1、河南省 2020 届高三数学招生模拟考试试题 理（含解析）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合|2,0 xAy yx，2|log(2)Bx yx，则()RAB A.0,1)B.(1,2)C.(1,2 D.2,)【答案】
2、C【解析】【分析】化简集合 A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：1A，2B，,2RB ,1,2RAB,故选 C【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力 2.已知复数 z 满足(13)1i zi ，则复平面内与复数 z 对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案【详解】由131i zi ，得 1131313113131 344131313iiiiziiii，复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（134，134），在第四象
3、限 故选 D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 3.已知函数44()sincosf xxx，则下列说法正确的是 A.()f x 的最小正周期为2 B.()f x 的最大值为 2 C.()f x 的图像关于 y 轴对称 D.()f x 在区间,4 2 上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】f（x）sin4xcos4xsin2xcos2xcos2x，函数的最小正周期 T，f（x）cos（2x）cos2xf（x），f（x）为偶函数，其图象关于 y 轴对称，f（x）cos2x 在 4，2 上单调递减，故 f（
4、x）cos2x 在 4，2 上单调递增 故选 C【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键 4.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段 AB2，过点 B 作 AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取 BC 12AB，连接 AC；（2）以 C 为圆心，BC 为半径画弧，交 AC 于点 D；（3）以 A 为圆心，以 AD 为半径画弧，交 AB 于点 E则点 E 即为线段 AB 的黄金分割点若在线段 AB 上随机取一点 F
5、，则使得 BEAFAE 的概率约为（）（参考数据：5 2.236）A.0.236 B.0.382 C.0.472 D.0.618【答案】A【解析】【分析】由勾股定理可得：AC 52.236，由图易得：0.764AF1.236，由几何概型可得概率约为1.2360.7642 0.236【详解】由勾股定理可得：AC 52.236，由图可知：BCCD1，ADAE 5 1 1.236，BE21.2360.764，则：0.764AF1.236，由几何概型可得：使得 BEAFAE 的概率约为1.2360.7642=0.236，故选 A 【点睛】本题考查了勾股定理、几何概型求概率的问题，属于基础题 5.已知等
6、比数列na中，有3 1174a aa，数列 nb是等差数列，其前n 项和为nS，且77ba，则13S（）A.26 B.52 C.78 D.104【答案】B【解析】【分析】设等比数列 na公比为 q，利用等比性质可得2774aa，即77ba，再结合13713Sb，即可得到结果.【详解】设等比数列 na的公比为 q，3 1174a aa，2774aa0，解得7a 4，数列 nb是等差数列，且77ba 1131377131313522bbSba 故选：B【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 6.已知两条直线,a b 和平面，若b，则/ab 是/
7、a 的（）A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】D【解析】【分析】先判断/aba与/aab 的真假，然后利用充要条件的定义，得到/ab 与/a 的关系【详解】当b时，若/ab 时，a 与 的关系可能是/a，也可能是a，即/a 不一定成立，故/aba为假命题；若/a 时，a 与b 的关系可能是/ab，也可能是a 与b 异面，即/ab 不一定成立，故/aab 也为假命题；故/ab 是/a 的既不充分又不必要条件 故选：D【点睛】本题考查充要条件、直线与平面平行关系的判断，求解的关键是先判断/aba与/aab 的真假.7.已知函数123,2,()l
8、og(1),2,xexf xxx 若()1f a，则a 的取值范围是 A.1,2)B.1,)C.2,)D.(,21,)【答案】B【解析】【分析】依题意，对 a 分 a2,与 a2讨论，再解相应的不等式即可【详解】123,2,log1,2,xexf xxx，1f a 121aae 或232log11aa 即210aa 或2213aa 即1 a2a2或 a 的取值范围是1,故选 B【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用，突出考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于中档题 8.若 x，y 满足约束条件22,2,20,xyyxx 则2yx 的取值范围为 A.1,12 B.1(,1,)2 C.0,
