1、 熊 庆 来 爱 惜 和 培 养 人 才 的 高 尚 品 格，深 受 人 们 的 赞 扬 和 敬 佩 早 在 年，他 在 东 南 大 学（南 京 大 学 前 身）当 教 授 时，发 现 一 个 叫 刘 光的 学 生 很 有 才 华，经 常 指 点 他 读 书、研 究 后 来 又 和 一 位 教 过 刘 光 的 教 授，共 同 资 助 家 境 贫 寒 的 刘 光 出 国 深 造，并 且 按 时 给 他 寄 生 活 费 有一 次，熊 庆 来 甚 至 卖 掉 自 己 身 上 穿 的 皮 袍 子 给 刘 光 寄 钱 刘 光 成 为 著 名 的 物 理 学 家 后，经 常 满 怀 深 情 地 提 起 这
2、 段 往 事，他 说：“教 授 为 我 卖皮 袍 子 的 事，十 年 之 后 才 听 到，当 时 我 感 动 得 热 泪 盈 眶 这 件 事 我 刻 骨 铭 心，永 生 不 能 忘 怀 他 对 我 们 这 一 代 多 么 关 心，付 了 多 么 巨 大 的 热情 和 挚 爱 呀！”解 直 角 三 角 形内 容 清 单能 力 要 求锐 角 三 角 函 数 的 意 义能 列 举 锐 角 三 角 函 数 的 意 义 及 表 示 方 法 特 殊 角 三 角 函 数 的 意 义能 理 解 并 记 住 特 殊 锐 角 三 角 函 数 数 值 用 锐 角 三 角 函 数 解 决 简 单 的 实际 问 题会
3、用 锐 角 三 角 函 数 知 识 解 决 实 际 问 题，能 说 明 方 位角、俯 角、仰 角、坡 角 的 含 义，并 能 解 决 相 关 问 题 年 全 国 中 考 真 题 演 练一、选 择 题 （济 南）如 图，在 的 矩 形 网 格 中，每 个 小 正 方 形 的边 长 都 是 ，若 犃 犅 犆 的 三 个 顶 点 在 图 中 相 应 的 格 点 上，则 犃 犆 犅 的 值 为（）杨 辉（约 世 纪 中 叶 至 后 半 叶），南 宋 数 学 家 他 写 过 许 多 数 学 著 作，有 详 解 九 章 算 法 续 古 摘 奇 算 法 等 杨 辉 的 数学 研 究 与 教 育 工 作 的
4、重 点 是 在 计 算 技 术 方 面，他 对 筹 算 乘 除 捷 算 法 进 行 总 结 和 发 展，有 的 还 编 成 了 口 诀，如 九 归 口 诀 他介 绍 了 各 种 形 式 的“纵 横 图”及 有 关 的 构 造 方 法；“垛 积 术”是 沈 括“隙 积 术”研 究 的 后 续；将 九 章 算 术 重 新 分 为 乘 除、分率、合 率、互 换、二 衰 分、叠 积、盈 不 足、方 程、勾 股 等 九 类 杨 辉 非 常 重 视 数 学 教 育 的 普 及 和 发 展，他 为 初 学 者 制 订 的 习 算纲 目 是 中 国 数 学 教 育 史 上 的 重 要 文 献 槡（第 题）（第
5、 题）（潍 坊）轮 船 从 犅 处 以 每 小 时 海 里 的 速 度 沿 南 偏 东 方 向 匀 速 航 行，在 犅 处 观 测 灯 塔 犃位 于 南 偏 东 方 向上，轮 船 航 行 半 小 时 到 达 犆 处，在 犆 处 观 测 灯 塔 犃位 于 北 偏东 方 向 上，则 犆 处 与 灯 塔 犃 的 距 离 是（）海 里 槡 槡 （泰 安）如 图，为 测 量 某 物 体 犃 犅 的 高 度，在 点 犇 测 得 点犃 的 仰 角 为 ，朝 物 体 犃 犅 方 向 前 进 米 到 达 点 犆，再 次 测得 点 犃 的 仰 角 为 ，则 物 体 犃 犅 的 高 度 为（）（第 题）槡 米 米
6、槡 米 槡米 （滨 州）把 犃 犅 犆 三 边 的 长 度 都 扩 大 为 原 来 的 倍，则锐 角 犃 的 正 弦 函 数 值（）不 变 缩 小 为 原 来 的 扩 大 为 原 来 的 倍 不 能 确 定 （滨 州）在 犃 犅 犆 中，犆 ，犃 ，犃 犅 ，则边 犃 犆 的 长 约 为（精 确 到 ）（）（东 营）河 堤 横 断 面 如 图 所 示，堤 高 犅 犆 米，迎 水 坡犃 犅 的 坡 比 是 槡（坡 比 是 坡 面 的 铅 直 高 度 犅 犆 与 水 平 宽 度犃 犆 之 比），则 犃 犆 的 长 是（）（第 题）槡 米 米 米 槡 米 （烟 台）已 知 在 犃 犅 犆 中，犃 犅
7、 槡，则 下 列 最确 切 的 结 论 是（）犃 犅 犆 是 直 角 三 角 形 犃 犅 犆 是 等 腰 三 角 形 犃 犅犆 是 等 腰 直 角 三 角 形 犃 犅 犆 是 锐 角 三 角 形 （日 照）如 图，在 犃 犅 犆 中，犆 ，把 犃 的 邻 边与 对 边 的 比 叫 做 犃 的 余 切，记 作 犃 犫犪，则 下 列 关 系 式中 不 成 立 的 是（）犃 犃 犃 犃 犃 犃 犃 犃 犃 犃 （第 题）（第 题）（临 沂）如 图，在 犃 犅 犆 中，犅 槡，犆 ，犃 犆 ，则 犃 犅 犆 的 面 积 是（）（潍 坊）身 高 相 等 的 四 名 同 学 甲、乙、丙、丁 参 加 风 筝
8、 比赛，四 人 放 出 风 筝 的 线 长、线 与 地 面 的 夹 角 如 下 表（假 设 风 筝线 是 拉 直 的），则 四 名 同 学 所 放 的 风 筝 中 最 高 的 是（）同 学甲乙丙丁放 出 风 筝 线 长 线 与 地 面 夹 角 甲 乙 丙 丁 （东 营）如 图，小 明 为 了 测 量 其 所 在 位 置 点 犃 到 河 对岸 点 犅 的 距 离，沿 着 与 犃 犅 垂 直 的 方 向 走 了 犿 米，到 达 点 犆，测 得 犃 犆 犅 ，那 么 犃 犅 等 于（）犿 米 犿 米 犿 米 犿 米（第 题）二、填 空 题 （烟 台）计 算：槡 （济 宁）在 犃 犅 犆 中，若 犃、
9、犅 满 足犃 犅 槡（），则 犆 （滨 州）在 等 腰 犃 犅犆 中，犆 ，则 犃 数 书 九 章 由 中 国 南 宋 数 学 家 秦 九 韶 所 撰 全 书 共 列 算 题 道，分 为 九 类，每 类 九 个 问 题 主 要 内 容 如 下：一、大 衍 类：一 次 同 余 式 组 解 法；二、天 时 类：历 法 计 算、降 水 量；三、田 域 类：土 地 面 积；四、测 望 类：勾 股、重 差；五、赋 役 类：均 输、税 收；六、钱 谷 类：粮 谷 转 运、仓 窖 容 积；七、营 建 类：建 筑、施 工；八、军 旅 类：营 盘 布 置、军 需 供 应；九、市 物 类：交 易、利 息 全 书
10、以 问 题 集的 形 式 来 表 达 （枣 庄）将 一 副 三 角 尺 如 图 所 示 叠 放 在 一 起，若 犃 犅 ，则 阴 影 部 分 的 面 积 是 （第 题）三、解 答 题 （莱 芜）某 市 规 划 局 计 划 在 一 坡 角 为 的 斜 坡 犃 犅 上 安装 一 球 形 雕 塑，其 横 截 面 示 意 图 如 图 所 示 已 知 支 架 犃犆 与 斜 坡犃 犅 的 夹 角 为，支 架 犅 犇 犃 犅 于 点 犅，且 犃犆、犅 犇 的 延 长 线 均过 犗 的 圆 心，犃 犅 ，犗 的 半 径 为 ，求 雕 塑 最 顶 端到 水 平 地 面 的 垂 直 距 离（结 果 精 确 到 ，
11、参 考 数 据：，）（第 题）（青 岛）如 图，某 校 教 学 楼 犃 犅 的 后 面 有 一 建 筑 物 犆 犇，当 光 线 与 地 面 的 夹 角 是 时，教 学 楼 在 建 筑 物 的 墙 上 留 下高 的 影 子 犆 犈；而 当 光 线 与 地 面 的 夹 角 是 时，教 学 楼顶 犃 在 地 面 上 的 影 子 犉 与 墙 角 犆 有 的 距 离（犅、犉、犆在 一 条 直 线 上）（）求 教 学 楼 犃 犅 的 高 度；（）学 校 要 在 犃、犈 之 间 挂 一 些 彩 旗，请 你 求 出 犃、犈 之 间 的距 离（结 果 保 留 整 数）（参 考 数 据：，）（第 题）（潍 坊）校
