x时，f(x)取最大值，最大值为.【变式备选】 已知函数f(x)axc(a，b，c是常数)是奇函数，且满足f(1)，f(2).(1)求a，b，c的值；(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性并证明【解析】(1)因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，所以axcaxc，所以c0，所以f(x)ax.又因为f(1)，f(2)，所以所以a2，b.综上，a2，b，c0.(2)由(1)可知f(x)2x.函数f(x)在区间上单调递减证明如下：任取0x1x2，则f(x1)f(x2)2x12x2(x1x2)(x1x2)因为0x1x2，所以x1x20，4x1x210，f(x1)f(x2).所以f(x)在上单调递减关闭Word文档返回原板块
