1、小题基础练(五)数学文化1饕餮(to ti)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为()A. B. C. D.解析：点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次的所有基本事件有：(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)，共8种不同的跳法(线路)
2、，符合题意的只有(下，下，右)这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为.答案：B2周髀算经有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为()A七尺五寸 B六尺五寸C五尺五寸 D四尺五寸解析：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，设十二节气第n(nN*)个节气的日影长为an
3、，则数列an为等差数列，设其公差为d，前n项和为Sn，则解得所以a10a19d9，因此，立夏日影长为四尺五寸答案：D3九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一方田中有如下两个问题：三三今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？三四又有宛田，下周九十九步，径五十一步问为田几何？翻译为：三三现有扇形田，弧长30步，直径长16步问这块田面积是多少？三四又有一扇形田，弧长99步，直径长51步问这块田面积是多少？则下列说法正确的是()A问题三三中扇形的面积为240平方步B问题三四中扇形的面积为平方步C问题三三中扇形的面积为60平方步D问题三四中扇形的面积为平方步解析：依题意，问题三三中扇形的面积为
4、lr30120平方步，问题三四中扇形的面积为lr99平方步答案：B4十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0，1均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为_参考数据：lg 20.301 0，lg 30
5、.477 1()A3 B4 C5 D6解析：第一次操作去掉的区间长度为；第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；第n次操作去掉2n1个长度为的区间，长度和为.于是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为Sn1，由题意，1，即nlglg ，解得：n3.97，又n为整数，所以n的最小值为4.答案：B5我国古代著名数学家刘徽的杰作九章算术注是中国最宝贵的数学遗产之一，书中记载了他计算圆周率所用的方法先作一个半径为1的单位圆，然后做其内接正六边形，在此基础上做出内接正62n(n1，2，)边形，这样正多边形的边逐渐逼近圆周，从而得到圆周率，这种方法称为“刘徽
6、割圆术”现设单位圆O的内接正n边形的一边为AC，点B为劣弧的中点，则BC是内接正2n边形的一边，现记ACSn，ABS2n，则()AS2n BS2n CS2n2 DS2n 解析：法一设AOB，则在AOB中，由余弦定理得S22cos ，设AC与OB相交于点D，则ODAD，所以cos ，所以S22 2，故选A.法二设AC与OB相交于点D，则ODAD，因为ADSn，所以OD，所以BD1OD1 ，所以S2n，故选A.答案：A6.玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于杭州市余杭区反山文化遗址玉琮王通高8.8 cm，孔径4.9 cm、外径17.6 cm.
7、琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图像兽面的两侧各浅浮雕鸟纹器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔试估计该神人纹玉琮王的体积约为(单位：cm3)()A6 250 B3 050 C2 850 D2 350解析：由题可知，该神人纹玉琮王可看作是一个底面边长为17.6 cm，高为8.8 cm的正四棱柱中挖去一个底面直径为4.9 cm，高为8.8 cm的圆柱，此时求得体积记为V1，V1(17.6)28.88.82 560 cm3，记该神人纹玉琮王的实际体积为V，则V8.88.81 975 cm3，故1 975V8，所以n3，n的最小整数为4.答案：C9周髀算经中给出了：
8、冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论已知某地立春与雨水两个节气的日影长分别为10.5尺和9.5尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于5尺的概率为()A. B. C. D.解析：设这十二节气中第n(nN*)个节气的日影长为an尺，可知数列an为等差数列，设其公差为d，由题意得a410.5，a59.5，所以da5a41，所以ana4(n4)d10.5(n4)14.5n.令an14.5n5.5；令an14.5n9.5.从该地日影长小于9尺的节气中随机
9、抽取2个节气，所有的基本事件有：(a6，a7)、(a6、a8)、(a6、a9)、(a6、a10)、(a6、a11)、(a6、a12)、(a7、a8)、(a7、a9)、(a7、a10)、(a7、a11)、(a7、a12)、(a8、a9)、(a8、a10)、(a8、a11)、(a8、a12)、(a9、a10)、(a9、a11)、(a9、a12)、(a10、a11)、(a10、a12)、(a11、a12)，共21个，其中，事件“所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于5尺”所包含的基本事件有：(a6、a10)、(a6、a11)、(a6、a12)、(a7、a10)、(a7、a11)、(a7、a12
10、)、(a8、a10)、(a8、a11)、(a8、a12)、(a9、a10)、(a9、a11)、(a9、a12)，共12个，因此，所求事件的概率为.答案：B10古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2，且短轴长为2，则C的标准方程为()A.y21 B.1C.1 D.1解析：由题意可得解得a2，b，因为椭圆C的焦点在x轴上，所以C的标准方程为1.答案：B11我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等
11、，那么这两个几何体的体积相等现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一，则该几何体的体积为()A. B. C.4 D.解析：由题意可知，该几何体的体积等于圆锥的体积，因为圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一，所以圆锥的底面周长为2，所以圆锥的底面半径为1，母线长为3，所以圆锥的高为2，所以圆锥的体积V圆锥122.从而所求几何体的体积为V.答案：A12据记载，欧拉公式eixcos xisin x(xR)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当x时，得到一个令人着迷的优美恒等式ei10，这个恒等式将数学中五个重要的数(
12、自然对数的底e，圆周率，虚数单位i，自然数的单位1和零元0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”根据欧拉公式，若复数zei的共轭复数为z，则z()Ai BiCi Di解析：欧拉公式eixcos xisin x(xR)，则zeicos isin i，根据共轭复数定义可知zi，故选A.答案：A13德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形(单位分数是指分子为1，分母为正整数的分数)，称为莱布尼兹三角形根据前5行的规律，则第6行的左起第3个数为_解析：由数表可知，第n行第一个数为，所以第6行的第1个数和最后1个数是，中间的某个数等于下一行“两个脚”的和，所以第6行的第2个数为，第6
13、行的第3个数为，故答案为.答案：14数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”已知ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，其“欧拉线”的直线方程为xy20，则ABC的顶点C的坐标_解析：设C(m，n)，由重心坐标公式得ABC的重心为，代入欧拉线方程得20整理得mn40因为AB的中点为(1，2)，kAB2，所以AB的中垂线的斜率为，所以AB的中垂线方程为y2(x1)，即x2y30，联立解得所以ABC的外心为(1，1) 则，联立得m4，n0或m0，n4，当m0，n4时，点B、C两点重合，舍去；所以m4，n0即ABC的顶点C的坐标为(4，0)答案：
14、(4，0)15算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图所示如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为_解析：按每一位算筹的根数分类一共有15种情况，分别为、(5，0，0)、(4，1，0)、(4，0，1)、(3，2，0)、(3，1，1)、(3，0，2)、(2，3，0)、(2，2，1)、(2，1，2)、(2，0，3)、(1，4，0)、(1，3，1)、(1，2，2)、(1，1
15、，3)、(1，0，4)，2根或2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分步乘法计数原理，得上面情况能表示的三位数字个数分别为：2、2、2、4、2、4、4、4、4、4、2、2、4、2、2，根据分类加法计数原理，得5根算筹能表示的三位数字个数为：22242444442242244.答案：4416.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，ACBC，AA13，A1BCC1外接球的表面积为25，则阳马A1-BCC1B1体积的最大值为_解析：因为鳖臑A1-BCC1外接球的直径为A1B5，又因为AA13，所以AB4，即16AC2BC22ACBC，所以ACBC8，所以阳马A1-BCC1B1的体积为VBCBB1A1C1ACBCAA18.所以阳马A1-BCC1B1体积的最大值为8.答案：8