12、 车 安 全 是 近 几 年 社 会 关 注 的 重 大 问 题，安 全隐 患 主 要 是 超 速 和 超 载 某 中 学 数 学 活 动 小 组 设 计 了 如 下 检测 公 路 上 行 驶 的 汽 车 速 度 的 实 验：先 在 公 路 旁 边 选 取 一 点犆，再 在 笔 直 的 车 道 犾 上 确 定 点 犇，使 犆 犇 与 犾 垂 直，测 得 犆 犇的 长 等 于 米，在 犾 上 点 犇的 同 侧 取 点 犃、犅，使 犆 犃 犇 ，犆 犅 犇 （）求 犃 犅 的 长；（精 确 到 米，参 考 数 据：槡 ，槡 ）（）已 知 本 路 段 对 校 车 限 速 为 千 米 小 时，若 测
13、得 某 辆 校车 从 犃 到 犅 用 时 秒，这 辆 校 车 是 否 超 速？说 明 理 由（第 题）（枣 庄）为 倡 导“低 碳 生 活”，人 们 常 选 择 以 自 行 车 作 为代 步 工 具，如 图（）所 示 是 一 辆 自 行 车 的 实 物 图，车 架 挡 犃 犆与 犆 犇 的 长 分 别 为 、，且 它 们 互 相 垂 直，座 杆 犆 犈的 长 为 ，点 犃、犆、犈 在 同 一 条 直 线 上，且 犆 犃 犅 ，如 图（）（）求 车 架 挡 犃 犇 的 长；（）求 车 座 点 犈 到 车 架 挡 犃 犅 的 距 离（结 果 精 确 到 参 考 数 据：，）（）（）（第 题）（聊
14、城）被 誉 为 东 昌 三 宝 之 首 的 铁 塔，始 建 于 北 宋 时期，是 我 市 现 存 的 最 古 老 的 建 筑，铁 塔 由 塔 身 和 塔 座 两 部 分组 成（如 图（）为 了 测 得 铁 塔 的 高 度，小 莹 利 用 自 制 的 测角 仪，在 点 犆 测 得 塔 顶 犈 的 仰 角 为 ，在 点 犇 测 得 塔 顶 犈的 仰 角 为 ，已 知 测 角 仪 犃 犆 的 高 为 米，犆 犇的 长 为 米，犆 犇 所 在 的 水 平 线 犆 犌 犈 犉 于 点 犌（如 图（），求 铁 塔犈 犉 的 高（结 果 精 确 到 米）（第 题）（青 岛）某 商 场 准 备 改 善 原 有
15、 楼 梯 的 安 全 性 能，把 倾 斜 角由 原 来 的 减 至 已 知 原 楼 梯 犃 犅 长 为 ，调 整 后 的 楼 梯所 占 地 面 犆 犇 有 多 长？（结 果 精 确 到 ，参 考 数 据：，）二 战 中，希 特 勒 挖 空 心 思 地 设 计 了 融 数 学、物 理、语 言、历 史、国 际 象 棋 原 理、纵 横 填 字 游 戏 等 为 一 体 的 依 尼 格 码，还 称 之为“神 都 没 办 法 破 译 的 世 界 第 一 密 码”年，丘 吉 尔 在 布 莱 特 彻 利 公 园 里 秘 密 地 建 立“犡 站”，调 集 一 大 批 专 长 于 数 学、埃及 学、英 语 语 言
16、 学、德 语 语 言 学 以 及 国 际 象 棋 冠 军、纵 横 填 字 游 戏 能 手 等 科 学 怪 才 来 此，同 希 特 勒 玩 起 了 密 码 游 戏 在“犡 站”工 作 过 的 人 数 以 万 计，但 纳 粹 对 此 一 直 蒙 在 鼓 里 （潍 坊）今 年“五 一”假 期 某 数 学 活 动 小 组 组 织 一 次 登山 活 动 他 们 从 山 脚 下 犃 点 出 发 沿 斜 坡 犃 犅 到 达 犅 点 再 从犅 点 沿 斜 坡 犅 犆 到 达 山 巅 犆 点，路 线 如 图 所 示 斜 坡 犃 犅 的长 为 米，斜 坡 犅 犆 的 长 为 米，在 犆 点 测 得 犅 点 的 俯
17、角 为 已 知 犃 点 海 拔 米 犆 点 海 拔 米（）求 犅 点 的 海 拔；（）求 斜 坡 犃 犅 的 坡 度（第 题）（枣 庄）如 图，在 边 长 为 的 小 正 方 形 组 成 的 网 格 中，犃 犅 犆 的 三 个 顶 点 均 在 格 点 上，请 按 要 求 完 成 下 列 各 题：（）画 线 段 犃 犇 犅 犆 且 使 犃 犇 犅 犆，连 结 犆 犇；（）线 段 犃 犆 的 长 为 ，犆 犇 的 长 为 ，犃 犇 的长 为 ；（）犃 犆 犇为 三 角 形，四 边 形 犃 犅 犆 犇的 面 积 为 ；（）若 犈 为 犅 犆 中 点，则 犆 犃 犈 的 值 是 （第 题）年 全 国
18、中 考 真 题 演 练一、选 择 题 （天 津）的 值 等 于（）槡 槡 （广 东 深 圳）小 明 想 测 量 一 棵 树 的 高 度，他 发 现 树 的 影子 恰 好 落 在 地 面 和 一 斜 坡 上；如 图，此 时 测 得 地 面 上 的 影 长 为 米，坡 面 上 的 影 长 为 米 已 知 斜 坡 的 坡 角 为 ，同 一 时刻，一 根 长 为 米、垂 直 于 地 面 放 置 的 标 杆 在 地 面 上 的 影 长 为 米，则 树 的 高 度 为（）（槡）米 米 （槡）米 米（第 题）（第 题）（福 建 福 州）如 图，从 热 气 球 犆 处 测 得 地 面 犃、犅 两 点 的俯 角
19、 分 别 为 ，如 果 此 时 热 气 球 犆 处 的 高 度 犆 犇为 米，点 犃、犇、犅在 同 一 条 直 线 上，则 犃、犅两 点 的 距 离 是（）米 槡 米 槡 米 （槡 ）米 （广 西 桂 林）如 图，已 知 犃 犅 犆 中，犆 ，犅 犆 ，犃 犆 ，则 犃 的 值 为（）（第 题）（第 题）（甘 肃 兰 州）如 图，犃、犅、犆 三 点 在 正 方 形 网 格 线 的 交 点处，若 将 犃 犅 犆 绕 着 点 犃逆 时 针 旋 转 得 到 犃 犆犅 则 犅的 值 为（）槡 （福 建 福 州）在 犃 犅 犆 中，犆 ，犪、犫、犮 分 别 是 犃、犅、犆 的 对 边，那 么 犮 等 于
20、（）犪犃 犫犅 犪犃 犫犅 犪犃 犫犅 犪犃 犫犅 （贵 州 毕 节）在 正 方 形 网 格 中，犃 犅 犆 的 位 置 如 图 所示，则 犅 的 值 为（）（第 题）槡 槡 槡 大 多 数 的 电 脑 都 装 有 扫 雷 游 戏 不 过，你 想 到 过 吗？这 看 似 简 单 的 游 戏 却 能 帮 助 数 学 家 破 解 数 学 领 域 的 一 些 有趣 的 难 题 当 然，数 学 家 也 希 望 通 过 这 个 电 脑 游 戏 解 决 令 人 困 惑 已 久 的 数 学 难 题 英 国 伯 明 翰 大 学 的 数 学 教 授 里 查 凯 耶 对 数 学 有 关 的 游 戏 十 分 感 兴
21、 趣，他 认 为 数 学 与 游 戏 是 一 对 完 美 的 结 合 玩 游 戏 时，他 会 想 是 不 是 有 什 么 有 趣的 数 学 问 题 隐 藏 其 中，所 以 他 一 直 在 思 考 能 否 通 过 玩 电 脑 游 戏 来 解 决 数 学 难 题 二、填 空 题 （湖 北 武 汉）（第 题）（辽 宁 铁 岭）如 图，在 东 西 方 向 的海 岸 线 上 有 犃、犅 两 个 港 口，甲 货 船 从犃 港 沿 北 偏 东 的 方 向 以 海 里 小时 的 速 度 出 发，同 时 乙 货 船 从 犅 港 沿 西北 方 向 出 发，小 时 后 相 遇 在 点 犘 处，问 乙 货 船 每 小
22、 时 航 行 海 里 （黑 龙 江 哈 尔 滨）如 图，在 犃 犅 犆 中，犆 ，犃 犆 ，犃 犅 ，则 犅 的 值 是 （第 题）（第 题）（江 苏 南 京）如 图，海 边 有 两 座 灯 塔 犃、犅，暗 礁 分 布 在经 过 犃、犅 两 点 的 弓 形（弓 形 的 弧 是 犗 的 一 部 分）区 域 内，犃 犗 犅 ，为 了 避 免 触 礁，轮 船 犘 与 犃、犅 的 张 角 犃 犘 犅的 最 大 值 为 （湖 南 衡 阳）河 堤 横 断 面 迎 水 坡 犃 犅 的 坡 比 是 槡，堤 高 犅 犆 ，则 坡 面 犃 犅 的 长 度 是 （第 题）（第 题）（广 东 茂 名）如 图，在 高