9、1 D.1,12【答案】A【解析】【分析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得【详解】作出 x，y 满足约束条件22220 xyyxx 的可行域如图：ABC，2yx 表示区域内的点与点（2，0）连线的斜率，联方程组222xxy可解得 B（2，2），同理可得 A（2，4），当直线经过点 B 时，M 取最小值：21222，当直线经过点 A 时，M 取最大值422 1 则2yx 的取值范围：12，1 故选 A 【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线
10、的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9.2019开封一模已知数列na中，112a，111nnaa ，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是 2，则判断框内的条件不可能是（）A.2012n B.2015n C.2017n D.2018n 【答案】C【解析】【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算 A 的值是以 3 为周期的函数，当程序运行后输出 A2 时求出满足题意的选项即可【详解】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A12，n1；第
11、1 次循环，A121，n1+12；第 2 次循环，A1+12，n2+13；第 3 次循环，A11122，n3+14；所以，程序运行时计算 A 的值是以 3 为周期的函数，当程序运行后输出 A2 时，n 能被 3 整除，此时不满足循环条件 分析选项中的条件，满足题意的 C 故选 C【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输
12、出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.已知 ABC中，60A ，6AB，4AC，O 为 ABC所在平面上一点，且满足OAOBOC.设 AOABAC，则的值为（）A.2 B.1 C.1118 D.711【答案】C【解析】【分析】由由OAOBOC，得：点O 是 ABC的外心，由向量的投影的概念可得：188AO ABAO AC，再代入运算 623342，即可【详解】解：由OAOBOC，得：点O 是 ABC的外心，又外心是中垂线的交点，则有：188AO ABAO AC，即()?18()?8ABAC ABABAC AC，又6AB，4AC，12AB AC，所以6
13、23342，解得：4916，即41119618，故选：C 【点睛】本题考查了外心是中垂线的交点，投影的概念，平面向量的数量积公式，属中档题.11.已知 P 是双曲线22221(0,0)xyabab上一点，且在 x 轴上方，1F，2F 分别是双曲线的左、右焦点，12|12FF，直线2PF 的斜率为 4 3，12PFF的面积为24 3，则双曲线的离心率为 A.3 B.2 C.3 D.2 【答案】B【解析】【分析】利用三角形的面积求出 P 的纵坐标，通过直线的斜率，求出 P 的横坐标，然后求解 a，c，然后求解双曲线的离心率即可【详解】P 是双曲线2222xyab 1（a0，b0）上一点，且在 x
14、轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|12，c6，PF1F2的面积为 24 3，可得 P 的纵坐标 y 为：1 1224 32y，y4 3 直线 PF2的斜率为4 3，所以 P 的横坐标 x 满足：4 36yx，解得 x5，则 P（5，4 3），|PF1|22(56)(4 30)13，|PF2|22(56)(4 30)7，所以 2a137，a3，所以双曲线的离心率为：eca 2 故选 B【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得,a c 的值，直接代入公式cea求解；（2）列出关于,a b c 的齐次方程(或不等式)，然后根据222bac，消去b 后转化成关于e的方程(
15、或不等式)求解 12.已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个定点，60ABC，2AC，P 为球 O 的球面上的动点，记三棱锥 p 一 ABC 的体积为1V，三棱锥 O 一 ABC 的体积为2V，若12VV 的最大值为 3，则球 O 的表面积为()A.169 B.649 C.32 D.6 【答案】B【解析】【分析】设 ABC的外接圆圆心为O，其半径为 r，球O 的半径为 R，且OOd，根据体积比求得2Rd，利用球的性质，得23Rr，再由三角形的性质，求得23r，利用球的表面积公式，即可求解【详解】由题意，设 ABC的外接圆圆心为O，其半径为 r，球O 的半径为 R，且OOd 依题意可知12m
16、ax3VRdVd，即2Rd，显然222Rdr，故23Rr，又由42sin3ACrABC，故23r，球O 的表面积为221664439Rr，故选 B.【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的性质的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，合理利用求得性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和
