1、2.2等差数列22.1等差数列自主学习 知识梳理1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的差都等于_常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，通常用字母_表示2等差中项如果A，那么A叫做a与b的_3等差数列的单调性等差数列的公差_时，数列为递增数列；_时，数列为递减数列；_时，数列为常数列4等差数列的通项公式an_，当d0时，an_，an是关于n的_函数；当d0时，an_，an是关于n的_函数，点(n，an)分布在一条以_为斜率的直线上，是这条直线上的一列_的点5等差数列的性质(1)若an是等差数列，且klmn(k、l、m、nN*)，则_(2)若an
2、是等差数列且公差为d，则a2n也是_，公差为_(3)若an是等差数列且公差为d，则a2n1a2n也是_，公差为_ 自主探究如果等差数列an的首项是a1，公差是d，你能用两种方法求其通项吗？对点讲练知识点一等差数列的通项公式例1若an是等差数列，a158，a6020，求a75.总结方法一：先求出a1，d，然后求a75；方法二：应用通项公式的变形公式anam(nm)d求解变式训练1在等差数列an中，已知amn，anm，求amn的值知识点二等差数列的性质例2已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式总结要求通项公式，需要求出首项a1和公差d，由a1a4a715，a2a
3、4a645直接求解很困难，我们可以换个思路，利用等差数列的性质，注意到a1a7a2a62a4问题就简单了变式训练2成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数知识点三等差数列的判断例3已知数列an满足a14，an4 (n2)，令bn.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式总结判断一个数列an是否是等差数列，关键是看an1an是否是一个与n无关的常数变式训练3若，是等差数列求证：a2，b2，c2成等差数列1证明数列an为等差数列的方法(1)定义法：an1and (d为常数，n1)an为等差数列或anan1d (d为常数，n2)an为等差数列(2)等差
4、中项法：2an1anan2an是等差数列(3)通项法：anpnq (p、qR)an是等差数列，只要说明an为n的一次函数，就可下结论说an是等差数列2三个数成等差数列可设为：ad，a，ad或a，ad，a2d；四个数成等差数列可设为：a3d，ad，ad，a3d或a，ad，a2d，a3d. 课时作业一、选择题1在等差数列an中，a13a8a15120，则2a9a10的值为()A24 B22 C20 D82已知等差数列an中，a29，则an为()A14n3 B16n4 C15n39 D15n83等差数列an的公差d0d0d04a1(n1)da1常数dn(a1d)一次d孤立5(1)akalaman(2
5、)等差数列2d(3)等差数列4d自主探究解第一种方法：根据等差数列的定义，可以得到a2a1d，a3a2d，a4a3d，.所以a2a1d，a3a2d(a1d)da12d，a4a3d(a12d)da13d，由此得出：ana1(n1)d.第二种方法：由等差数列的定义知，anan1d(n2)，所以(n1)个将以上(n1)个等式两边分别相加，可得ana1(n1)d，即ana1(n1)d.对点讲练例1解设an的公差为d.方法一由题意知解得所以a75a174d7424.方法二因为a60a15(6015)d，所以d，所以a75a60(7560)d201524.变式训练1解方法一设公差为d，则d1，从而amna
6、m(mnm)dnn(1)0.方法二设等差数列的通项公式为ananb(a，b为常数)，则得a1，bmn.所以amna(mn)b0.例2解因为a1a72a4，a1a4a73a415，所以a45.又因为a2a4a645，所以a2a69，即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9，解得d2.若d2，ana4(n4)d2n3；若d2，ana4(n4)d132n.变式训练2解设这四个数为a3d，ad，ad，a3d，则由题设得解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.例3(1)证明an4 (n2)，an14 (nN*)bn1bn.bn1bn，nN*.bn是等差数列，首项为，公差为.(
7、2)解b1，d.bnb1(n1)d(n1).，an2.变式训练3证明，是等差数列，.(ab)(ca)(bc)(ca)2(ab)(bc)(ca)(ac2b)2(ab)(bc)2ac2ab2bca2c22ab2ac2bc2b2a2c22b2，a2，b2，c2成等差数列课时作业1A2Ca29，a3(9)6，da3a215，ana2(n2)d9(n2)1515n39.3D由所以ana1(n1)d，即an8(n1)(2)，得an2n10.4C方法一设an首项为a1，公差为d，则a3a4a5a6a7a12da13da14da15da16d5a120d即5a120d450，a14d90，a2a8a1da17
8、d2a18d180.方法二a3a7a4a62a5a2a8，a3a4a5a6a7(a2a8)450，a2a8180.5D2an12an1，an1an.故数列an是首项为2，公差为的等差数列a101a1100d210052.6.解析nm3d1，d1(nm)又nm4d2，d2(nm).7.解析2d，即d.所以4d，所以a10.8.解析由题意设这4个根为，d，2d，3d.则2，d，这4个根依次为，n，m或n，m，|mn|.9解设ana1(n1)d，则a4a9a6a7(a13d)(a18d)(a15d)(a16d)(a11a1d24d2)(a11da130d2)6d20，所以a4a9a6a7.10解(1)依题意有a13，d734，an34(n1)4n1.设an4n1135，得n34，135是数列an的第34项由于4m194(m5)1，且mN*，4m19是数列an的第m5项(2)am、at是数列an中的项，am4m1，at4t1.2am3at2(4m1)3(4t1)4(2m3t1)1.2m3t1N*，2am3at是数列an中的第2m3t1项