23、出 海 平 面 米 的 悬 崖 顶 犃处，观 测 海 平 面 上 一 艘 小 船 犅，并 测 得 它 的 俯 角 为 ，则 船与 观 测 者 之 间 的 水 平 距 离 犅 犆 米 （江 苏 南 通）如 图，测 量 河 宽 犃 犅（假 设 河 的 两 岸 平 行），在 点 犆 测 得 犃 犆 犅 ，在 点 犇 测 得 犃 犇 犅 ，又 犆 犇 ，则 河 宽 犃 犅 为 （结 果 保 留 根 号）（第 题）（第 题）（广 东 佛 山）如 图，犃 犅 是 伸 缩 性 遮 阳 棚，犆 犇 是 窗 户，要 想 夏 至 正 午 时 的 阳 光 刚 好 不 能 射 入 窗 户，则 犃 犅 的 长 度 是
24、（假 如 夏 至 正 午 时 的 阳 光 与 地 平 面 的 夹 角 是 ）三、解 答 题 （山 西）如 图，为 了 开 发 利 用 海 洋 资 源，某 勘 测 飞 机 预测 量 一 岛 屿 两 端 犃、犅 的 距 离，飞 机 在 距 海 平 面 垂 直 高 度 为 米 的 点 犆 处 测 得 端 点 犃 的 俯 角 为 ，然 后 沿 着 平 行 于犃 犅 的 方 向 水 平 飞 行 了 米，在 点 犇 测 得 端 点 犅 的 俯 角 为，求 岛 屿 两 端 犃、犅 的 距 离（结 果 精 确 到 米，参 考 数据：槡 ，槡 ）（第 题）（江 苏 苏 州）如 图，已 知 斜 坡 犃 犅 长 米
25、，坡 角（即 犅 犃 犆）为 ，犅 犆 犃 犆，现 计 划 在 斜 坡 中 点 犇 处 挖 去 部 分 坡体（用 阴 影 表 示）修 建 一 个 平 行 于 水 平 线 犆 犃 的 平 台 犇 犈 和 一条 新 的 斜 坡 犅 犈（请 将 下 面 小 题 的 结 果 都 精 确 到 米，参考 数 据 槡 ）（）若 修 建 的 斜 坡 犅 犈 的 坡 角（即 犅 犈 犉）不 大 于 ，则 平 台犇 犈 的 长 最 多 为 米；（）一 座 建 筑 物 犌 犎 距 离 坡 脚 点 犃 米 远（即 犃 犌 米），小 明 在 点 犇 测 得 建 筑 物 顶 部 犎的 仰 角（即 犎 犇 犕为）点 犅、犆
26、、犃、犌、犎在 同 一 个 平 面 上，点 犆、犃、犌 在 同一 条 直 线 上，且 犎 犌 犆 犌，问 建 筑 物 犌 犎 高 为 多 少 米？（第 题）（陕 西）如 图，小 明 想 用 所 学 的 知 识 来 测 量 湖 心 岛 上 的迎 宾 槐 与 岸 上 的 凉 亭 间 的 距 离，他 先 在 湖 岸 上 的 凉 亭 犃 处测 得 湖 心 岛 上 的 迎 宾 槐 犆处 位 于 北 偏 东 方 向，然 后，他从 凉 亭 犃 处 沿 湖 岸 向 正 东 方 向 走 了 米 到 犅 处，测 得 湖心 岛 上 的 迎 宾 槐 犆 处 位 于 北 偏 东 方 向（点 犃、犅、犆 在 同一 水 平
27、 面 上）请 你 利 用 小 明 测 得 的 相 关 数 据，求 湖 心 岛 上 的迎 宾 槐 犆 处 与 湖 岸 上 的 凉 亭 犃 处 之 间 的 距 离（结 果 精 确 到 米，参 考 数 据：，）（第 题）凯 耶 教 授 在 玩 了 几 个 星 期 的 扫 雷 游 戏 后，逐 渐 悟 出 了 其 中 的 奥 秘 目 前 的 扫 雷 游 戏 共 分 为 个 级 别：初 级、中 级 和 高级 级 别 越 高，雷 区 就 越 大 如 果 继 续 将 级 别 提 高，雷 区 扩 大，就 会 碰 到 像 不 能 破 解 的 数 学 难 题 一 样 的 困 惑 凯 耶 教 授 认 为，扫 雷 游
28、戏 能 帮 助 解 决 数 学 界 中 困 惑 数 学 家 们 长 达 年 的 一 道 排 列 组 合 难 题 “与 的 问 题”通 过 解 决 这 个 问 题，就可 以 得 出 一 个 答 案 （湖 南 常 德）如 图，一 天，我 国 一 渔 政 船 航 行 到 犃 处时，发 现 正 东 方 向 的 我 领 海 区 域 犅 处 有 一 可 疑 渔 船，正 在 以 海 里 小 时 的 速 度 向 西 北 方 向 航 行，我 渔 政 船 立 即 沿 北偏 东 方 向 航 行，小 时 后，在 我 领 海 区 域 的 犆 处 截 获 可疑 渔 船 问 我 渔 政 船 的 航 行 路 程 是 多 少
29、海 里？（结 果 保 留根 号）（第 题）（浙 江 金 华）生 活 经 验 表 明，靠 墙 摆 放 的 梯 子，当 时（为 梯 子 与 地 面 所 成 的 角），能 够 使 人 安 全 攀 爬 现 在 有 一 长 为 米 的 梯 子 犃 犅，试 求 能 够 使 人 安 全 攀 爬 时，梯 子 的 顶 端 能 达 到 的 最 大 高 度 犃 犆（结 果 保 留 两 个 有 效 数 字，）（第 题）（安 徽）如 图，某 高 速 公 路 建 设 中 需 要 确 定 隧 道 犃 犅 的长 度 已 知 在 离 地 面 高 度 犆 处 的 飞 机，测 量 人 员 测得 正 前 方 犃、犅 两 点 处 的
30、俯 角 分 别 为 和 ，求 隧 道 犃 犅的 长（第 题）（湖 南 长 沙）为 了 缓 解 长 沙 市 区 内 一 些 主 要 路 段 交 通拥 挤 的 现 状，交 警 队 在 一 些 主 要 路 口 设 立 了 交 通 路 况 显 示 牌（如 图）已 知 立 杆 犃 犅 高 度 是 ，从 侧 面 点 犇 测 得 显 示 牌顶 端 点 犆 和 底 端 点 犅 的 仰 角 分 别 是 和 求 路 况 显 示牌 犅 犆 的 高 度（第 题）趋 势 总 揽解 直 角 三 角 形 的 知 识 是 近 年 各 地 中 考 命 题 的 热 点 之 一，考查 内 容 以 基 础 知 识 与 基 础 技 能
31、 为 主 应 用 意 识 进 一 步 增 强，联 系实 际，综 合 运 用 知 识、技 能 的 要 求 越 来 越 明 显，不 仅 有 计 算 距 离、高 度、角 度 的 应 用 题，更 有 要 求 学 生 根 据 题 中 给 出 的 信 息 构 建 图形，建 立 数 学 模 型，然 后 用 解 直 角 三 角 形 的 知 识 解 决 问 题，考 查题 型 为 选 择 题、填 空 题、应 用 题（分 值 一 般 在 分 以 上）年中 考 题 继 续 体 现 这 种 特 点 高 分 锦 囊 掌 握 锐 角 三 角 函 数 的 概 念，会 熟 练 运 用 特 殊 角 的 三 角 函数 值 了 解
32、某 些 实 际 问 题 中 的 仰 角、俯 角、坡 度 等 概 念 将 实 际 问 题 转 化 为 数 学 问 题，建 立 数 学 模 型 涉 及 解 斜 三 角 形 的 问 题 时，会 通 过 作 适 当 的 辅 助 线 构 造直 角 三 角 形，使 之 转 化 为 解 直 角 三 角 形 的 计 算 问 题 而 达 到 解 决实 际 问 题 的 目 的 解 应 用 题 的 关 键 是 根 据 实 际 问 题 画 出 示 意 图，弄 清 图 中各 个 量 的 具 体 意 义 及 各 已 知 量 和 未 知 量 之 间 的 关 系，这 些 量 不一 定 恰 好 集 中 在 一 个 直 角 三