17、羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢如果让三位同学选取的礼物都满意,则选法有_种【答案】50【解析】【分析】先分情况甲选牛共有1121020CC,甲选马有1131030CC,得出结果若【详解】解:先分类,若甲同学选了牛,则乙同学有 2 种选法,丙同学有10 种选法,共有1121020CC种选法；若甲同学选了马,则乙同学有3 种选法,丙同学有10 种选法,共有1131030CC种选法 故三位同学的选法共有203050（种）【点睛】本题主要考查了排列组合,分情况选择是解题的关键,属于基础题.14.已知正数,x y 满足221xy，则当 x _时，11xy取得最小值，最小值为_【答案】(1).22 (2).2
18、 2 【解析】【分析】先 根 据 基 本 不 等 式 得222xyxy,结 合221xy得12xy,再 由 基 本 不 等 式 得11122 2xyxy,最后检验22xy=时成立即可.【详解】解:由基本不等式可得222xyxy,当且仅当 xy时等号成立 正数,x y 满足221xy,12xy,当且仅当22xy=时等号成立11122 2xyxy,当且仅当22xy=时等号成立,11xy的最小值为2 2 故答案为:(1).22 (2).2 2 【点睛】本题考查基本不等式,要注意”一定二正三相等”.15.已知函数()f x 是定义域为(,)的偶函数，且(1)f x 为奇函数，当0,1x时，3()1f
19、xx，则29()2f _【答案】78【解析】【分析】先由题意，f x 是定义域为,的偶函数，且1f x 为奇函数，利用函数的奇偶性推出()f x 的周期4T，可得291()()22ff，然后带入求得结果.【详解】因为1f x 为奇函数，所以(1)(1)(2)()fxf xfxf x 又因为 f x 是定义域为,的偶函数，所以()()fxf x 即(2)()(2)()fxfxf xf x 所以()f x 的周期4T 因为295551()(12)()(2)()22222fffff 2117()1()228f 所以297()28f 故答案为78【点睛】本题主要考查了函数的性质，函数性质的变形以及公式
20、的熟记是解题的关键，属于中档题.16.已知点 E 在 y 轴上，点 F 是抛物线22(0)ypx p的焦点，直线 EF 与抛物线交于M，N 两点，若点 M 为线段 EF 的中点，且|12|NF，则 p _【答案】8【解析】【分析】设0,Eb，又,02pF，由 M 为 EF 的中点，求得 0,2Ep，直线 EF 的方程代入22ypx，得22450 xpxp，求得点 N 的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解【详解】设0,Eb，又,02pF，因为 M 为 EF 的中点，所以点 M 的坐标为,4p y，则22242ppyp，即2,42pMp，又由 0222bp，则2bp，即 0,2Ep，直线 EF 的
21、方程为2 22yxp，代入22ypx，得22450 xpxp，设,N x y，则544pxp，解得 xp，由抛物线的定义得：122pNFp，解得：8p 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和抛物线的定义合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17.已知 ABC的面积为3 3，且内角、ABC 依次成
22、等差数列.（1）若sin3sinCA，求边 AC 的长；（2）设 D 为边 AC 的中点，求线段 BD 长的最小值.【答案】（1）2 7（2）3.【解析】【分析】（1）由题意可得60B ，结合面积公式得12ac.利用正弦定理角化边，据此可得 a,c值，最后由余弦定理可得 AC 的长.（2）由题意可得12BDBCBA，利用向量的运算法则和均值不等式的结论可得 BD 长的最小值.【详解】（1）ABC三内角 ABC、依次成等差数列，60B 设 ABC、所对的边分别为,a b c,由13 32SacsinB可得12ac.3sinCsinA，由正弦定理知3,2,6caac.ABC中，由余弦定理可得222
23、228,2 7bacaccosBb.即 AC 的长为 2 7 （2）BD 是 AC 边上的中线，12BDBCBA 222222211122444BDBCBABC BAacaccosBacac 1 294acac，当且仅当ac时取“”3BD,即 BD 长的最小值为3.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围 18.如图,在三棱锥 ABCD中,ABC 是等边三角形,90BADBCD ,点 P 是 AC 的中点,连接,BP
24、 DP （1）证明:平面 ACD 平面 BDP;（2）若6BD,且二面角 ABDC为120,求直线 AD 与平面 BCD 所成角的正弦值【答案】（1）见解析（2）22【解析】【分析】（1）由ABC 是 等 边 三 角 形,90BADBCD ,得 ADCD 再 证 明PDAC,PBAC,从而和证明 AC 平面 PBD,故平面 ACD 平面 BDP 得证（2）作CEBD,垂足为 E 连接 AE 由RtRtABDCBD,证得,AEBD,AECE结合二面角 ABDC为120,可得2AB,2 33AE,63ED.建立空间直角坐标系,求出点的坐标则60,03D,3,0,13A,向量36,133AD,即平面
25、 BCD的一个法向量(0,0,1)m,运用公式cos,m ADm ADm AD 和sincos,m AD ,即可得出直线 AD 与平面 BCD 所成角的正弦值【详解】解:（1）证明:因为 ABC 是等边三角形,90BADBCD ,所以RtRtABDCBD,可得 ADCD 因为点 P 是 AC 的中点,则 PDAC,PBAC,因为 PDPBP,PD 平面 PBD,PB 平面 PBD,所以 AC 平面 PBD,因为 AC 平面 ACD,所以平面 ACD 平面 BDP （2）如图,作CEBD,垂足为 E 连接 AE 因为RtRtABDCBD,所以,AEBD,AECEAEC为二面角 A-BD-C 的平