33、角 形 中，这 时 应 构 造 数 学 几 何 模 型，即 通 过 添 加 适 当 辅 助 线 将 解 一 般 三 角 形 转 化 为 解 直 角 三 角 形，如 等 腰（含 等 边）三 角 形，作 底 边 上 的 高；一 般 三 角 形 也 可 以 作 边上 的 高（作 哪 一 边 上 的 高，要 便 于 解 题），这 样 可 构 造 直 角 三 角形；又 如 梯 形，过 底 上 的 两 个 顶 点 作 另 一 底 的 高，就 可 以 构 造 出两 个 直 角 三 角 形 通 过 特 殊 的 几 何 图 形 将 未 知 量 和 已 知 量 联 系起 来，也 可 以 假 设 未 知 数，通 过
34、 设 数（结 合 几 何 图 形）构 造 方 程，将 未 知 量 与 已 知 量 联 系 起 来，使 问 题 得 以 解 决 常 考 点 清 单 一、基 本 概 念 一 些 在 某 一 段 时 间 内 看 似 悬 而 未 决 的 问 题 就 可 能 用 一 种 相 对 简 单 的 方 法 来 破 解，如 可 以 通 过 计 算 机 来 解决 凯 耶 教 授 认 为，如 果 能 找 出 最 高 级 扫 雷 游 戏 中 所 有 地 雷 排 列 组 合 的 规 律，他 就 能 解 决“与 问 题”剑 桥 的克 雷 数 学 研 究 院 已 经 提 供 了 万 美 元 的 奖 金 来 奖 励 能 解 决
35、 这 个 难 题 的 人 这 样 简 单 的 一 个 电 脑 游 戏 竟 能 带 给我 们 数 学 界 的 一 个 新 突 破 数 学 问 题 其 实 离 我 们 的 日 常 电 脑 应 用 并 不 遥 远 锐 角 三 角 函 数 的 概 念 在 犃 犅 犆 中，犆 是 直 角，犃、犅、犆 的 对 边 分 别 是犪，犫，犮，如 图（）犃 犃 的 对 边斜 边 （）犃 犃 的 邻 边斜 边 仰 角 和 俯 角：如 图，在 同 一 铅 垂 面 内 视 线 和 水 平 线 间 的 夹 角，视 线 在 水 平 线 上 方 的 叫 做 ，在 水 平 线 下 方 的 叫 做 坡 度、坡 角 和 坡 比：如
36、 图，通 常 把 坡 面 的 和 的 比 叫 坡 度（或 叫 做 坡 比），用 字 母 表 示；坡 面与 水 平 面 的 夹 角 叫 做 ，记 作 方 位 角：如 图，犃 犗 犅 的 方 位 角 为 ；犇 犗 犆 的方 位 角 为 二、特 殊 角 的 三 角 函 数 值锐 角 的 三 角 函 数槡槡 三、直 角 三 角 形 中 的 边 角 关 系在 犃 犅犆 中，犆 ，犪，犫，犮 分 别 是 犃、犅、犆 的 对 边 三 边 之 间 的 关 系：；两 锐 角 之 间 的 关 系：；边 角 之 间 的 关 系：犃 ，犅 ，犃 ，犅 四、解 直 角 三 角 形在 直 角 三 角 形 中，由 求 的
37、过 程，就 是 解 直角 三 角 形 易 混 点 剖 析 解 直 角 三 角 形 时，若 所 求 元 素 不 在 直 角 三 角 形 中，则 应 将它 转 化 到 直 角 三 角 形 中 去，转 化 的 途 径 有：作 辅 助 线 构 造 直 角 三 角形 或 找 已 知 直 角 三 角 形 中 的 边 或 角 替 代 所 要 求 的 元 素 等 特 殊 角 的 三 角 函 数 值：（）（）坡 角 与 坡 比：坡 比 是 坡 角 的 正 切 值 设 坡 角 为 ，坡 比 为 犻，则 犻 易 错 题 警 示【例 】（湖 南 岳 阳）九（一）班 课 题 学 习 小 组，为 了了 解 大 树 生 长
38、 状 况，去 年 在 学 校 门 前 点 犃 处 测 得 一 棵 大 树 顶 点 犆的 仰 角 为 ，树 高 ；今 年 他 们 仍 在 原 点 犃 处 测 得 大 树 犇 的 仰角 为 ，问 这 棵 树 一 年 生 长 了 多 少 米？（参 考 数 据：，槡 ）【解 析】本 题 考 查 仰 角 的 定 义 此 题 难 度 适 中，注 意 能 借 助仰 角 构 造 直 角 三 角 形 并 解 直 角 三 角 形 是 解 此 题 的 关 键 由 题 意，得 犇 犃 犅 ，犆 犃 犅 ，犅 犆 ，然 后 分 别 在 犃 犅 犆与 犇 犃 犅 中，利 用 正 切 函 数 求 解 即 可 求 得 答 案
39、【答 案】根 据 题 意，得 犇 犃 犅 ，犆 犃 犅 ，犅 犆 ，在 犃 犅 犆 中，犃 犅 犅 犆 槡 槡（），在 犇 犃 犅 中，犅 犇 犃 犅 槡 （），则 犆 犇 犅 犇 犅 犆 （）答：这 棵 树 一 年 生 长 了 【例 】（四 川 攀 枝 花）如 图，我 渔 政 船 在 南 海海 面 上 沿 正 东 方 向 匀 速 航 行，在 犃 地 观 测 到 我 渔 船 犆 在 东 北 方向 上 的 我 国 某 传 统 渔 场 若 渔 政 船 航 向 不 变，航 行 半 小 时 后到 达 犅 处，此 时 观 测 到 我 渔 船 犆 在 北 偏 东 方 向 上 问 渔 政 船 再 航 行 多
40、 久，离 我 渔 船 犆 的 距 离 最 近？（假 设 我 渔 船 犆 捕鱼 时 移 动 距 离 忽 略 不 计，结 果 不 取 近 似 值）“蚂 蚁 与 橡 皮 绳 悖 论”是 一 道 让 你 的 直 觉 经 受 考 验 的 数 学 趣 题 问 题 是 这 样 的：一 只 蚂 蚁 沿 着 一 条 长 米 的 橡皮 绳 以 每 秒 厘 米 的 速 度 由 一 端 向 另 一 端 爬 行 每 过 秒 钟，橡 皮 绳 就 拉 长 米，比 如 秒 后，橡 皮 绳 就 伸 长 了 米 当 然，这 个 问 题 是 纯 数 学 化 的，即 假 定 橡 皮 绳 可 任 意 拉 长，并 且 拉 伸 是 均 匀
41、 的 蚂 蚁 也 会 不 知 疲 倦 地 一 直 往前 爬，在 绳 子 均 匀 拉 长 时，蚂 蚁 的 位 置 理 所 当 然 地 相 应 均 匀 地 向 前 挪 动 现 在 要 问，如 此 下 去，蚂 蚁 能 否 最 终 爬 到 橡皮 绳 的 另 一 端？【解 析】本 题 主 要 考 查 了 解 直 角 三 角 形 的 应 用 方 向 角问 题，正 确 理 解 方 向 角 的 定 义 是 解 决 本 题 的 关 键 我 们 可 以 过 点犆作犃 犅的 垂 线，设 垂 足 为犇 由 题 易 知 犆 犃 犅 ，犆 犅 犇 先 在 犅 犆 犇中，得 到 犆 犇 槡 犅 犇，再 在 犃 犆 犇 中，
42、得 到 犆 犇 犃 犇，据 此 得 出 犅 犇犃 犅 槡 ，然 后 根 据 匀 速航 行 的 渔 政 船 其 时 间 之 比 等 于 路 程 之 比，从 而 求 出 渔 政 船 行 驶 犅 犇 的 路 程 所 需 的 时 间【答 案】作 犆 犇 犃 犅 于 犇 犃 地 观 测 到 渔 船 犆在 东 北 方 向 上，犅 地 观 测 到 渔 船 犆在 北 偏 东 方 向 上，犆 犃 犅 ，犆 犅 犇 在 犅 犆 犇 中，犆 犇 犅 ，犆 犅 犇 ，犆 犇 槡 犅 犇 在 犃 犆 犇 中，犆 犇 犃 ，犆 犃 犇 ，犆 犇 犃 犇 槡 犅 犇 犃 犅 犅 犇 犅 犇犃 犅 槡 槡 渔 政 船 匀 速
43、 航 行，设 渔 政 船 再 航 行 狋 分 钟，离 我渔 船 犆 的 距 离 最 近，狋 槡 狋 （槡 ）答：渔 政 船 再 航 行 （槡 ）分 钟，离 我 渔 船 犆 的 距 离最 近 年 山 东 省 中 考 仿 真 演 练一、选 择 题 （烟 台 一 模）已 知 为 锐 角，且 （）槡，则 等 于（）（淄 博 一 模）如 图 是 一 个 利 用 四 边 形 的 不 稳 定 性 制 作 的 菱形 晾 衣 架 已 知 其 中 每 个 菱 形 的 边 长 为 ，墙 上 悬 挂 晾 衣 架的 两 个 铁 钉 犃、犅 之 间 的 距 离 为 槡，则 等 于（）（第 题）（青 岛 模 拟）如 图 所
44、 示，在 数 轴 上 点 犃 表 示 的 数 狓 的 大致 范 围 是（）（第 题）狓 狓 狓 狓 （济 南 模 拟）小 明 沿 着 坡 度 为 的 山 坡 向 上 走 了 ，则 他 升 高 了（）槡 槡 二、填 空 题 （潍 坊 二 模）“赵 爽 弦 图”是 由 四 个 全 等 的 直 角 三 角 形 与一 个 小 正 方 形 拼 成 的 一 个 大 正 方 形 如 果 小 正 方 形 的 面 积 为，大 正 方 形 的 面 积 为 ，直 角 三 角 形 中 较 小 的 锐 角 为 ，则 的 值 等 于 （第 题）（第 题）（德 州 三 模）如 图，在 一 间 教 室 内 有 一 个 长 为
45、 犪（犪 ）米 的 梯 子 斜 靠 在 墙 上，梯 子 的 倾 斜 角 为 度 如 果 梯 子 底 端不 动，顶 端 靠 在 对 面 的 墙 上，此 时 梯 子 的 倾 斜 角 为 ，则 这 间教 室 的 宽 犃 犅 的 长 度 为 （泰 安 模 拟）在 一 自 助 夏 令 营 活 动 中，小 明 同 学 从 营 地犃 出 发，要 到 犃 地 的 北 偏 东 方 向 的 犆 处，他 先 沿 正 东 方 向走 了 到 达 犅 地，再 沿 北 偏 东 方 向 走，恰 能 到 达 目 的地 犆（如 图），那 么，由 此 可 知，犅、犆 两 地 相 距 （第 题）三、解 答 题 （济 南 模 拟）某
46、路 段 改 造 工 程 中，需 沿 犃 犆 方 向 开 山 修 路（如 图 所 示），为 了 加 快 施 工 进 度，要 在 小 山 的 另 一 边 同 时 施 工 从 犃 犆 上 的 一 点 犅 取 犃 犅 犇 ，犅 犇 米，犇 为 了 使 开 挖 点 犈 在 直 线 犃 犆 上，那 么 犇 犈 的 距 离 应 该 是 多 少米？（供 选 用 的 三 角 函 数 值：，）老 虎、狮 子 是 夜 行 动 物，到 了 晚 上，光 线 很 弱，但 它 们 仍 然 能 外 出 活 动 捕 猎 这 是 什 么 原 因 呢？原 来 动 物 眼 球后 面 的 视 网 膜 是 由 圆 柱 形 或 圆 锥 形
47、 的 细 胞 组 成 的 圆 柱 形 细 胞 适 合 于 弱 光 下 感 觉 物 体，而 圆 锥 形 细 胞 则 适 合 于 强光 下 感 觉 物 体 在 老 虎、狮 子 一 类 夜 行 动 物 的 视 网 膜 中，圆 柱 细 胞 占 绝 对 优 势，到 了 晚 上，它 们 的 眼 睛 最 亮，瞪 得 最大，瞳 孔 直 径 能 达 厘 米 所 以，光 线 虽 弱，但 视 物 清 晰（第 题）（山 东 实 验 中 学 模 拟）如 图，台 风 中 心 位 于 点 犘，并 沿 东北 方 向 犘 犙 移 动，已 知 台 风 移 动 的 速 度 为 千 米 时，受 影 响区 域 的 半 径 为 千 米，
48、犅 市 位 于 点 犘的 北 偏 东 方 向 上，距 离 点 犘 千 米 处（）说 明 本 次 台 风 会 影 响 犅 市；（）求 这 次 台 风 影 响 犅 市 的 时 间（第 题）（日 照 模 拟）喜 欢 数 学 的 小 伟 沿 笔 直 的 河 岸 犅 犆 进 行数 学 实 践 活 动，如 图，河 对 岸 有 一 水 文 站 犃，小 伟 在 河 岸 犅处 测 得 犃 犅 犇 ，沿 河 岸 行 走 米 后 到 达 犆 处，在 犆处 测 得 犃 犆 犇 ，求 河 宽 犃 犇（最 后 结 果 精 确 到 米 已知：槡 ，槡 ，槡 ，供 选 用）（第 题）年 全 国 中 考 仿 真 演 练一、选
49、择 题 （江 苏 沭 阳 银 河 学 校 质 检 题）在 直 角 三 角 形 中 不 能 求 解的 是（）已 知 一 直 角 边 和 一 锐 角 已 知 斜 边 和 一 锐 角 已 知 两 边 已 知 两 角 （山 西 大 同 模 拟）在 犃 犅 犆 中，犅 ，犆 ，犅 犆 边 上 的 高 犃 犇 ，则 犅 犆 的 长 为（）槡 槡 槡 槡 槡 （安 徽 安 庆 二 模）当 ，下 列 不 等 式 成 立 的 是（）（陕 西 榆 林 模 拟）已 知 犃 为 锐 角，犃 ，则 锐 角 犃满 足（）犃 犃 犃 犃 （第 题）（陕 西 新 希 望 教 育 二 模）如 图，在 犃 犅犆 中，犃 ，犅 槡
50、，犃 犆 槡，则 犃 犅 等 于（）（甘 肃 兰 州）点 犕（，）关 于 狓 轴 的 对 称 点坐 标 是（）槡，（）槡，（）槡，（），槡（）（四 川 达 州）如 图 所 示，在 数 轴 上 点 犃 表 示 的 数 狓 的 大致 范 围 是（）（第 题）狓 狓 狓 狓 （安 徽 芜 湖 模 拟）小 明 沿 着 坡 度 为 的 山 坡 向 上 走了 ，则 他 升 高 了（）槡 槡 二、填 空 题 （海 南 省 中 考 数 学 科 模 拟）铁 路 的 路 基 的 横 断 面 为 等 腰梯 形，其 腰 的 坡 度 为 ，上 底 宽 为 ，路 基 高 为 ，则路 基 的 下 底 宽 为 （江 苏 沭
51、阳 银 河 学 校 质 检 题）在 犃 犅 犆 中，犆 ，若 犅 ，则 犃 （宁 夏 模 拟）若 犃 为 锐 角，且 犃 犃 ，犃 （安 徽 安 庆 一 模）地 面 上 有 一 棵 大 树 高 为 米，早 晨：太 阳 光 与 地 面 的 夹 角 为 ，此 时 大 树 在 地 面 上 的 影 长为 米（第 题）（第 题）数 学 中 有 这 样 一 条 原 理：在 同 样 体 积 的 物 体 中，球 的 表 面 积 最 小 猫 身 体 的 体 积 是 一 定 的，为 了 使 冬 天 睡 觉 时 体 内散 失 的 热 量 最 少，以 保 持 身 体 的 温 度，猫 儿 就 巧 妙 地“运 用”了 这
52、 条 几 何 性 质，把 自 己 的 身 体 尽 量 缩 成 球 状 年，美国 人 发 现 一 只 跳 蚤 能 跳 厘 米 高 这 个 高 度 相 当 于 他 身 体 长 度 的 倍 按 照 这 样 的 比 例，如 果 一 个 高 米 的成 年 人，能 像 跳 蚤 那 样 跳 跃 的 话，可 以 跳 米 高，相 当 于 层 楼 的 高 度 （北 京 四 中 模 拟）如 图 所 示，某 河 堤 的 横 断 面 是 梯 形犃 犅 犆 犇，犅 犆 犃 犇，迎 水 坡 犃 犅 长 ，且 犅 犃 犈 ，则河 堤 的 高 犅 犈 为 （河 南 新 乡 模 拟）如 图，甲、乙 两 楼 相 距 米，甲 楼 高
53、 米，小 明 站 在 距 甲 楼 米 处 目 测 得 点 犃 与 甲、乙 楼 顶 刚好 在 同 一 直 线 上，若 小 明 的 身 高 忽 略 不 计，则 乙 楼 的 高 度 是 米（第 题）（第 题）（浙 江 衢 州）在 一 自 助 夏 令 营 活 动 中，小 明 同 学 从 营 地犃 出 发，要 到 犃 地 的 北 偏 东 方 向 的 犆 处，他 先 沿 正 东 方 向走 了 到 达 犅 地，再 沿 北 偏 东 方 向 走，恰 能 到 达 目 的地 犆（如 图），那 么，由 此 可 知，犅、犆 两 地 相 距 三、解 答 题 （广 东 二 模）日 本 福 岛 出 现 核 电 站 事 故 后
54、，我 国 国 家 海 洋局 高 度 关 注 事 态 发 展，紧 急 调 集 海 上 巡 逻 的 海 检 船，在 相 关 海 域进 行 现 场 监 测 与 海 水 采 样，针 对 核 泄 漏 在 极 端 情 况 下 对 海 洋 环境 的 影 响 及 时 开 展 分 析 评 估 如 图，上 午 时，海 检 船 位 于 犃 处，观 测 到 某 港 口 城 市 犘 位 于 海 检 船 的 北 偏 西 方 向，海 检 船 以 海 里 时 的 速 度 向 正 北 方 向 行 驶，下 午 时 海 检 船 到 达 犅 处，这 时 观 察 到 城 市 犘 位 于 海 检 船 的 南 偏 西 方 向，求 此 时