26、面角 由已知二面角 ABDC为120,知120AEC 在等腰三角形 AEC 中,由余弦定理可得3ACAE 因为 ABC 是等边三角形,则 ACAB,所以3ABAE 在 RtABD 中,有 1122AE BDAB AD,得3BDAD,因为6BD,所以2AD 又222BDABAD,所以2AB 则2 33AE,63ED 以 E 为坐标原点,以向量,EC ED 的方向分别为 x 轴,y 轴的正方向,以过点 E 垂直于平面 BCD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 Exyz,则60,03D,3,0,13A,向量36,133AD,平面 BCD 的一个法向量为(0,0,1)m,设直线 AD 与平面 BC
27、D 所成的角为,则12cos,22 1m ADm ADm AD ,2sin|cos,|2m AD 所以直线 AD 与平面 BCD 所成角的正弦值为22【点睛】本题考查面面垂直的证明和线面所成角的大小,考查空间想象力和是数形结合的能力,属于基础题.19.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，短轴长为 2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l ykxm与椭圆C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，若54OMONkk，求证：点(,)m k 在定圆上.【答案】（1）椭圆C 的标准方程为2214xy （2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由已知可得32cea，221bb，2a
28、 椭圆C 为2214xy；（2）由2214ykxmxy 222418440kxkmxm2241mk，且12xx 21222844,4141kmmx xkk 22121212y yk x xkm xxm，又1212121255 4544OMONy ykky yx xx x221212124445k x xkm xxmx x22451km 22228410k mmk2254mk，由得226150,5 204mk 点,m k 在定圆2254xy上.试题解析：（1）设焦距为 2c，由已知32cea，22b，1b ，2a，椭圆C 的标准方程为2214xy.（2）设1122,M x yN xy，联立221
29、4ykxmxy得222418440kxkmxm，依题意，22284 41 440kmkm，化简得2241mk，2121222844,4141kmmxxx xkk，2212121212y ykxmkxmk x xkm xxm，若54OMONkk，则121254y yx x，即121 245y yx x，221212124445k x xkm xxmx x，22222418454404141mkmkkmmkk，即2222224518410kmk mmk，化简得2254mk，由得226150,5 204mk.点,m k 在定圆2254xy上.（没有求k 范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程
30、及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为2214xy；（2）设而不求法求得2214ykxmxy 222418440kxkmxm2241mk，再利用韦达定理转化得22228410k mmk2254mk，由得226150,5 204mk 点,m k 在定圆2254xy上.20.已知函数()ln1xf xmex.（1）当1m 时，求曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程；（2）若(1,)m，求证：()1f x .【答案】（1）(
31、1)yex；（2）见解析【解析】【分析】（1）代入1m ,可得()yf x的解析式.求得导函数,即可得直线方程的斜率,求得点坐标后,由点斜式即可求得切线方程.（2）根据放缩法,由1m 得()ln1ln1xxf xmexex .从而证明ln20 xex即可.构造函数()lnxg xex,通过求得导函数1()xg xex,再令1()xh xex,求得21()0 xh xex.即可判断1()xh xex的单调性,进而求得1()xg xex的零点所在区间,并判断出该零点为()lnxg xex的极小值点,求得在该点的最小值,即证明不等式成立.【详解】（1）当1m 时,()ln1xf xex 所以1()x
32、fxex 所以(1)1fe ,又因为(1)1 fe,即点坐标为(1,1)e 所以曲线()yf x在点(1,1)e处的切线方程为(1)(1)(1)yeex 即(1)yex（2）证明：当1m 时,()ln1ln1xxf xmexex ,要证明()1f x ,只需证明ln20 xex,设()lnxg xex,则1()xg xex,设1()xh xex,则21()0 xh xex,所以函数1()()xh xg xex在(0,)上单调递增,因为121202ge ,(1)10ge ,所以函数1()xg xex在(0,)上有唯一零点0 x,且01,12x,因为00gx,所以001xex,即00ln xx,当
33、00,xx时,()0g x；当0,xx 时,()0g x,所以当0 xx时,()g x 取得最小值 0g x,故000001()=eln220 xg xg xxxx,01,12x 综上可知,若(1,)m,()1f x .【点睛】本题考查了利用导数求切线方程,由导数证明不等式成立.根据导数判断函数的单调性和极值,函数的最值及零点的综合应用,对思维能力要求较高,是高考的常考点和重难点,属于难题.21.2019 年 12 月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切