55、海检 船 所 在 犅 处 与 城 市 犘 的 距 离？，（）（第 题）（北 京 中 考 数 学 模 拟 试 卷）一 条 船 在 海 面 上 自 西 向 东沿 直 线 航 行，在 犃 处 测 得 航 标 犆 在 北 偏 东 方 向 上，前 进 米 到 达 犅 处，又 测 得 航 标 犆 在 北 偏 东 方 向 上（）请 根 据 以 上 描 述，画 出 图 形；（）已 知 以 航 标 犆 为 圆 心、米 为 半 径 的 圆 形 区 域 内 有 浅滩，若 这 条 船 继 续 前 进，是 否 有 被 浅 滩 阻 碍 的 危 险？为 什么？（第 题）（云 南 双 柏 县 学 业 水 平 模 拟 考 试）
56、小 明 用 一 个 有 角的 直 角 三 角 板 估 测 他 们 学 校 的 旗 杆 犃 犅 的 高 度 他 将 角的 直 角 边 水 平 放 在 米 高 的 支 架 犆 犇 上，三 角 板 的 斜 边 与旗 杆 的 顶 点 在 同 一 直 线 上，他 又 量 得 犇 犅 的 距 离 为 米 试求 旗 杆 犃 犅 的 高 度（精 确 到 米）（第 题）（河 南 郑 州 模 拟）如 图，在 航 线 犾 的 两 侧 分 别 有 观 测 点犃 和 犅，点 犃 到 航 线 犾 的 距 离 为 ，点 犅 位 于 点 犃 北 偏 东 方 向 且 与 犃 相 距 处 现 有 一 艘 轮 船 从 位 于 点
57、犅 南偏 西 方 向 的 犆 处，正 沿 该 航 线 自 西 向 东 航 行，后 该轮 船 行 至 点 犃 的 正 北 方 向 的 犇 处（）求 观 测 点 犅 到 航 线 犾 的 距 离；（）求 该 轮 船 航 行 的 速 度（结 果 精 确 到 ，参 考 数 据：槡 ，）（第 题）已 知 犃 为 锐 角，且 犃 ，则（）犃 犃 犃 犃 将 一 副 三 角 板 按 如 图（）位 置 摆 放，使 得 两 块 三 角 板 的 直 角 边犃 犆 和 犕 犇 重 合 已 知 犃 犅 犃 犆 ，将 犕 犈 犇 绕 点 犃（犕）逆 时 针 旋 转 后（如 图（），两 个 三 角 形 重 叠（阴 影）部
58、分 的 儿 童 看 见 鹅，很 容 易 着 迷 那 鹅 披 着 一 身 洁 白 的 羽 毛，走 路 摇 摇 摆 摆，昂 首 高 歌，悠 然 自 得，实 在 可 爱 这 时，儿 童 身边 的 父 母 就 会 情 不 自 禁，回 想 起 自 己 小 时 候 学 会 的 一 首 诗：鹅、鹅、鹅，曲 项 向 天 歌 白 毛 浮 绿 水，红 掌 拨 清 波 这 是 唐 代才 子 骆 宾 王 七 岁 时 写 的 咏 鹅 诗 后 来 骆 宾 王 以 声 讨 武 则 天 的 檄 文 而 垂 名 史 册，享 誉 文 坛，这 首 童 年 作 品 咏 鹅 却 在 民间 口 头 流 传，世 世 代 代 的 家 长 们
59、 像 教 儿 歌 一 样 把 它 传 授 给 自 己 的 小 孩 面 积 约 是 （结 果 精 确 到 ，槡 ）（第 题）如 图，某 渔 船 在 海 面 上 朝 正 东 方 向 匀 速 航 行，在 犃 处 观 测 到灯 塔 犕在 北 偏 东 方 向 上，航 行 半 小 时 后 到 达 犅 处，此 时 观测 到 灯 塔犕在 北 偏 东 方 向 上，那 么 该 船 继 续 航 行 分 钟 可 使 渔 船 到 达 离 灯 塔 距 离 最 近 的 位 置（第 题）如 图，犃、犅、犆 三 个 粮 仓 的 位 置 如 图 所 示，犃 粮 仓 在 犅粮 仓 北偏 东 处；犆 粮 仓 在 犅 粮 仓 的 正
60、东 方，犃 粮 仓 的 正 南方 已 知 犃、犅 两 个 粮 仓 原 有 存 粮 共 ，根 据 灾 情 需 要，现 从犃 粮 仓 运 出 该 粮 仓 存 粮 的 支 援 犆 粮 仓，从 犅 粮 仓 运 出 该 粮仓 存 粮 的 支 援 犆 粮 仓，这 时 犃、犅 两 处 粮 仓 的 存 粮 吨 数 相等（，）（）犃、犅 两 处 粮 仓 原 有 存 粮 各 多 少 吨？（）犆 粮 仓 至 少 需 要 支 援 粮 食，问 此 调 拨 计 划 能 满 足 犆粮 仓 的 需 求 吗？（）由 于 气 象 条 件 恶 劣，从 犅 处 出 发 到 犆 处 的 车 队 来 回 都 限速 以 每 小 时 的 速
61、 度 匀 速 行 驶，而 司 机 小 王 的 汽 车 油箱 的 油 量 最 多 可 行 驶 小 时，那 么 小 王 在 途 中 是 否 需 要 加油 才 能 安 全 地 回 到 犅 地？请 你 说 明 理 由（第 题）如 图 是 某 货 站 传 送 货 物 的 平 面 示 意 图，为 了 提 高 传 送 过 程 的安 全 性，工 人 师 傅 欲 减 小 传 送 带 与 地 面 的 夹 角，使 其 由 度改 为 度，已 知 原 传 送 带 犃 犅 长 为 米（）求 新 传 送 带 犃 犆 的 长 度；（）如 果 需 要 在 货 物 着 地 点 犆 的 左 侧 留 出 米 的 通 道，试 判 断距
62、 离 犅 点 米 的 货 物 犕 犖 犙 犘 是 否 需 要 挪 动，并 说 明 理由（精 确 到 米，参 考 数 据 槡 ，槡 ，槡 ，槡 ）（第 题）某 商 场 为 缓 解 我 市“停 车 难”问 题，拟 建 造 地 下 停 车 库，如 图 是该 地 下 停 车 库 坡 道 入 口 的 设 计 示 意 图，其 中，犃 犅 犅 犇，犅 犃 犇 ，犆 在 犅 犇 上，犅 犆 根 据 规 定，地 下 停 车 库坡 道 入 口 上 方 要 张 贴 限 高 标 志，以 便 告 知 驾 驶 员 所 驾 车 辆 能否 安 全 驶 入 小 明 认 为 犆 犇 的 长 就 是 所 限 制 的 高 度，而 小
63、 亮 认为 应 该 以 犆 犈 的 长 作 为 限 制 的 高 度 小 明 和 小 亮 谁 说 的 对？请 你 判 断 并 计 算 出 正 确 的 结 果（结 果 精 确 到 ，参 考 数据：，）（第 题）解 直 角 三 角 形 年 考 题 探 究 年 山 东 省 中 考 真 题 演 练 解 析 过 点 犃 作 犃 犇 犅 犆，交 犆 犅 延 长 线 于 点 犇 在 该三 角 形 中 犃 犇 ，犇 犆 ，所 以 犃 犆 犅 犃 犇犇 犆 解 析 如 图，犃 犆 犇 ，犃 犆 犅 犆 犅 犃 犃 犅 犆 为 等 腰 直 角 三 角 形 犅 犆 （海 里），犃 犆 犅 犆 （海 里）（第 题）解
64、析 犇 ，犃 犅犅 犇 犅 犇 犃 犅槡 犃 犅 在 直 角 三 角 形 犃 犅 犆 中，犃 犆 犅 ，犅 犆 犃 犅 槡 犃 犅 犆 犇 ，犆 犇 犅 犇 犅 犆槡 犃 犅 槡 犃 犅 犃 犅槡 解 析 由 于 犃 犅 犆 与 三 边 的 长 度 都 扩 大 为 原 来 的 倍 后 的 三 角 形 相 似，所 以 其 比 值 不 变 解 析 在 犃 犅 犆 中，根 据 三 角 函 数 的 定 义 有 犃 犃 犆犃 犅，犃 犆 犃 犅 犃 解 析 由 已 知 犅 犆 犃 犆槡 ，即 犃槡 ；由正 切 函 数 的 定 义，犃 犅 犆犃 犆，而 犅 犆 米，从 而 犃 犆 犅 犆犃槡 米 解 析
65、犃 犅 槡，犃 犅 犃 犅 犆 是 等 腰 直 角 三 角 形 解 析 根 据 三 角 函 数 的 定 义 和 已 知 犃 犫犪，逐 一 计算 进 行 判 断 选 项 ，犃 犃 犪犫 犫犪 ，关 系 式 成 立 选 项 ，左 边 犃 犪犮，右 边 犃 犃 犪犫犫犮 犪犮，左 边 右 边，关 系 式 成 立；选 项 ，左 边 犃 犫犮，右 边 犃 犃 犫犪犪犮 犫犮，左 边 右 边，关 系 式 成 立 选 项 ，犃 犃 犪（）犫犫（）犪 ，关 系 式 不成 立 解 析 根 据 已 知 做 出 三 角 形 的 高 线 犃 犇，进 而 得 出犃 犇、犅 犇、犆 犇 的 长，即 可 得 出 三 角 形
66、 的 面 积 过 点 犃 作 犃 犇 犅 犆 犃 犅 犆 中，犅 槡，犆 ，犃 犆 ，犅 槡 犅 犇犃 犅 犅 犆 犃 犇犃 犆 犃 犇，犃 犇 犆 犇 犅 犇 ，则 犃 犅 犆 的 面 积 是：犃 犇 犅 犆 （）解 析 根 据 题 意 画 出 图 形，分 别 利 用 解 直 角 三 角 形 的知 识 求 出 风 筝 的 高 再 进 行 比 较 即 可 如 图：（第 题）甲 中，犃 犆 ，犆 ，犃 犅 槡 ；乙 中，犇 犉 ，犆 ，犇 犈 槡槡 ；丙 中，犌犐 ，犐 ，犌 犎 槡 槡；丁 中，犑犔 ，犆 ，犑 犓槡槡 槡 槡 槡 槡 ，犌 犎 犃 犅 犇 犈 犑 犓 可 见 丁 同 学 所
67、放 的 风 筝 最 高 解 析 原 式槡 槡 解 析 犃 犅 槡（），犃 ，犅 槡 犃 ，犅 槡 犃 ，犅 ，犃 ，犅 犆 犃 犅 解 析 根 据 犃 犅 犆 是 等 腰 三 角 形，犆 ，求 出 犃 犅 ，从 而 求 出 角 犃 的 正 切 值：犃 解 析 犃 犆 犃 犅 犅 ，由 相似 三 角 形 的 判 定 和 性 质 得 犆 犉 犃 犆 ，所 以 阴 影 部 分 的面 积 是 犃 犆 犆 犉 如 图，过 点 犗 作 水 平 地 面 的 垂 线，垂 足 为 犈（第 题）在 犃 犗 犅，犗 犃 犅 犃 犅犗 犃，即 犗 犃 犗 犃 犅 犃 犈 ，犗 犃 犈 在 犃 犗 犈 中，犗 犃 犈
68、犗 犈犗 犃，即 犗 犈 犗 犈 （）雕 塑 最 顶 端 到 水 平 地 面 的 垂 直 距 离 约 为 （）如 图，过 点 犈 作 犈 犕 犃 犅，垂 足 为 犕 设 犃 犅 为 狓 犃 犅 犉 中，犃 犉 犅 ，犅 犉 犃 犅 狓 犅 犆 犅 犉 犉 犆 狓 在 犃 犈 犕 中，犃 犈 犕 ，犃 犕 犃 犅 犅 犕 犃 犅 犆 犈 狓 ，犃 犕犕 犈 狓 狓 ，狓 即 教 学 楼 的 高 （）由（）可 得 犕 犈 犅 犆 狓 在 犃 犕 犈 中，犕 犈犃 犈，犃 犈 犕 犈 ，即 犃、犈 之 间 的 距 离 约 为 （第 题）（）在 犃 犇 犆 中，犃 犇 犆 犇 槡槡 （米），在 犅 犇
69、 犆 中，犅 犇 犆 犇 槡槡 （米）所 以 犃 犅 犃 犇 犅 犇 （米）（）汽 车 从 犃 到 犅 用 时 秒，所 以 速 度 为 （米 秒）因 为 ，所 以 该 车 速 度 为 千 米 小 时，大 于 千 米 小 时 所 以 此 校 车 在 犃 犅 路 段 超 速 （）犃 犇 槡 （），车 架 档 犃 犇 的 长 是 （）如 图，过 点 犈 作 犈 犉 犃 犅，垂 足 为 犉 易 得 犈 犉 犃 犈 （）（）车 座 点 犈 到 车 架 档 犃 犅 的 距 离 是 （第 题）设 犈 犌 狓 米 在 犆 犈 犌 中，犈 犆 犌 ，犆 犈 犌 犈 犆 犌 犆 犈 犌 犆 犌 犈 犌 狓 米 在
70、 犇 犈 犌 中，犈 犇 犌 ，犈 犇 犅 犈 犌犇 犌，犇 犌 狓 狓槡 犆 犌 犇 犌 犆 犇 ，狓 狓槡 解 得 狓槡 犈 犉 犈 犌 犉 犌槡 （米）铁 塔 的 高 约 为 米 在 犃 犅 犇 中，犃 犇犃 犅 犃 犇，犃 犇 在 犃 犆 犇 中，犃 犇犆 犇 犆 犇，犆 犇 故 调 整 后 的 楼 梯 所 占 地 面 犆 犇 约 为 米（第 题）（）如 图，过 点 犆 作 犆 犉 犃 犕，犉 为 垂 足，过 点 犅 作 犅 犈 犃 犕，犅 犇 犆 犉，犈、犇 为 垂 足（第 题）在 犆 点 测 得 犅 点 的 俯 角 为 ，犆 犅 犇 又 犅 犆 米，犆 犇 （米）犅 点 的 海 拔
71、 为 （米）（）犅 犈 犇 犉 犆 犉 犆 犇 （米）犃 犅米，犃 犈犃 犅 犅 犈槡 槡 （米）犃 犅 的 坡 度 犻 犃犅 犅 犈犃 犈 ，故 斜 坡 犃 犅 的 坡 度 为 （）如 图：（第 题）（）槡 槡 （）直 角 （）年 全 国 中 考 真 题 演 练 解 析 解 析 将 图 中 直 线 延 长 与 地 面 相 交，利 用 相 似 比 及 解直 角 三 角 形 解 答 解 析 犅 犇 米，犃 犇槡 米 解 析 犃 犅 犆犃 犅 解 析 犅 犅 解 析 犪犃 犫犅 犪 犪犮 犫 犫犮 犪 犫 犮犮 犮 犮 解 析 构 造 一 个 含 有 犅 的 直 角 三 角 形 即 可 槡 解 析
72、 槡 槡 解 析 过 犘 点 向 犃 犅 作 垂 线 解 析 犅 犃 犆犃 犅 解 析 犃 犘 犅 犃 犗 犅 解 析 犻 犅 犆犃 犆 槡 犃 犆，得 犃 犆槡 犃 犅 犅 犆 犃 犆槡（槡 ）槡 解 析 犅 犆 犃 犆 米 槡 解 析 设 犃 犅 狓 ，则 犃 犇 犅 犃 犅犅 犇，得 犅 犇 犃 犅 犅 犇 狓槡 槡 狓 又 犃 犆 犅 犃 犅犅 犆，即 狓犅 犇 犆 犇 得 槡 狓槡 狓 ，解 得 狓槡 槡 解 析 犃 犅 犃 犇槡 过 点 犃 作 犃 犈 犆 犇 于 点 犈，过 点 犅 作 犅 犉 犆 犇 于 点 犉 犃 犅 犆 犇，犃 犈 犉 犈 犉 犅 犃 犅 犉 四 边 形 犃
73、 犅 犉 犈 为 矩 形 犃 犅 犈 犉，犃 犈 犅 犉 由 题 意 可 知 犃 犈 犅 犉 米，犆 犇 米 在 犃 犈 犆 中，犆 ，犃 犈 米 犆 犈 犃 犈 槡 槡（米）在 犅 犉 犇 中，犅 犇 犉 ，犅 犉 （米）犇 犉 犅 犉 （米）犃 犅 犈 犉 犆 犇 犇 犉 犆 犈 槡 （米）故 岛 屿 两 端 犃、犅 的 距 离 为 米 （）（也 对）（）过 点 犇 作 犇 犘 犃 犆，垂 足 为 犘在 犇 犘 犃 中，犇 犘 犃 犇 ，犘 犃 犃 犇 槡槡 在 矩 形 犇 犘 犌 犕 中，犕 犌 犇 犘 ，犇 犕 犘 犌槡 在 犇 犕 犎中，犎 犕 犇 犕 槡（槡 ）槡 ，得 犌 犎 犎
74、 犕 犕 犌槡 故 建 筑 物 犌 犎 高 为 米 如 图，作 犆 犇 犃 犅 交 犃 犅 的 延 长 线 于 点 犇 由 题 意，得 犅 犆 犇 ，犃 犆 犇 在 犃 犆 犇 和 犅 犆 犇 中，设 犃 犆 狓，则 犃 犇 狓，犅 犇 犆 犇 狓 狓 狓 狓 （米）湖 心 岛 上 的 迎 宾 槐 犆 处 与 凉 亭 犃处 之 间 的 距 离 约为 米（第 题）过 点 犆 作 犃 犅 的 垂 线，垂 足 为 犇 南 北 方 向 犃 犅，犆 犃 犇 ，犆 犅 犇 在 等 腰 犅 犆 犇 中，犅 犆 ，犆 犇 犅 犇 在 犃 犆 犇 中，犆 犇 犃 犆 ，犃 犆槡 （海 里）故 我 渔 政 船 的
75、 航 行 路 程 是槡 海 里 当 时，梯 子 顶 端 达 到 最 大 高 度 犃 犆犃 犅，犃 犆 （米）故 人 安 全 攀 爬 梯 子 时，梯 子 的 顶 端 达 到 的 最 大 高 度 约 米 犗 犃 槡槡 ，犗 犅 犗 犆 ，犃 犅槡 （）故 隧 道 犃 犅 的 长 约 为 在 犃 犇 犅 中，犅 犇 犃 ，犃 犅 ，犇 犃 在 犃 犇 犆 中，犆 犇 犃 ，犆 犃犃 犇 犆 犃槡 犅 犆 犆 犃 犅 犃 （槡 ）故 路 况 显 示 牌 犅 犆 的 高 度 是（槡 ）年 模 拟 提 优 年 山 东 省 中 考 仿 真 演 练 解 析 把 看 成 一 个 整 体，根 据 槡 得 出 的