34、接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为 01pp，某位患者在隔离之前，每天有a 位密切接触者，其中被感染的人数为()0XXa，假设每位密切接触者不再接触其他患者.（1）求一天内被感染人数为 X 的概率 P X与 a、p 的关系式和 X 的数学期望；（2）该病毒在进入人体后有 14 天的潜伏期，在这 14 天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有 a 位密切接触者，从某一名患者被感染，按第 1 天算起，第n 天新增患者的数学期望记为)2(nE n.（
35、i）求数列nE的通项公式，并证明数列nE为等比数列；（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率ln 123 ppp，当 p 取最大值时，计算此时 p 所对应的6E 值和此时 p 对应的6E 值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取10a）（结果保留整数，参考数据：12ln51.6,ln31.1,ln 20.7,0.3,0.733）【答案】（1）()(1)XXa XaP XC pp；EXap.（2）（i）2(1)nnEapap，证明见解析；（ii）16，6480，戴口罩很有必要.【解析】【分析】（1）由题意，被感染人数服从二项分布：(,)XB a p，则可求出概率及数学期望；
36、（2）（i）根据第n 天被感染人数为1(1)nap，及第1n 天被感染人数为2(1)nap，作差可得可得，122(1)(1)(1)nnnnEapapapap，可证，（ii）利用导数计算此时 p 所对应的6E 值和此时 p 对应的6E 值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.【详解】（1）由题意，被感染人数服从二项分布：(,)XB a p，则()(1)XXa XaP XC pp,(0)Xa，X 的数学期望 EXap.（2）（i）第n 天被感染人数为1(1)nap，第1n 天被感染人数为2(1)nap，由题目中均值的定义可知，122(1)(1)(1)nnnnEapapapap 则11nnEapE ，且
37、2Eap.nE是以ap 为首项，1ap为公比的等比数列.（ii）令2()ln(1)3f ppp，则1221()133(1)pfppp.()f p1(0,)2上单调递增，在 1(,1)2上单调递减.max1311()()lnln3ln 21.1 0.70.30.12233f pf.则当10a，210(1 10)nnEpp 4610 0.1(1 10 0.1)=16E .4610 0.5(1 10 0.5)=6480E.66EE 戴口罩很有必要.【点睛】本题考查二项分布的概率及期望，数学期望与数列综合，考查综合分析及转化能力，考查知识的迁移能力，属于较难题.（二）选考题：共 10 分请考生在第 2
38、2、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22.在极坐标系中,直线l 的极坐标方程为3()R 以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C 的参数方程为2sin1 cos2xy,（为参数）（1）请写出直线l 的参数方程;（2）求直线l 与曲线C 交点 P 的直角坐标【答案】（1）直线 l 的参数方程为1232xtyt（t 为参数）；（2）0,0.【解析】【分析】（1）将直线l 的极坐标方程直接转化为直角坐标防尘,再根据直角坐标方程得出参数方程.（2）将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程,与直线联立求出交点坐标,再根据的取值范围选取符合条件的 P 点坐标。【详解
39、】解:（1）因为直线l 的极坐标方程为3()R,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,则直线l 的直角坐标方程为3yx 所以3sin2,1cos2,则直线l 的参数方程为1232xtyt（t 为参数）.（2）又因为曲线C 的参数方程为2sin1 cos2xy,（为参数）.所以22sin2sinxy,则曲线C 的直角坐标方程为21,2,22yxx,联立解方程组得00 xy或2 36xy,根据 x 的取值范围,舍去2 36xy.故点 P 的直角坐标为0,0.【点睛】本题主要考查参数的方程的计算,以及直角坐标与极坐标的转化运算。23.回答下面问题（1）已知,x yR,且1|6xy,
40、1|4xy,求证：|5|1xy （2）已知实数,a b c d e满足8abcde,2222216abcde,试确定e最大值【答案】（1）见解析（2）最大值165【解析】【分析】（1）利用|5|3()2()|xyxyxy,再利用绝对值不等式的性质即可得出结论.（2）根据柯西不等式,构造出2222222221111()abcdabcd ,结合已知条件建立关于e 的二次不等式,解之即可得到实数e 的最大值【详解】解:（1）证明:因为|5|3()2()|xyxyxy,所以|5|3()2()|3()|2()|xyxyxyxyxy 113|2|32164xyxy ,即|5|1xy （2）由已知得22222816abcdeabcde,由柯西不等式知2222222221111()abcdabcd ,故 224 16(8)ee,解得1605e,当且仅当65abcd时,e 取得最大值165【点睛】考查绝对值不等式的性质和利用柯西不等式求最值,另外要注意柯西不等式的应用条件.