76、值 解 析 铁 钉 犃 犅 之 间 的 距 离 就 是 一 个 菱 形 的 对 角 线 的长，又 已 知 菱 形 的 边 长 为 ，根 据 菱 形 的 性 质 以 及 勾 股定 理，利 用 三 角 函 数 可 求 解 解 析 只 有 选 项 狓 槡 符 合 点 犃特 征 解 析 犺 犔 ，犺 犔 ，解 得 犺槡 解 析 由 题 意 知 小 正 方 形 的 边 长 为 ，大 正 方 形 的 边长 为 设 直 角 三 角 形 中 较 小 边 长 为 狓，则 有（狓 ）狓 ，解 方 程 求 得 狓 ，从 而 求 出 较 长 边 的 长 度 运 用 正切 函 数 定 义 求 解 （槡 ）解 析 有 两
77、 个 直 角 三 角 形，即 犃 犕 犘和 犅 犕犘，梯 子 长 度 犕 犘 和 犕犘都 是 斜 边，所 求 犃 犅 处 在邻 边 位 置，因 此 用 余 弦 分 别 求 出 犃 犘，犅 犘 即 可 求 出 犃 犅 解 析：由 已 知 可 推 出 犃 犅 犆 ，犅 犃 犆 ，再 由 三 角 形 内 角 和 定 理 得 犃 犆 犅 ，从 而 求 出 犅、犆 两 地 的 距 离 犃 犅 犇 ，犇 犅 犈 ，犇 ，犈 犇 犅 犈 犇 ，犇 犈犅 犇 犇 即犇 犈 ，解 得 犇 犈 故 犇 犈 的 距 离 应 该 是 米 （）如 图 所 示：台 风 中 心 位 于 点 犘，并 沿 东 北 方 向 犘
78、犙 移 动，犅 市 位于 点 犘 的 北 偏 东 方 向 上，犙 犘 犌 ，犖 犘 犅 ，犅 犘 犌 犅 犘 犙 作 犅 犎 犘 犙 于 点 犎 在 犅 犎 犘 中，由 条 件 知，犘 犅 ，得 犅 犎 ，本 次 台 风 会 影 响 犅 市（）如 图，若 台 风 中 心 移 动 到 犘 时，台 风 开 始 影 响 犅 市，台 风 中 心 移 动 到 犘 时，台 风 影 响 结 束 由（）得 犅 犎 ，由 条 件 得 犅 犘 犅 犘 ，犘 犘 槡 ，台 风 影 响 的 时 间 狋 （小 时）（第 题）由 图 可 知 犃 犇 犅 犆，于 是 犃 犅 犇 犅 犃 犇 ，犃 犆 犇 在 犃 犅 犇 中
79、，犅 犇 犃 犇 在 犃 犆 犇 中，犆 犇槡 犃 犇 设 犃 犇 狓，则 有 犅 犇 狓，犆 犇槡 狓 依 题 意，得 犅 犇 犆 犇 即 狓槡 狓 ，（槡 ）狓 狓 槡 （米）故 河 宽 犃 犇 约 为 米 年 全 国 中 考 仿 真 演 练 解 析 解 直 角 三 角 形 两 元 素 中 必 须 有 一 个 是 边 长 解 析 犅 犇 ，犆 犇槡 解 析 采 用 特 殊 值 法，取 值 为 解 析 槡，槡，介 于 这 两 个 值 之间，所 以 锐 角 犃 满 足 犃 解 析 过 点 犆 作 犃 犅的 垂 线，垂 足 为 犇，则 犆 犇槡，犃 犇 ，由 犅 槡，得 犅 犇 ，所 以 犃 犅
80、 解 析 槡，关 于 原 点 对 称 点坐标为槡，（），关于狓轴对称点坐标为 槡，（），关 于 狔 轴 对 称 点 坐 标 为槡，（）解 析 只 有 选 项 狓 槡 符 合 点 犃特 征 解 析 犺 犾 ，犺 犾 ，得 犺槡 解 析 由 等 腰 梯 形 上 底 的 顶 点 向 下 底 作 垂 线，根 据坡 度 定 义 求 得 下 底 长 是 （）解 析 因 为 犅 ，所 以 在 犃 犅 犆 中 设 犅 犆 狓，犃 犅 狓，则 犃 犆 狓 所 以 犃 犅 犆犃 犆 解 析 利 用 因 式 分 解 求 得 犃 或 犃 （舍 去）槡 解 析 树 高影 长 解 析 犅 犈犃 犈 犅 犃 犈 设 犅 犈
81、 狓，则 犃 犈 狓，得 犃 犅 狓 ，狓 所 以 犅 犈 狓 解 析 狓，得 狓 ，即 乙 楼 高 米 解 析 由 已 知 可 推 出 犃 犅 犆 ，犅 犃 犆 ，再 由 三 角 形 内 角 和 定 理 得 犃 犆 犅 ，从 而 求 出 犅、犆 两 地 的 距 离 如 图，过 点 犘 作 犘 犆 犃 犅，垂 足 为 犆 设 犘 犆 狓 海 里（第 题）在 犃 犘 犆 中，犃 犘 犆犃 犆，犃 犆 犘 犆 狓 在 犘 犆 犅 中，犅 犘 犆犅 犆，犅 犆 狓 狓 犃 犆 犅 犆 犃 犅 ，狓 狓 ，解 得 狓 犅 犘 犆犘 犅，犘 犅 犘 犆 犅 （海 里）海 检 船 所 在 犅 处 与 城
82、市 犘 的 距 离 为 海 里 （）如 图（第 题）（）这 条 船 继 续 前 进，没 有 被 浅 滩 阻 碍 的 危 险 如 图，作 犆 犇 直 线 犃 犅 于 点 犇 由 已 知 可 得 犆 犃 犇 ，犆 犅 犇 ，犃 犅 米 设犆 犇 狓 米 在 犃 犆 犇 中，犆 犃 犇 犆 犇犃 犇，犃 犇 犆 犇 犆 犃 犇 狓槡槡 狓 在 犆 犅 犇 中，犆 犅 犇 ，犅 犇 犆 犇 狓 犃 犇 犅 犇 犃 犅，槡 狓 狓 解 得 狓槡 这 条 船 继 续 前 进 没 有 被 浅 滩 阻 碍 的 危 险 在 犃 犈 犆，犃 犆 犈 犃 犈犈 犆 犃 犈，犃 犈 犃 犅 犃 犈 犈 犅 （米）（）
83、设 犃 犅 与 犾 交 于 点 犗 在 犃 犗 犇 中，犗 犃 犇 ，犃 犇 ，犗 犃 犃 犇 ，又 犃 犅 ，犗 犅 犃 犅 犗 犃 在 犅 犗 犈 中，犗 犅 犈 犗 犃 犇 ，犅 犈 犗 犅 观 测 点 犅 到 航 线 犾 的 距 离 为 （）在 犃 犗 犇 中，犗 犇 犃 犇 槡 在 犅 犗 犈 中，犗 犈 犅 犈 槡 犇 犈 犗 犇 犗 犈槡 在 犆 犅 犈 中，犆 犅 犈 ，犅 犈 ，犆 犈 犅 犈 犆 犅 犈 犆 犇 犆 犈 犇 犈槡 ，犆 犇 犆 犇 （）考 情 预 测 解 析 余 弦 值 随 角 度 的 增 大 而 减 少，所 以 犃 解 析 若 犃 犇 与 犅 犆 交 于
84、点 犖，过 点 犖 作 犖 犎 犃 犅，垂 足 为 犎，设 犖 犎 狓，则 由 题 意 知：犃 犎 狓，在 犃 犖 犎 中，犎 犃 犇 ，所 以 犖 犎 犃 犎 所 以 狓槡 狓，解 得 狓 （槡 ），所 以 犃 犎 槡 ，所 以 阴 影 部 分 的 面 积 是 （槡 ）（）解 析 设 渔 船 的 航 行 速 度 是 每 分 钟 犽 千 米，过 犕作犃 犅 的 垂 线，垂 足 为 犈，则 犃 犅 犽，犅 犈 狓犽，则 由 题 意 知：犕 犈槡 狓犽 槡（狓）犽，解 这 个 方 程 得 狓 （）设 犃、犅 两 处 粮 仓 原 有 存 粮 狓 ，狔 根 据 题 意 得狓 狔 ，（）狓 （）狔烅烄烆
85、，解 得狓 ，狔 ，故 犃、犅 两 处 粮 仓 原 有 存 粮 分 别 是 ，（）犃 粮 仓 支 援 犆 粮 仓 的 粮 食 是 （），犅 粮 仓 支 援 犆 粮 仓 的 粮 食 是 （），犃、犅 两 粮 仓 合 计 共 支 援 犆 粮 仓 粮 食 为 （），此 次 调 拨 能 满 足 犆 粮 仓 需 求（）连 结 犃 犆，根 据 题 意 知：犃 ，犃 犅 ，犃 犆 犅 ，在 犃 犅 犆 中，犅 犃 犆 犅 犆犃 犅，犅 犆 犃 犅 犅 犃 犆 （）此 车 最 多 可 行 驶 （），小 王 途 中 须 加 油 才 能 安 全 回 到 犅 地（若 用 时 间 比 较，也 可 以）（）如 图，作
86、犃 犇 犅 犆 于 点 犇（第 题）在 犃 犅 犇 中，犃 犇 犃 犅 槡槡 （米），在 犃 犆 犇 中，犃 犆 犇 ，犃 犆 犃 犇槡 （米）故 新 传 送 带 犃 犆 的 长 度 约 为 米（）结 论：货 物 犕 犖 犙 犘 需 要 挪 动 理 由：在 犃 犅 犇 中，犅 犇 犃 犅 槡槡 （米）在 犃 犆 犇 中，犆 犇 犃 犆槡 槡槡 （米）犆 犅 犆 犇 犅 犇槡槡 （米）犘 犆 犘 犅 犆 犅 米 米，货 物 犕 犖 犙 犘 需 要 挪 动 小 亮 说 的 对 在 犃 犅 犇 中，犃 犅 犇 ，犅 犃 犇 ，犅 犃 犅 犃 犇 犅 犇犅 犃 犅 犇 犆 犇 犅 犇 犅 犆 在 犃 犅 犇 中，犆 犇 犈 犅 犃 犇 犆 犈 犈 犇，犆 犇 犈 犆 犈犆 犇 犆 犈 犆 犇 犈 犆 犇 （）（）故 犆 犈 为